helm/software/matita/nlibrary/sets/categories.ma

   1
   2 include "sets/sets.ma".
   3
   4 nrecord category : Type[2] ≝
   5  { objs:> Type[1];
   6    arrows: objs → objs → setoid;
   7    id: ∀o:objs. arrows o o;
   8    comp: ∀o1,o2,o3. binary_morphism (arrows o2 o3) (arrows o1 o2) (arrows o1 o3);
   9    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a34,a23,a12.
  10     comp o1 o3 o4 a34 (comp o1 o2 o3 a23 a12) = comp o1 o2 o4 (comp o2 o3 o4 a34 a23) a12;
  11    id_neutral_left: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o2) a = a;
  12    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o1) = a
  13  }.
  14
  15 notation "hvbox(A break ⇒ B)" right associative with precedence 50 for @{ 'arrows $A $B }.
  16 interpretation "arrows1" 'arrows A B = (unary_morphism1 A B).
  17 interpretation "arrows" 'arrows A B = (unary_morphism A B).
  18
  19 notation > "𝐈𝐝 term 90 A" non associative with precedence 90 for @{ 'id $A }.
  20 notation < "mpadded width -90% (𝐈) 𝐝 \sub term 90 A" non associative with precedence 90 for @{ 'id $A }.
  21
  22 interpretation "id" 'id A = (id ? A).
  23
  24 ndefinition SETOID : category.
  25 @;
  26 ##[ napply setoid;
  27 ##| napply unary_morph_setoid;
  28 ##| #o; @ (λx.x); #a; #b; #H; napply H;
  29 ##| napply comp_binary_morphisms; (*CSC: why not ∘?*)
  30 ##| #o1; #o2; #o3; #o4; #f; #g; #h; nwhd; #x; napply #;
  31 ##|##6,7: #o1; #o2; #f; nwhd; #x; napply #; ##]
  32 nqed.
  33
  34 unification hint 0 ≔ ;
  35    R ≟ (mk_category setoid unary_morph_setoid (id SETOID) (comp SETOID)
  36           (comp_assoc SETOID) (id_neutral_left SETOID)
  37           (id_neutral_right SETOID))
  38  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  39                               objs R ≡ setoid.
  40
  41  unification hint 0 ≔ x,y ;
  42    R ≟ (mk_category setoid unary_morph_setoid (id SETOID) (comp SETOID)
  43           (comp_assoc SETOID) (id_neutral_left SETOID)
  44           (id_neutral_right SETOID))
  45  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  46                   arrows R x y ≡ unary_morph_setoid x y.
  47
  48 unification hint 0 ≔ A,B ;
  49                   T ≟ (unary_morph_setoid A B)
  50            (* ----------------------------------- *) ⊢
  51                   unary_morphism A B ≡ carr T.
  52
  53
  54 ndefinition TYPE : setoid1.
  55 @ setoid; @;
  56 ##[ #T1; #T2;
  57     alias symbol "eq" = "setoid eq".
  58     napply (∃f:T1 ⇒ T2.∃g:T2 ⇒ T1. (∀x.f (g x) = x) ∧ (∀y.g (f y) = y));
  59 ##| #A; @ (𝐈𝐝 A); @ (𝐈𝐝 A); @; #x; napply #;
  60 ##| #A; #B; *; #f; *; #g; *; #Hfg; #Hgf; @g; @f; @; nassumption;
  61 ##| #A; #B; #C; *; #f; *; #f'; *; #Hf; #Hf'; *; #g; *; #g'; *; #Hg; #Hg';
  62     @; ##[ @(λx.g (f x)); #a; #b; #H; napply (.= (††H)); napply #;
  63        ##| @; ##[ @(λx.f'(g' x)); #a; #b; #H; napply (.= (††H)); napply #; ##]
  64     @; #x;
  65     ##[ napply (.= (†(Hf …))); napply Hg;
  66     ##| napply (.= (†(Hg' …))); napply Hf'; ##] ##]
  67 nqed.
  68
  69 unification hint 0 ≔ ;
  70           R ≟ (mk_setoid1 setoid (eq1 TYPE))
  71   (* -------------------------------------------- *) ⊢
  72                  carr1 R ≡ setoid.
  73
  74 nrecord unary_morphism01 (A : setoid) (B: setoid1) : Type[1] ≝
  75  { fun01:1> A → B;
  76    prop01: ∀a,a'. eq ? a a' → eq1 ? (fun01 a) (fun01 a')
  77  }.
  78
  79 interpretation "prop01" 'prop1 c  = (prop01 ????? c).