helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  25 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  26 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  27 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  28 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  29 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  30 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  31 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  32 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  33  { support: setoid;
  34    indexes: qpowerclass support;
  35    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (qpowerclass_setoid A);
  36    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  37    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  38    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  39  }. napply indexes; nqed.
  40
  41 naxiom daemon: False.
  42
  43 nlet rec partition_splits_card_map
  44  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  45  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  46  on index : A ≝
  47  match ltb m (s index) with
  48   [ true ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  49   | false ⇒
  50      match index with
  51       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  52       | S index' ⇒
  53          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  54
  55 naxiom big_union_preserves_iso:
  56  ∀A,A',B,T,T',f.
  57   ∀g: isomorphism A' A T' T.
  58    big_union A B T f = big_union A' B T' (λx.f (iso_f ???? g x)).
  59
  60 naxiom le_to_lt_or_eq: ∀n,m. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
  61 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
  62 naxiom minus_canc: ∀n. O = minus n n.
  63 naxiom lt_to_ltb_t: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P true → n < m → P (ltb n m).
  64 naxiom lt_to_ltb_f: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P false → ¬ (n < m) → P (ltb n m).
  65 naxiom lt_to_minus: ∀n,m. n < m →  S (minus (minus m n) (S O)) = minus m n.
  66 naxiom not_lt_O: ∀n. ¬ (n < O).
  67 naxiom minus_S: ∀n,m. m ≤ n → minus (S n) m = S (minus n m).
  68 naxiom minus_lt_to_lt: ∀n,m,p. n < p → minus n m < p.
  69 naxiom minus_O_n: ∀n. O = minus O n.
  70 naxiom le_O_to_eq: ∀n. n ≤ O → n=O.
  71 naxiom lt_to_minus_to_S: ∀n,m. m < n → ∃k. minus n m = S k.
  72 naxiom ltb_t: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
  73 naxiom ltb_f: ∀n,m. ¬ (n < m) → ltb n m = false.
  74 naxiom plus_n_O: ∀n. plus n O = n.
  75 naxiom not_lt_plus: ∀n,m. ¬ (plus n m < n).
  76 naxiom lt_to_lt_plus: ∀n,m,l. n < m → n < m + l.
  77 naxiom S_plus: ∀n,m. S (n + m) = n + S m.
  78 naxiom big_plus_ext: ∀n,f,f'. (∀i,p. f i p = f' i p) → big_plus n f = big_plus n f'.
  79 naxiom ad_hoc1: ∀n,m,l. n + (m + l) = l + (n + m).
  80 naxiom assoc: ∀n,m,l. n + m + l = n + (m + l).
  81 naxiom lt_canc: ∀n,m,p. n < m → p + n < p + m.
  82 naxiom ad_hoc2: ∀a,b. a < b → b - a - (b - S a) = S O.
  83 naxiom ad_hoc3: ∀a,b. b < a → S (O + (a - S b) + b) = a.
  84 naxiom ad_hoc4: ∀a,b. a - S b ≤ a - b.
  85 naxiom ad_hoc5: ∀a. S a - a = S O.
  86 naxiom ad_hoc6: ∀a,b. b ≤ a → a - b + b = a.
  87 naxiom ad_hoc7: ∀a,b,c. a + (b + O) + c - b = a + c.
  88 naxiom ad_hoc8: ∀a,b,c. ¬ (a + (b + O) + c < b).
  89 naxiom ltb_elim_CProp0: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. (n < m → P true) → (¬ (n < m) → P false) → P (ltb n m).
  90 naxiom ltb_cases: ∀n,m. (n < m ∧ ltb n m = true) ∨ (¬ (n < m) ∧ ltb n m = false).
  91 naxiom ad_hoc9: ∀a,b,c. a ≤ b + c → a - b ≤ c.
  92 naxiom not_lt_to_le: ∀a,b. ¬ (a < b) → b ≤ a.
  93
  94
  95 naxiom split_big_plus:
  96   ∀n,m,f. m ≤ n →
  97    big_plus n f = big_plus m (λi,p.f i ?) + big_plus (n - m) (λi.λp.f (i + m) ?).
  98  nelim daemon.
  99 nqed.
 100
 101 nlemma partition_splits_card_output:
 102  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
 103   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ (S n)) (indexes ? P).
 104    ∀fi:∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i)).
 105     ∀x. x ∈ Nat_ (big_plus (S n) (λi.λ_.s i)) →
 106      ∃i1.∃i2. partition_splits_card_map A P (S n) s f fi x n = iso_f ???? (fi i1) i2.
 107  #A; #P; #n; #s; #f; #fi;
 108  nelim n in ⊢ (? → % → ??(λ_.??(λ_.???(????????%)?)))
 109   [ #x; nnormalize in ⊢ (% → ?); nrewrite > (plus_n_O (s O)); nchange in ⊢ (% → ?) with (x < s O);
 110     #H; napply (ex_intro … O); napply (ex_intro … x); nwhd in ⊢ (???%?);
 111     nrewrite > (ltb_t … H); nwhd in ⊢ (???%?); napply refl
 112   | #n'; #Hrec; #x; #Hx; nwhd in ⊢ (??(λ_.??(λ_.???%?))); nwhd in Hx; nwhd in Hx: (??%);
 113     nelim (ltb_cases x (s (S n'))); *; #K1; #K2; nrewrite > K2; nwhd in ⊢ (??(λ_.??(λ_.???%?)))
 114      [ napply (ex_intro … (S n')); napply (ex_intro … x); napply refl
 115      | napply (Hrec (x - s (S n')) ?); nwhd; nrewrite < (minus_S x (s (S n')) ?)
 116        [ napply ad_hoc9; nassumption | napply not_lt_to_le; nassumption ]##]
 117 nqed.
 118
 119 nlemma partition_splits_card:
 120  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
 121   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
 122    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
 123     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
 124  #A; #P; #Sn; ncases Sn
 125   [ #s; #f; #fi;
 126     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #H;
 127     ngeneralize in match
 128      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f) in ⊢ ?;
 129      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);
 130     nelim daemon (* impossibile *)
 131   | #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
 132   [ napply mk_unary_morphism
 133      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi m n)
 134      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
 135 ##| #y; #_;
 136     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
 137     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
 138     ngeneralize in match (f_sur ???? f ? Hi1) in ⊢ ?; *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
 139     ngeneralize in match (f_sur ???? (fi nindex) y ?) in ⊢ ?
 140      [##2: napply (. #‡(†?));##[##3: napply Hni2 |##2: ##skip | nassumption]##]
 141     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
 142     nletin xxx ≝ (plus (big_plus (minus n nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2);
 143     napply (ex_intro … xxx); napply conj
 144      [ nwhd in Hni1; nwhd; nwhd in ⊢ (?(? %)%);
 145        nchange with (? < plus (s n) (big_plus n ?));
 146        nelim (le_to_lt_or_eq … (le_S_S_to_le … Hni1))
 147         [##2: #E; nrewrite < E; nrewrite < (minus_canc nindex);
 148           nwhd in ⊢ (?%?); nrewrite < E; napply lt_to_lt_plus; nassumption
 149         | #L; nrewrite > (split_big_plus n (S nindex) (λm.λ_.s m) L);
 150           nrewrite > (split_big_plus (n - nindex) (n - S nindex) (λi.λ_.s (S (i+nindex))) ?)
 151            [ ngeneralize in match (big_plus_ext (n - S nindex)
 152               (λi,p.s (S (i+nindex))) (λi,p.s (i + S nindex)) ?) in ⊢ ?
 153                [ #E;
 154                  napply (eq_rect_CProp0_r ??
 155                   (λx:nat.λ_. x + big_plus (n - nindex - (n - S nindex))
 156                    (λi,p.s (S (i + (n - S nindex)+nindex))) + nindex2 <
 157                    s n + (big_plus (S nindex) (λi,p.s i) +
 158                     big_plus (n - S nindex) (λi,p. s (i + S nindex)))) ? ? E);
 159                  nrewrite > (ad_hoc1 (s n) (big_plus (S nindex) (λi,p.s i))
 160                   (big_plus (n - S nindex) (λi,p. s (i + S nindex))));
 161                  napply (eq_rect_CProp0_r
 162                   ?? (λx.λ_.x < ?) ?? (assoc
 163                   (big_plus (n - S nindex) (λi,p.s (i + S nindex)))
 164                   (big_plus (n - nindex - (n - S nindex))
 165                    (λi,p.s (S (i + (n - S nindex)+nindex))))
 166                   nindex2));
 167                  napply lt_canc;
 168                  nrewrite > (ad_hoc2 … L); nwhd in ⊢ (?(?%?)?);
 169                  nrewrite > (ad_hoc3 … L);
 170                  napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λx.λ_.x < ?) ?? (assoc …));
 171                  napply lt_canc; nnormalize in ⊢ (?%?); nwhd in ⊢ (??%);
 172                  napply lt_to_lt_plus; nassumption
 173              ##|##2: #i; #_; nrewrite > (S_plus i nindex); napply refl]
 174          ##| napply ad_hoc4]##]
 175    ##| nwhd in ⊢ (???%?);
 176        nchange in Hni1 with (nindex < S n);
 177        ngeneralize in match (le_S_S_to_le … Hni1) in ⊢ ?;
 178        nwhd in ⊢ (? → ???(???????%?)?);
 179        napply (nat_rect_CProp0
 180         (λx. nindex ≤ x →
 181           eq_rel (carr A) (eq A)
 182           (partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 183            (plus
 184              (big_plus (minus x nindex) (λi.λ_:i < minus x nindex.s (S (plus i nindex))))
 185              nindex2) x) y) ?? n)
 186         [ #K; nrewrite < (minus_O_n nindex); nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 187           nwhd in ⊢ (???%?); nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex);
 188           ngeneralize in match (le_O_to_eq … K) in ⊢ ?; #K';
 189           ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 190           ngeneralize in match Hni22 in ⊢ ?;
 191           nrewrite > K' in ⊢ (% → % → ?); #K1; #K2;
 192           nrewrite > (ltb_t … K2);
 193           nwhd in ⊢ (???%?); nassumption
 194         | #n'; #Hrec; #HH; nelim (le_to_lt_or_eq … HH)
 195            [##2: #K; nrewrite < K; nrewrite < (minus_canc nindex);
 196             nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 197             nrewrite > K;
 198             nwhd in ⊢ (???%?); nrewrite < K; nrewrite > (ltb_t … Hni21);
 199             nwhd in ⊢ (???%?); nassumption
 200          ##| #K; ngeneralize in match (le_S_S_to_le … K) in ⊢ ?; #K';
 201              nwhd in ⊢ (???%?);
 202              ngeneralize in match (?:
 203               ¬ (big_plus (S n' - nindex) (λi,p.s (S (i+nindex))) + nindex2 < s (S n'))) in ⊢ ?
 204               [ #N; nrewrite > (ltb_f … N); nwhd in ⊢ (???%?);
 205                 ngeneralize in match (Hrec K') in ⊢ ?; #Hrec';
 206                 napply (eq_rect_CProp0_r ??
 207                  (λx,p. eq_rel (carr A) (eq A) (partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 208                   (big_plus x ? + ? - ?) n') y) ?? (minus_S n' nindex K'));
 209                 nrewrite > (split_big_plus (S (n' - nindex)) (n' - nindex)
 210                  (λi,p.s (S (i+nindex))) (le_S ?? (le_n ?)));
 211                 nrewrite > (ad_hoc5 (n' - nindex));
 212                 nnormalize in ⊢ (???(???????(?(?(??%)?)?)?)?);
 213                 nrewrite > (ad_hoc6 … K');
 214                 nrewrite > (ad_hoc7 (big_plus (n' - nindex) (λi,p.s (S (i+nindex))))
 215                  (s (S n')) nindex2);
 216                 nassumption
 217               | nrewrite > (minus_S … K');
 218                 nrewrite > (split_big_plus (S (n' - nindex)) (n' - nindex)
 219                  (λi,p.s (S (i+nindex))) (le_S ?? (le_n ?)));
 220                 nrewrite > (ad_hoc5 (n' - nindex));
 221                 nnormalize in ⊢ (?(?(?(??%)?)?));
 222                 nrewrite > (ad_hoc6 … K');
 223                 napply ad_hoc8]##]##]##]
 224 ##| #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %); #Hx; #Hx';
 225     nelim (partition_splits_card_output A P n s f fi x Hx); #i1x; *; #i2x; #Ex;
 226     nelim (partition_splits_card_output A P n s f fi x' Hx'); #i1x'; *; #i2x'; #Ex';
 227     ngeneralize in match (? :
 228      iso_f ???? fi i1x(* ≬ iso_f ???? (fi i1x'))*)) in ⊢ ?;
 229     #E; napply (f_inj ???? (fi i1x));
 230
 231     nelim n in ⊢ (% → % → (???(????????%)(????????%)) → ?)
 232      [ nnormalize in ⊢ (% → % → ?); nrewrite > (plus_n_O (s O));
 233        nchange in ⊢ (% → ?) with (x < s O);
 234        nchange in ⊢ (? → % → ?) with (x' < s O);
 235        #H1; #H2; nwhd in ⊢ (???%% → ?);
 236        nrewrite > (ltb_t … H1); nrewrite > (ltb_t … H2); nwhd in ⊢ (???%% → ?);
 237        napply f_inj; nassumption
 238      | #n'; #Hrec; #Hx; #Hx'; nwhd in ⊢ (???%% → ?);
 239   ]
 240 nqed.
 241
 242 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 243
 244 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 245  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 246  #A; #R; napply mk_partition
 247   [ napply (quotient ? R)
 248   | napply Full_set
 249   | napply mk_unary_morphism1
 250      [ #a; napply mk_qpowerclass
 251         [ napply {x | R x a}
 252         | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 253    ##| #a; #a'; #H; napply conj; #x; nnormalize; #K [ nelim daemon | nelim daemon]##]
 254 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 255   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 256     napply sym; nassumption
 257   | nnormalize; napply conj
 258      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 259 nqed.