helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  24  { support: setoid;
  25    indexes: qpowerclass support;
  26    class: support → qpowerclass A;
  27    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  28    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  29    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  30  }. napply indexes; nqed.
  31
  32 naxiom daemon: False.
  33
  34 nlet rec partition_splits_card_map
  35  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  36  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  37  on index : A ≝
  38  match ltb m (s index) with
  39   [ or_introl _ ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  40   | or_intror _ ⇒
  41      match index with
  42       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  43       | S index' ⇒
  44          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  45
  46 nlemma partition_splits_card:
  47  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
  48   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
  49    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
  50     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
  51  #A; #P; #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
  52   [ napply mk_unary_morphism
  53      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P n s f fi m n)
  54      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
  55 ##| #y; #_;
  56     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
  57     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
  58     nelim daemon
  59   | #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %);
  60     nelim daemon
  61   ]
  62 nqed.
  63
  64 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
  65
  66 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
  67  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
  68  #A; #R; napply mk_partition
  69   [ napply (quotient ? R)
  70   | napply Full_set
  71   | #a; napply mk_qpowerclass
  72      [ napply {x | R x a}
  73      | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
  74 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
  75   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
  76     napply sym; nassumption
  77   | nnormalize; napply conj
  78      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
  79 nqed.