helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  25  { support: setoid;
  26    indexes: qpowerclass support;
  27    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (qpowerclass_setoid A);
  28    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  29    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  30    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  31  }. napply indexes; nqed.
  32
  33 naxiom daemon: False.
  34
  35 nlet rec partition_splits_card_map
  36  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  37  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  38  on index : A ≝
  39  match ltb m (s index) with
  40   [ or_introl _ ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  41   | or_intror _ ⇒
  42      match index with
  43       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  44       | S index' ⇒
  45          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  46
  47 naxiom big_union_preserves_iso:
  48  ∀A,A',B,T,T',f.
  49   ∀g: isomorphism A' A T' T.
  50    big_union A B T f = big_union A' B T' (λx.f (iso_f ???? g x)).
  51
  52 nlemma partition_splits_card:
  53  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
  54   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
  55    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
  56     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
  57  #A; #P; #Sn; ncases Sn
  58   [ #s; #f; #fi;
  59     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #H;
  60     ngeneralize in match
  61      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f) in ⊢ ?;
  62      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);
  63     nelim daemon (* impossibile *)
  64   | #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
  65   [ napply mk_unary_morphism
  66      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi m n)
  67      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
  68 ##| #y; #_;
  69     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
  70     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
  71     ngeneralize in match (f_sur ???? f ? Hi1) in ⊢ ?; *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
  72     ngeneralize in match (f_sur ???? (fi nindex) y ?) in ⊢ ?
  73      [##2: napply (. #‡(†?));##[##3: napply Hni2 |##2: ##skip | nassumption]##]
  74     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
  75     nletin xxx ≝ (plus match nindex return λ_.nat with [ O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s i)] nindex2);
  76     napply (ex_intro … xxx); napply conj
  77      [ nwhd in Hni1; nelim daemon
  78      | nwhd in ⊢ (???%?);
  79        (* BEL POSTO DOVE FARE UN LEMMA *)
  80        (* invariante: Hni1; altre premesse: Hni1, Hni22 *)
  81        nchange in Hni1 with (nindex < S n); ngeneralize in match Hni1 in ⊢ ?;
  82        nelim n in ⊢ (% → ??? (????????%) ?)
  83         [ #A (* decompose *)
  84         | #index'; #Hrec; #K; nwhd in ⊢ (???%?);
  85           nelim (ltb xxx (s (S index')));
  86           #K1; nwhd in ⊢ (???%?)
  87            [
  88
  89            nindex < S index' + 1
  90            +^{nindex} (s i) w < s (S index')
  91            S index' == nindex
  92
  93            |
  94            ]
  95         ]
  96      ]
  97   | #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %);
  98     nelim daemon
  99   ]
 100 nqed.
 101
 102 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 103
 104 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 105  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 106  #A; #R; napply mk_partition
 107   [ napply (quotient ? R)
 108   | napply Full_set
 109   | #a; napply mk_qpowerclass
 110      [ napply {x | R x a}
 111      | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 112 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 113   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 114     napply sym; nassumption
 115   | nnormalize; napply conj
 116      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 117 nqed.