helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  25 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  26 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  27 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  28 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  29 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  30 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  31 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  32  { support: setoid;
  33    indexes: qpowerclass support;
  34    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (qpowerclass_setoid A);
  35    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  36    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  37    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  38  }. napply indexes; nqed.
  39
  40 naxiom daemon: False.
  41
  42 nlet rec partition_splits_card_map
  43  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  44  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  45  on index : A ≝
  46  match ltb m (s index) with
  47   [ true ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  48   | false ⇒
  49      match index with
  50       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  51       | S index' ⇒
  52          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  53
  54 naxiom big_union_preserves_iso:
  55  ∀A,A',B,T,T',f.
  56   ∀g: isomorphism A' A T' T.
  57    big_union A B T f = big_union A' B T' (λx.f (iso_f ???? g x)).
  58
  59 naxiom le_to_lt_or_eq: ∀n,m. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
  60 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
  61 naxiom minus_canc: ∀n. O = minus n n.
  62 naxiom lt_to_ltb_t: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P true → n < m → P (ltb n m).
  63 naxiom lt_to_ltb_f: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P false → ¬ (n < m) → P (ltb n m).
  64 naxiom lt_to_minus: ∀n,m. n < m →  S (minus (minus m n) (S O)) = minus m n.
  65 naxiom not_lt_O: ∀n. ¬ (n < O).
  66 naxiom minus_S: ∀n,m. m ≤ n → minus (S n) m = S (minus n m).
  67 naxiom minus_lt_to_lt: ∀n,m,p. n < p → minus n m < p.
  68 naxiom minus_O_n: ∀n. O = minus O n.
  69 naxiom le_O_to_eq: ∀n. n ≤ O → n=O.
  70 naxiom lt_to_minus_to_S: ∀n,m. m < n → ∃k. minus n m = S k.
  71 naxiom ltb_t: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
  72 naxiom ltb_f: ∀n,m. ¬ (n < m) → ltb n m = false.
  73 naxiom plus_n_O: ∀n. plus n O = n.
  74 naxiom not_lt_plus: ∀n,m. ¬ (plus n m < n).
  75 naxiom lt_to_lt_plus: ∀n,m,l. n < m → n < m + l.
  76 naxiom S_plus: ∀n,m. S (n + m) = n + S m.
  77 naxiom big_plus_ext: ∀n,f,f'. (∀i,p. f i p = f' i p) → big_plus n f = big_plus n f'.
  78 naxiom ad_hoc1: ∀n,m,l. n + (m + l) = l + (n + m).
  79 naxiom assoc: ∀n,m,l. n + m + l = n + (m + l).
  80 naxiom lt_canc: ∀n,m,p. n < m → p + n < p + m.
  81 naxiom ad_hoc2: ∀a,b. a < b → b - a - (b - S a) = S O.
  82 naxiom ad_hoc3: ∀a,b. b < a → S (O + (a - S b) + b) = a.
  83 naxiom ad_hoc4: ∀a,b. a - S b ≤ a - b.
  84 naxiom ad_hoc5: ∀a. S a - a = S O.
  85 naxiom ad_hoc6: ∀a,b. b ≤ a → a - b + b = a.
  86 naxiom ad_hoc7: ∀a,b,c. a + (b + O) + c - b = a + c.
  87 naxiom ad_hoc8: ∀a,b,c. ¬ (a + (b + O) + c < b).
  88
  89
  90 naxiom split_big_plus:
  91   ∀n,m,f. m ≤ n →
  92    big_plus n f = big_plus m (λi,p.f i ?) + big_plus (n - m) (λi.λp.f (i + m) ?).
  93  nelim daemon.
  94 nqed.
  95
  96 nlemma partition_splits_card:
  97  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
  98   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
  99    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
 100     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
 101  #A; #P; #Sn; ncases Sn
 102   [ #s; #f; #fi;
 103     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #H;
 104     ngeneralize in match
 105      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f) in ⊢ ?;
 106      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);
 107     nelim daemon (* impossibile *)
 108   | #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
 109   [ napply mk_unary_morphism
 110      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi m n)
 111      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
 112 ##| #y; #_;
 113     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
 114     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
 115     ngeneralize in match (f_sur ???? f ? Hi1) in ⊢ ?; *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
 116     ngeneralize in match (f_sur ???? (fi nindex) y ?) in ⊢ ?
 117      [##2: napply (. #‡(†?));##[##3: napply Hni2 |##2: ##skip | nassumption]##]
 118     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
 119     nletin xxx ≝ (plus (big_plus (minus n nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2);
 120     napply (ex_intro … xxx); napply conj
 121      [ nwhd in Hni1; nwhd; nwhd in ⊢ (?(? %)%);
 122        nchange with (? < plus (s n) (big_plus n ?));
 123        nelim (le_to_lt_or_eq … (le_S_S_to_le … Hni1))
 124         [##2: #E; nrewrite < E; nrewrite < (minus_canc nindex);
 125           nwhd in ⊢ (?%?); nrewrite < E; napply lt_to_lt_plus; nassumption
 126         | #L; nrewrite > (split_big_plus n (S nindex) (λm.λ_.s m) L);
 127           nrewrite > (split_big_plus (n - nindex) (n - S nindex) (λi.λ_.s (S (i+nindex))) ?)
 128            [ ngeneralize in match (big_plus_ext (n - S nindex)
 129               (λi,p.s (S (i+nindex))) (λi,p.s (i + S nindex)) ?) in ⊢ ?
 130                [ #E;
 131                  napply (eq_rect_CProp0_r ??
 132                   (λx:nat.λ_. x + big_plus (n - nindex - (n - S nindex))
 133                    (λi,p.s (S (i + (n - S nindex)+nindex))) + nindex2 <
 134                    s n + (big_plus (S nindex) (λi,p.s i) +
 135                     big_plus (n - S nindex) (λi,p. s (i + S nindex)))) ? ? E);
 136                  nrewrite > (ad_hoc1 (s n) (big_plus (S nindex) (λi,p.s i))
 137                   (big_plus (n - S nindex) (λi,p. s (i + S nindex))));
 138                  napply (eq_rect_CProp0_r
 139                   ?? (λx.λ_.x < ?) ?? (assoc
 140                   (big_plus (n - S nindex) (λi,p.s (i + S nindex)))
 141                   (big_plus (n - nindex - (n - S nindex))
 142                    (λi,p.s (S (i + (n - S nindex)+nindex))))
 143                   nindex2));
 144                  napply lt_canc;
 145                  nrewrite > (ad_hoc2 … L); nwhd in ⊢ (?(?%?)?);
 146                  nrewrite > (ad_hoc3 … L);
 147                  napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λx.λ_.x < ?) ?? (assoc …));
 148                  napply lt_canc; nnormalize in ⊢ (?%?); nwhd in ⊢ (??%);
 149                  napply lt_to_lt_plus; nassumption
 150              ##|##2: #i; #_; nrewrite > (S_plus i nindex); napply refl]
 151          ##| napply ad_hoc4]##]
 152    ##| nwhd in ⊢ (???%?);
 153        nchange in Hni1 with (nindex < S n);
 154        ngeneralize in match (le_S_S_to_le … Hni1) in ⊢ ?;
 155        nwhd in ⊢ (? → ???(???????%?)?);
 156        napply (nat_rect_CProp0
 157         (λx. nindex ≤ x →
 158           eq_rel (carr A) (eq A)
 159           (partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 160            (plus
 161              (big_plus (minus x nindex) (λi.λ_:i < minus x nindex.s (S (plus i nindex))))
 162              nindex2) x) y) ?? n)
 163         [ #K; nrewrite < (minus_O_n nindex); nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 164           nwhd in ⊢ (???%?); nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex);
 165           ngeneralize in match (le_O_to_eq … K) in ⊢ ?; #K';
 166           ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 167           ngeneralize in match Hni22 in ⊢ ?;
 168           nrewrite > K' in ⊢ (% → % → ?); #K1; #K2;
 169           nrewrite > (ltb_t … K2);
 170           nwhd in ⊢ (???%?); nassumption
 171         | #n'; #Hrec; #HH; nelim (le_to_lt_or_eq … HH)
 172            [##2: #K; nrewrite < K; nrewrite < (minus_canc nindex);
 173             nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 174             nrewrite > K;
 175             nwhd in ⊢ (???%?); nrewrite < K; nrewrite > (ltb_t … Hni21);
 176             nwhd in ⊢ (???%?); nassumption
 177          ##| #K; ngeneralize in match (le_S_S_to_le … K) in ⊢ ?; #K';
 178              nwhd in ⊢ (???%?);
 179              ngeneralize in match (?:
 180               ¬ (big_plus (S n' - nindex) (λi,p.s (S (i+nindex))) + nindex2 < s (S n'))) in ⊢ ?
 181               [ #N; nrewrite > (ltb_f … N); nwhd in ⊢ (???%?);
 182                 ngeneralize in match (Hrec K') in ⊢ ?; #Hrec';
 183                 napply (eq_rect_CProp0_r ??
 184                  (λx,p. eq_rel (carr A) (eq A) (partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 185                   (big_plus x ? + ? - ?) n') y) ?? (minus_S n' nindex K'));
 186                 nrewrite > (split_big_plus (S (n' - nindex)) (n' - nindex)
 187                  (λi,p.s (S (i+nindex))) (le_S ?? (le_n ?)));
 188                 nrewrite > (ad_hoc5 (n' - nindex));
 189                 nnormalize in ⊢ (???(???????(?(?(??%)?)?)?)?);
 190                 nrewrite > (ad_hoc6 … K');
 191                 nrewrite > (ad_hoc7 (big_plus (n' - nindex) (λi,p.s (S (i+nindex))))
 192                  (s (S n')) nindex2);
 193                 nassumption
 194               | nrewrite > (minus_S … K');
 195                 nrewrite > (split_big_plus (S (n' - nindex)) (n' - nindex)
 196                  (λi,p.s (S (i+nindex))) (le_S ?? (le_n ?)));
 197                 nrewrite > (ad_hoc5 (n' - nindex));
 198                 nnormalize in ⊢ (?(?(?(??%)?)?));
 199                 nrewrite > (ad_hoc6 … K');
 200                 napply ad_hoc8]##]##]##]
 201 ##| #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %);
 202     nelim daemon
 203   ]
 204 nqed.
 205
 206 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 207
 208 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 209  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 210  #A; #R; napply mk_partition
 211   [ napply (quotient ? R)
 212   | napply Full_set
 213   | napply mk_unary_morphism1
 214      [ #a; napply mk_qpowerclass
 215         [ napply {x | R x a}
 216         | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 217    ##| #a; #a'; #H; napply conj; #x; nnormalize; #K [ nelim daemon | nelim daemon]##]
 218 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 219   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 220     napply sym; nassumption
 221   | nnormalize; napply conj
 222      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 223 nqed.