helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19 include "datatypes/pairs.ma".
  20
  21 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  22
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  25 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  26 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  27 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  28 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  29 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  30 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  31 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  32  { support: setoid;
  33    indexes: ext_powerclass support;
  34    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (ext_powerclass_setoid A);
  35    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  36    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i = j;
  37    covers: big_union support ? indexes (λx.class x) = full_set A
  38  }.
  39
  40 naxiom daemon: False.
  41
  42 nlet rec iso_nat_nat_union (s: nat → nat) m index on index : pair nat nat ≝
  43  match ltb m (s index) with
  44   [ true ⇒ mk_pair … index m
  45   | false ⇒
  46      match index with
  47       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) mk_pair … O O
  48       | S index' ⇒ iso_nat_nat_union s (minus m (s index)) index']].
  49
  50 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
  51 naxiom plus_n_O: ∀n. n + O = n.
  52 naxiom plus_n_S: ∀n,m. n + S m = S (n + m).
  53 naxiom ltb_t: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
  54 naxiom ltb_f: ∀n,m. ¬ (n < m) → ltb n m = false.
  55 naxiom ltb_cases: ∀n,m. (n < m ∧ ltb n m = true) ∨ (¬ (n < m) ∧ ltb n m = false).
  56 naxiom minus_canc: ∀n. minus n n = O.
  57 naxiom ad_hoc9: ∀a,b,c. a < b + c → a - b < c.
  58 naxiom ad_hoc10: ∀a,b,c. a - b = c → a = b + c.
  59 naxiom ad_hoc11: ∀a,b. a - b ≤ S a - b.
  60 naxiom ad_hoc12: ∀a,b. b ≤ a → S a - b - (a - b) = S O.
  61 naxiom ad_hoc13: ∀a,b. b ≤ a → (O + (a - b)) + b = a.
  62 naxiom ad_hoc14: ∀a,b,c,d,e. c ≤ a → a - c = b + d + e → a = b + (c + d) + e.
  63 naxiom ad_hoc15: ∀a,a',b,c. a=a' → b < c → a + b < c + a'.
  64 naxiom ad_hoc16: ∀a,b,c. a < c → a < b + c.
  65 naxiom not_lt_to_le: ∀a,b. ¬ (a < b) → b ≤ a.
  66 naxiom le_to_le_S_S: ∀a,b. a ≤ b → S a ≤ S b.
  67 naxiom minus_S: ∀n. S n - n = S O.
  68 naxiom ad_hoc17: ∀a,b,c,d,d'. a+c+d=b+c+d' → a+d=b+d'.
  69 naxiom split_big_plus:
  70   ∀n,m,f. m ≤ n →
  71    big_plus n f = big_plus m (λi,p.f i ?) + big_plus (n - m) (λi.λp.f (i + m) ?).
  72  nelim daemon.
  73 nqed.
  74 naxiom big_plus_preserves_ext:
  75  ∀n,f,f'. (∀i,p. f i p = f' i p) → big_plus n f = big_plus n f'.
  76
  77 ntheorem iso_nat_nat_union_char:
  78  ∀n:nat. ∀s: nat → nat. ∀m:nat. m < big_plus (S n) (λi.λ_.s i) →
  79   let p ≝ iso_nat_nat_union s m n in
  80    m = big_plus (n - fst … p) (λi.λ_.s (S (i + fst … p))) + snd … p ∧
  81     fst … p ≤ n ∧ snd … p < s (fst … p).
  82  #n; #s; nelim n
  83   [ #m; nwhd in ⊢ (??% → let p ≝ % in ?); nwhd in ⊢ (??(??%) → ?);
  84     nrewrite > (plus_n_O (s O)); #H; nrewrite > (ltb_t … H); nnormalize; @
  85     [ @ [ napply refl | napply le_n ] ##| nassumption ]
  86 ##| #n'; #Hrec; #m; nwhd in ⊢ (??% → let p ≝ % in ?); #H;
  87     ncases (ltb_cases m (s (S n'))); *; #H1; #H2; nrewrite > H2;
  88     nwhd in ⊢ (let p ≝ % in ?); nwhd
  89      [ napply conj [napply conj
  90         [ nwhd in ⊢ (????(?(?%(λ_.λ_:(??%).?))%)); nrewrite > (minus_canc n'); napply refl
  91         | nnormalize; napply le_n]
  92       ##| nnormalize; nassumption ]
  93    ##| nchange in H with (m < s (S n') + big_plus (S n') (λi.λ_.s i));
  94        nlapply (Hrec (m - s (S n')) ?)
  95         [ napply ad_hoc9; nassumption] *; *; #Hrec1; #Hrec2; #Hrec3; @
  96         [##2: nassumption
  97         |@
  98          [nrewrite > (split_big_plus …); ##[##2:napply ad_hoc11;##|##3:##skip]
  99           nrewrite > (ad_hoc12 …); ##[##2: nassumption]
 100           nwhd in ⊢ (????(?(??%)?));
 101           nrewrite > (ad_hoc13 …);##[##2: nassumption]
 102           napply ad_hoc14 [ napply not_lt_to_le; nassumption ]
 103           nwhd in ⊢ (???(?(??%)?));
 104           nrewrite > (plus_n_O …);
 105           nassumption;
 106         ##| napply le_S; nassumption ]##]##]##]
 107 nqed.
 108
 109 ntheorem iso_nat_nat_union_pre:
 110  ∀n:nat. ∀s: nat → nat.
 111   ∀i1,i2. i1 ≤ n → i2 < s i1 →
 112    big_plus (n - i1) (λi.λ_.s (S (i + i1))) + i2 < big_plus (S n) (λi.λ_.s i).
 113  #n; #s; #i1; #i2; #H1; #H2;
 114  nrewrite > (split_big_plus (S n) (S i1) (λi.λ_.s i) ?)
 115   [##2: napply le_to_le_S_S; nassumption]
 116  napply ad_hoc15
 117   [ nwhd in ⊢ (???(?%?));
 118     napply big_plus_preserves_ext; #i; #_;
 119     nrewrite > (plus_n_S i i1); napply refl
 120   | nrewrite > (split_big_plus (S i1) i1 (λi.λ_.s i) ?) [##2: napply le_S; napply le_n]
 121     napply ad_hoc16; nrewrite > (minus_S i1); nnormalize; nrewrite > (plus_n_O (s i1) …);
 122     nassumption ]
 123 nqed.
 124
 125 ntheorem iso_nat_nat_union_uniq:
 126  ∀n:nat. ∀s: nat → nat.
 127   ∀i1,i1',i2,i2'. i1 ≤ n → i1' ≤ n → i2 < s i1 → i2' < s i1' →
 128    big_plus (n - i1) (λi.λ_.s (S (i + i1))) + i2 = big_plus (n - i1') (λi.λ_.s (S (i + i1'))) + i2' →
 129     i1 = i1' ∧ i2 = i2'.
 130  #n; #s; #i1; #i1'; #i2; #i2'; #H1; #H1'; #H2; #H2'; #E;
 131  nelim daemon.
 132 nqed.
 133
 134 nlemma partition_splits_card:
 135  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
 136   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
 137    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
 138     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
 139 #A; #P; #Sn; ncases Sn
 140   [ #s; #f; #fi;
 141     nlapply (covers ? P); *; #_; #H;
 142     (*
 143     nlapply
 144      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f);
 145      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);*)
 146     nelim daemon (* impossibile *)
 147   | #n; #s; #f; #fi; @
 148   [ @
 149      [ napply (λm.let p ≝ (iso_nat_nat_union s m n) in iso_f ???? (fi (fst … p)) (snd … p))
 150      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
 151 ##| #x; #Hx; nwhd; napply I
 152 ##| #y; #_;
 153     nlapply (covers ? P); *; #_; #Hc;
 154     nlapply (Hc y I); *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
 155     nlapply (f_sur ???? f ? Hi1); *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
 156     nlapply (f_sur ???? (fi nindex) y ?)
 157      [ alias symbol "refl" = "refl".
 158 alias symbol "prop1" = "prop11".
 159 napply (. #‡(†?));##[##2: napply Hni2 |##1: ##skip | nassumption]##]
 160     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
 161     nletin xxx ≝ (plus (big_plus (minus n nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2);
 162     @ xxx; @
 163      [ napply iso_nat_nat_union_pre [ napply le_S_S_to_le; nassumption | nassumption ]
 164    ##| nwhd in ⊢ (???%%); napply (.= ?) [##3: nassumption|##skip]
 165        nlapply (iso_nat_nat_union_char n s xxx ?)
 166         [napply iso_nat_nat_union_pre [ napply le_S_S_to_le; nassumption | nassumption]##]
 167        *; *; #K1; #K2; #K3;
 168        nlapply
 169         (iso_nat_nat_union_uniq n s nindex (fst … (iso_nat_nat_union s xxx n))
 170           nindex2 (snd … (iso_nat_nat_union s xxx n)) ?????)
 171         [##6: *; #E1; #E2; nrewrite > E1; nrewrite > E2; napply refl
 172         |##5: napply le_S_S_to_le; nassumption
 173         |##*: nassumption]##]
 174 ##| #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %); #Hx; #Hx'; #E;
 175     ncut(∀i1,i2,i1',i2'. i1 ∈ Nat_ (S n) → i1' ∈ Nat_ (S n) → i2 ∈ pc ? (Nat_ (s i1)) → i2' ∈ pc ? (Nat_ (s i1')) → eq_rel (carr A) (eq A) (iso_f ???? (fi i1) i2) (iso_f ???? (fi i1') i2') → i1=i1' ∧ i2=i2');
 176     ##[ #i1; #i2; #i1'; #i2'; #Hi1; #Hi1'; #Hi2; #Hi2'; #E;
 177        nlapply(disjoint … P (f i1) (f i1') ???)
 178        [##2,3: napply f_closed; nassumption
 179        |##1: @ (fi i1 i2); @;
 180          ##[ napply f_closed; nassumption ##| alias symbol "refl" = "refl1".
 181 napply (. E‡#);
 182              nwhd; napply f_closed; nassumption]##]
 183       #E'; ncut(i1 = i1'); ##[ napply (f_inj … E'); nassumption; ##]
 184       #E''; nrewrite < E''; @;
 185       ##[ @;
 186       ##| nrewrite < E'' in E; #E'''; napply (f_inj … E''')
 187              [ nassumption | nrewrite > E''; nassumption ]##]##]
 188    ##] #K;
 189     nelim (iso_nat_nat_union_char n s x Hx); *; #i1x; #i2x; #i3x;
 190     nelim (iso_nat_nat_union_char n s x' Hx'); *; #i1x'; #i2x'; #i3x';
 191     nlapply (K … E)
 192      [##1,2: nassumption;
 193      ##|##3,4:napply le_to_le_S_S; nassumption; ##]
 194     *; #K1; #K2;
 195     napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λX.λ_.? = X) ?? i1x');
 196     napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λX.λ_.X = ?) ?? i1x);
 197     nrewrite > K1; nrewrite > K2; napply refl ]
 198 nqed.
 199
 200 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 201
 202 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 203  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 204  #A; #R; napply mk_partition
 205   [ napply (quotient ? R)
 206   | napply Full_set
 207   | napply mk_unary_morphism1
 208      [ #a; napply mk_qpowerclass
 209         [ napply {x | R x a}
 210         | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 211    ##| #a; #a'; #H; napply conj; #x; nnormalize; #K [ nelim daemon | nelim daemon]##]
 212 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 213   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 214     napply sym; nassumption
 215   | nnormalize; napply conj
 216      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 217 nqed.