helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  25 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  26 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  27  { support: setoid;
  28    indexes: qpowerclass support;
  29    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (qpowerclass_setoid A);
  30    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  31    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  32    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  33  }. napply indexes; nqed.
  34
  35 naxiom daemon: False.
  36
  37 nlet rec partition_splits_card_map
  38  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  39  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  40  on index : A ≝
  41  match ltb m (s index) with
  42   [ or_introl _ ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  43   | or_intror _ ⇒
  44      match index with
  45       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  46       | S index' ⇒
  47          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  48
  49 naxiom big_union_preserves_iso:
  50  ∀A,A',B,T,T',f.
  51   ∀g: isomorphism A' A T' T.
  52    big_union A B T f = big_union A' B T' (λx.f (iso_f ???? g x)).
  53
  54 naxiom le_to_lt_or_eq: ∀n,m. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
  55 naxiom minus_canc: ∀n. O = minus n n.
  56 naxiom lt_to_ltb:
  57  ∀n,m. ∀P: n < m ∨ ¬ (n < m) → CProp[0].
  58   (∀H: n < m. P (or_introl ?? H)) → n < m → P (ltb n m).
  59
  60 nlemma partition_splits_card:
  61  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
  62   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
  63    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
  64     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
  65  #A; #P; #Sn; ncases Sn
  66   [ #s; #f; #fi;
  67     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #H;
  68     ngeneralize in match
  69      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f) in ⊢ ?;
  70      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);
  71     nelim daemon (* impossibile *)
  72   | #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
  73   [ napply mk_unary_morphism
  74      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi m n)
  75      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
  76 ##| #y; #_;
  77     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
  78     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
  79     ngeneralize in match (f_sur ???? f ? Hi1) in ⊢ ?; *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
  80     ngeneralize in match (f_sur ???? (fi nindex) y ?) in ⊢ ?
  81      [##2: napply (. #‡(†?));##[##3: napply Hni2 |##2: ##skip | nassumption]##]
  82     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
  83     nletin xxx ≝ (plus match minus n nindex return λ_.nat with [ O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))] nindex2);
  84     napply (ex_intro … xxx); napply conj
  85      [ nwhd in Hni1; nwhd; nelim daemon
  86      | nwhd in ⊢ (???%?);
  87        nchange in Hni1 with (nindex < S n);
  88        ngeneralize in match (le_S_S_to_le … Hni1) in ⊢ ?; #K;
  89        nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
  90        nelim (le_to_lt_or_eq … K)
  91         [##2: #K'; nrewrite > K'; nrewrite < (minus_canc n); nnormalize;
  92          napply (eq_rect_CProp0 nat nindex (λx:nat.λ_.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi nindex2 x = y) ? n K');
  93          nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex); ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
  94          ngeneralize in match Hni22 in ⊢ ?;
  95          nelim nindex
  96           [ #X1; #X2; nwhd in ⊢ (??? % ?);
  97             napply (lt_to_ltb ???? X2); #D; nwhd in ⊢ (??? % ?); nassumption
  98           | #n0; #_; #X1; #X2; nwhd in ⊢ (??? % ?);
  99             napply (lt_to_ltb ???? X2); #D; nwhd in ⊢ (??? % ?); nassumption]
 100
 101
 102        (* BEL POSTO DOVE FARE UN LEMMA *)
 103        (* invariante: Hni1; altre premesse: Hni1, Hni22 *)
 104        nelim n in ⊢ (% → ??? (????????%) ?)
 105         [ #A (* decompose *)
 106         | #index'; #Hrec; #K; nwhd in ⊢ (???%?);
 107           nelim (ltb xxx (s (S index')));
 108           #K1; nwhd in ⊢ (???%?)
 109            [
 110
 111            nindex < S index' + 1
 112            +^{nindex} (s i) w < s (S index')
 113            S index' == nindex
 114
 115            |
 116            ]
 117         ]
 118      ]
 119   | #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %);
 120     nelim daemon
 121   ]
 122 nqed.
 123
 124 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 125
 126 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 127  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 128  #A; #R; napply mk_partition
 129   [ napply (quotient ? R)
 130   | napply Full_set
 131   | #a; napply mk_qpowerclass
 132      [ napply {x | R x a}
 133      | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 134 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 135   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 136     napply sym; nassumption
 137   | nnormalize; napply conj
 138      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 139 nqed.