helm/software/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  21 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  22 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  23 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  24 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  25 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  26 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  27 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  28 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  29  { support: setoid;
  30    indexes: qpowerclass support;
  31    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (qpowerclass_setoid A);
  32    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  33    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i=j;
  34    covers: big_union support ? ? (λx.class x) = full_set A
  35  }. napply indexes; nqed.
  36
  37 naxiom daemon: False.
  38
  39 nlet rec partition_splits_card_map
  40  A (P:partition A) n s (f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P))
  41  (fi: ∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) m index
  42  on index : A ≝
  43  match ltb m (s index) with
  44   [ true ⇒ iso_f ???? (fi index) m
  45   | false ⇒
  46      match index with
  47       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) iso_f ???? (fi O) O
  48       | S index' ⇒
  49          partition_splits_card_map A P n s f fi (minus m (s index)) index']].
  50
  51 naxiom big_union_preserves_iso:
  52  ∀A,A',B,T,T',f.
  53   ∀g: isomorphism A' A T' T.
  54    big_union A B T f = big_union A' B T' (λx.f (iso_f ???? g x)).
  55
  56 naxiom le_to_lt_or_eq: ∀n,m. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
  57 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
  58 naxiom minus_canc: ∀n. O = minus n n.
  59 naxiom lt_to_ltb_t: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P true → n < m → P (ltb n m).
  60 naxiom lt_to_ltb_f: ∀n,m. ∀P: bool → CProp[0]. P false → ¬ (n < m) → P (ltb n m).
  61 naxiom lt_to_minus: ∀n,m. n < m →  S (minus (minus m n) (S O)) = minus m n.
  62 naxiom not_lt_O: ∀n. ¬ (n < O).
  63 naxiom minus_S: ∀n,m. m ≤ n → minus (S n) m = S (minus n m).
  64 naxiom minus_lt_to_lt: ∀n,m,p. n < p → minus n m < p.
  65 naxiom minus_O_n: ∀n. O = minus O n.
  66 naxiom le_O_to_eq: ∀n. n ≤ O → n=O.
  67 naxiom lt_to_minus_to_S: ∀n,m. m < n → ∃k. minus n m = S k.
  68 naxiom ltb_t: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
  69
  70 nlemma partition_splits_card:
  71  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
  72   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
  73    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
  74     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
  75  #A; #P; #Sn; ncases Sn
  76   [ #s; #f; #fi;
  77     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #H;
  78     ngeneralize in match
  79      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f) in ⊢ ?;
  80      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);
  81     nelim daemon (* impossibile *)
  82   | #n; #s; #f; #fi; napply mk_isomorphism
  83   [ napply mk_unary_morphism
  84      [ napply (λm.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi m n)
  85      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
  86 ##| #y; #_;
  87     ngeneralize in match (covers ? P) in ⊢ ?; *; #_; #Hc;
  88     ngeneralize in match (Hc y I) in ⊢ ?; *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
  89     ngeneralize in match (f_sur ???? f ? Hi1) in ⊢ ?; *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
  90     ngeneralize in match (f_sur ???? (fi nindex) y ?) in ⊢ ?
  91      [##2: napply (. #‡(†?));##[##3: napply Hni2 |##2: ##skip | nassumption]##]
  92     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
  93     nletin xxx ≝ (plus match minus n nindex return λ_.nat with [ O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))] nindex2);
  94     napply (ex_intro … xxx); napply conj
  95      [ nwhd in Hni1; nwhd; nelim daemon
  96      | nwhd in ⊢ (???%?);
  97        nchange in Hni1 with (nindex < S n);
  98        ngeneralize in match (le_S_S_to_le … Hni1) in ⊢ ?;
  99        nwhd in ⊢ (? → ???(???????%?)?);
 100        napply (nat_rect_CProp0
 101         (λx. nindex ≤ x →
 102           partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 103            (plus
 104              match minus x nindex with
 105               [ O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))]
 106              nindex2) x = y) ?? n)
 107         [ #K; nrewrite < (minus_O_n nindex); nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 108           nwhd in ⊢ (???%?); nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex);
 109           ngeneralize in match (le_O_to_eq … K) in ⊢ ?; #K';
 110           ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 111           ngeneralize in match Hni22 in ⊢ ?;
 112           nrewrite > K' in ⊢ (% → % → ?); #K1; #K2;
 113           nrewrite > (ltb_t … K2);
 114           nwhd in ⊢ (???%?); nassumption
 115         | #n'; #Hrec; #HH; nelim (le_to_lt_or_eq … HH)
 116            [##2: #K; nrewrite < K; nrewrite < (minus_canc nindex);
 117             nwhd in ⊢ (???(???????%?)?);
 118             (*???????*)
 119          ##| #K; nwhd in ⊢ (???%?);
 120              nrewrite > (minus_S n' nindex ?) [##2: napply le_S_S_to_le; nassumption]
 121              ngeneralize in match (? :
 122               match S (minus n' nindex) with [O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))]
 123               = big_plus (minus n' nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) in ⊢ ? [##2: napply refl]
 124              #He; napply (eq_rect_CProp0_r ??
 125               (λx.λ_.
 126                 match ltb (plus x nindex2) (s (S n')) with
 127                  [ true ⇒ iso_f ???? (fi (S n')) (plus x nindex2)
 128                  | false ⇒ ?(*partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 129                      (minus (plus x nindex2) (s (S n'))) n'*)
 130                  ] = y)
 131               ?? He);
 132              ngeneralize in match (? :
 133               ltb (plus (big_plus (minus n' nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2)
 134                (s (S n')) = false) in ⊢ ?
 135                [ #Hc; nrewrite > Hc; nwhd in ⊢ (???%?);
 136                  nelim (le_to_lt_or_eq … (le_S_S_to_le … K))
 137                   [
 138                 ##| #E; ngeneralize in match Hc in ⊢ ?;
 139                     nrewrite < E; nrewrite < (minus_canc nindex);
 140                     nwhd in ⊢ (??(?%?)? → ?);
 141                     nrewrite > E in Hni21; #E'; nchange in E' with (nindex2 < s n');
 142                     ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 143
 144
 145                 ngeneralize in match (? :
 146                  minus (plus (big_plus (minus n' nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2)
 147                   (s (S n'))
 148                  =
 149                   plus
 150                    match minus n' nindex with
 151                     [ O ⇒ O | S nn ⇒ big_plus nn (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))] nindex2)
 152                  in ⊢ ?
 153                   [ #F; nrewrite > F; napply Hrec; napply le_S_S_to_le; nassumption
 154                   | nelim (le_to_lt_or_eq … (le_S_S_to_le … K))
 155                      [
 156                    ##| #E; nrewrite < E; nrewrite < (minus_canc nindex); nnormalize;
 157
 158                        nwhd in ⊢ (???%);
 159                      ]
 160
 161
 162               nrewrite > He;
 163
 164
 165               nnormalize in ⊢ (???%?);
 166
 167
 168
 169        nelim (le_to_lt_or_eq … K)
 170         [##2: #K'; nrewrite > K'; nrewrite < (minus_canc n); nnormalize;
 171          napply (eq_rect_CProp0 nat nindex (λx:nat.λ_.partition_splits_card_map A P (S n) s f fi nindex2 x = y) ? n K');
 172          nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex); ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 173          ngeneralize in match Hni22 in ⊢ ?;
 174          nelim nindex
 175           [ #X1; #X2; nwhd in ⊢ (??? % ?);
 176             napply (lt_to_ltb_t ???? X2); #D; nwhd in ⊢ (??? % ?); nassumption
 177           | #n0; #_; #X1; #X2; nwhd in ⊢ (??? % ?);
 178             napply (lt_to_ltb_t ???? X2); #D; nwhd in ⊢ (??? % ?); nassumption]
 179       ##| #K'; ngeneralize in match (lt_to_minus … K') in ⊢ ?; #K2;
 180           napply (eq_rect_CProp0 ?? (λx.λ_.?) ? ? K2); (* uffa, ancora??? *)
 181           nwhd in ⊢ (??? (???????(?%?)?) ?);
 182           ngeneralize in match K' in ⊢ ?;
 183           napply (nat_rect_CProp0
 184            (λx. nindex < x →
 185              partition_splits_card_map A P (S n) s f fi
 186               (plus (big_op plus_magma_type (minus (minus x nindex) (S O))
 187                 (λi.λ_.s (S (plus i nindex))) O) nindex2) x = y) ?? n)
 188            [ #A; nelim (not_lt_O … A)
 189            | #n'; #Hrec; #X; nwhd in ⊢ (???%?);
 190              ngeneralize in match
 191               (? : ¬ ((plus (big_op plus_magma_type (minus (minus (S n') nindex) (S O))
 192                 (λi.λ_.s (S (plus i nindex))) O) nindex2) < s (S n'))) in ⊢ ?
 193               [ #B1; napply (lt_to_ltb_f ???? B1); #B1'; nwhd in ⊢ (???%?);
 194                 nrewrite > (minus_S n' nindex …) [##2: napply le_S_S_to_le; nassumption]
 195                 ngeneralize in match (le_S_S_to_le … X) in ⊢ ?; #X';
 196                 nelim (le_to_lt_or_eq … X')
 197                  [##2: #X'';
 198                   nchange in Hni21 with (nindex2 < s nindex); ngeneralize in match Hni21 in ⊢ ?;
 199                   nrewrite > X''; nrewrite < (minus_canc n');
 200                   nrewrite < (minus_canc (S O)); nnormalize in ⊢ (? → %);
 201                   nelim n'
 202                    [ #Y; nwhd in ⊢ (??? % ?);
 203                      ngeneralize in match (minus_lt_to_lt ? (s (S O)) ? Y) in ⊢ ?; #Y';
 204                      napply (lt_to_ltb_t … Y'); #H; nwhd in ⊢ (???%?);
 205
 206                 nrewrite > (minus_S (minus n' nindex) (S O) …) [##2:
 207
 208               XXX;
 209
 210           nelim n in f K' ⊢ ?
 211            [ #A; nelim daemon;
 212
 213        (* BEL POSTO DOVE FARE UN LEMMA *)
 214        (* invariante: Hni1; altre premesse: Hni1, Hni22 *)
 215        nelim n in ⊢ (% → ??? (????????%) ?)
 216         [ #A (* decompose *)
 217         | #index'; #Hrec; #K; nwhd in ⊢ (???%?);
 218           nelim (ltb xxx (s (S index')));
 219           #K1; nwhd in ⊢ (???%?)
 220            [
 221
 222            nindex < S index' + 1
 223            +^{nindex} (s i) w < s (S index')
 224            S index' == nindex
 225
 226            |
 227            ]
 228         ]
 229      ]
 230   | #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %);
 231     nelim daemon
 232   ]
 233 nqed.
 234
 235 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 236
 237 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 238  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 239  #A; #R; napply mk_partition
 240   [ napply (quotient ? R)
 241   | napply Full_set
 242   | #a; napply mk_qpowerclass
 243      [ napply {x | R x a}
 244      | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 245 ##| #x; #_; nnormalize; napply (ex_intro … x); napply conj; napply refl
 246   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; #H1; #H2; napply (trans ?????? H2);
 247     napply sym; nassumption
 248   | nnormalize; napply conj
 249      [ #a; #_; napply I | #a; #_; napply (ex_intro … a); napply conj [ napply I | napply refl]##]
 250 nqed.