helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16 include "properties/relations.ma".
  17 include "hints_declaration.ma".
  18
  19 (*
  20 notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
  21 for @{ 'eqID $a $b }.
  22
  23 notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
  24 for @{ cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? $a $b }.
  25
  26 interpretation "ID eq" 'eqID x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y).
  27 *)
  28
  29 nrecord setoid : Type[1] ≝
  30  { carr:> Type[0];
  31    eq: equivalence_relation carr
  32  }.
  33
  34 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  35
  36 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  37 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
  38
  39 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  40 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  41 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  42
  43 nrecord unary_morphism (A,B: setoid) : Type[0] ≝
  44  { fun1:1> A → B;
  45    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
  46  }.
  47
  48 nrecord binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type[0] ≝
  49  { fun2:2> A → B → C;
  50    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
  51  }.
  52
  53 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
  54 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
  55 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
  56 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
  57 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
  58 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
  59
  60 ndefinition binary_morph_setoid : setoid → setoid → setoid → setoid.
  61 #S1; #S2; #T; @ (binary_morphism S1 S2 T); @;
  62 ##[ #f; #g; napply (∀x,y. f x y = g x y);
  63 ##| #f; #x; #y; napply #;
  64 ##| #f; #g; #H; #x; #y; napply ((H x y)^-1);
  65 ##| #f; #g; #h; #H1; #H2; #x; #y; napply (trans … (H1 …) (H2 …)); ##]
  66 nqed.
  67
  68 ndefinition unary_morph_setoid : setoid → setoid → setoid.
  69 #S1; #S2; @ (unary_morphism S1 S2); @;
  70 ##[ #f; #g; napply (∀x. f x = g x);
  71 ##| #f; #x; napply #;
  72 ##| #f; #g; #H; #x; napply ((H x)^-1);
  73 ##| #f; #g; #h; #H1; #H2; #x; napply (trans … (H1 …) (H2 …)); ##]
  74 nqed.
  75
  76 (*
  77 unification hint 0
  78  (∀o1,o2. (λx,y:Type[0].True) (carr (unary_morph_setoid o1 o2)) (unary_morphism o1 o2)).
  79 *)
  80
  81 ndefinition composition ≝
  82  λo1,o2,o3:Type[0].λf:o2 → o3.λg: o1 → o2.λx.f (g x).
  83
  84 interpretation "function composition" 'compose f g = (composition ??? f g).
  85
  86 ndefinition comp_unary_morphisms:
  87  ∀o1,o2,o3:setoid.
  88   unary_morphism o2 o3 → unary_morphism o1 o2 →
  89    unary_morphism o1 o3.
  90 #o1; #o2; #o3; #f; #g; @ (f ∘ g);
  91  #a; #a'; #e; nnormalize; napply (.= †(†e)); napply #.
  92 nqed.
  93
  94 unification hint 0 ≔ o1,o2,o3:setoid,f:unary_morphism o2 o3,g:unary_morphism o1 o2;
  95    R ≟ (mk_unary_morphism ?? (composition … f g)
  96         (prop1 ?? (comp_unary_morphisms o1 o2 o3 f g)))
  97  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  98                               fun1 ?? R ≡ (composition … f g).
  99
 100 ndefinition comp_binary_morphisms:
 101  ∀o1,o2,o3.
 102   binary_morphism (unary_morph_setoid o2 o3) (unary_morph_setoid o1 o2)
 103    (unary_morph_setoid o1 o3).
 104 #o1; #o2; #o3; @
 105  [ #f; #g; napply (comp_unary_morphisms … f g) (*CSC: why not ∘?*)
 106  | #a; #a'; #b; #b'; #ea; #eb; #x; nnormalize;
 107    napply (.= †(eb x)); napply ea.
 108 nqed.