helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "properties/relations1.ma".
  16 include "sets/setoids.ma".
  17 include "hints_declaration.ma".
  18
  19 nrecord setoid1: Type[2] ≝
  20  { carr1:> Type[1];
  21    eq1: equivalence_relation1 carr1
  22  }.
  23
  24 ndefinition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  25  #s; napply mk_setoid1
  26   [ napply (carr s)
  27   | napply (mk_equivalence_relation1 s)
  28     [ napply eq
  29     | napply refl
  30     | napply sym
  31     | napply trans]##]
  32 nqed.
  33
  34 (*ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid
  35  on _s: setoid to setoid1.*)
  36 (*prefer coercion Type_OF_setoid.*)
  37
  38 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  39 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  40
  41 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
  42 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
  43 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  44 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
  45 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
  46 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
  47
  48 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  49 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  50 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  51 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  52 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  53
  54 nrecord unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
  55  { fun11:1> A → B;
  56    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
  57  }.
  58
  59 nrecord binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type[1] ≝
  60  { fun21:2> A → B → C;
  61    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
  62  }.
  63
  64 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
  65 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
  66 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
  67
  68 ndefinition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
  69  #s; #s1; @ (unary_morphism1 s s1); @
  70      [ #f; #g; napply (∀a:s. f a = g a)
  71      | #x; #a; napply refl1
  72      | #x; #y; #H; #a; napply sym1; //
  73      | #x; #y; #z; #H1; #H2; #a; napply trans1; ##[##2: napply H1 | ##skip | napply H2]##]
  74 nqed.
  75
  76 unification hint 0 ≔ S, T ;
  77  R ≟ (unary_morphism1_setoid1 S T)
  78 (* --------------------------------- *) ⊢
  79    carr1 R ≡ unary_morphism1 S T.
  80
  81 ndefinition composition1 ≝
  82  λo1,o2,o3:Type[1].λf:o2 → o3.λg: o1 → o2.λx.f (g x).
  83
  84 interpretation "function composition" 'compose f g = (composition ??? f g).
  85 interpretation "function composition1" 'compose f g = (composition1 ??? f g).
  86
  87 ndefinition comp1_unary_morphisms:
  88  ∀o1,o2,o3:setoid1.
  89   unary_morphism1 o2 o3 → unary_morphism1 o1 o2 →
  90    unary_morphism1 o1 o3.
  91 #o1; #o2; #o3; #f; #g; @ (f ∘ g);
  92  #a; #a'; #e; nnormalize; napply (.= †(†e)); napply #.
  93 nqed.
  94
  95 unification hint 0 ≔ o1,o2,o3:setoid1,f:unary_morphism1 o2 o3,g:unary_morphism1 o1 o2;
  96    R ≟ (mk_unary_morphism1 ?? (composition1 … f g)
  97         (prop11 ?? (comp1_unary_morphisms o1 o2 o3 f g)))
  98  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  99                               fun11 ?? R ≡ (composition1 … f g).
 100
 101 ndefinition comp_binary_morphisms:
 102  ∀o1,o2,o3.
 103   binary_morphism1 (unary_morphism1_setoid1 o2 o3) (unary_morphism1_setoid1 o1 o2)
 104    (unary_morphism1_setoid1 o1 o3).
 105 #o1; #o2; #o3; @
 106  [ #f; #g; napply (comp1_unary_morphisms … f g) (*CSC: why not ∘?*)
 107  | #a; #a'; #b; #b'; #ea; #eb; #x; nnormalize;
 108    napply (.= †(eb x)); napply ea.
 109 nqed.