helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "properties/relations1.ma".
  16 include "sets/setoids.ma".
  17 include "hints_declaration.ma".
  18
  19 nrecord setoid1: Type[2] ≝
  20  { carr1:> Type[1];
  21    eq1: equivalence_relation1 carr1
  22  }.
  23
  24 ndefinition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  25  #s; napply mk_setoid1
  26   [ napply (carr s)
  27   | napply (mk_equivalence_relation1 s)
  28     [ napply eq0
  29     | napply refl
  30     | napply sym
  31     | napply trans]##]
  32 nqed.
  33
  34 (*ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid
  35  on _s: setoid to setoid1.*)
  36 (*prefer coercion Type_OF_setoid.*)
  37
  38 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  39 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq0 t) x y).
  40
  41 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
  42 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
  43 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  44 for @{ eq_rel ? (eq0 ?) $a $b }.
  45 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
  46 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
  47
  48 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  49 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  50 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  51 notation ".=_1 r" with precedence 50 for @{'trans_x1 $r}.
  52 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  53 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  54 interpretation "trans1_x1" 'trans_x1 r = (trans1 ????? r).
  55
  56 nrecord unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
  57  { fun11:1> A → B;
  58    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
  59  }.
  60
  61 notation "┼_1 c" with precedence 89 for @{'prop1_x1 $c }.
  62 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
  63 interpretation "prop11_x1" 'prop1_x1 c = (prop11 ????? c).
  64 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
  65
  66 ndefinition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
  67  #s; #s1; @ (unary_morphism1 s s1); @
  68      [ #f; #g; napply (∀a,a':s. a=a' → f a = g a')
  69      | #x; #a; #a'; #Ha; napply (.= †Ha); napply refl1
  70      | #x; #y; #H; #a; #a'; #Ha; napply (.= †Ha); napply sym1; /2/
  71      | #x; #y; #z; #H1; #H2; #a; #a'; #Ha; napply (.= †Ha); napply trans1; ##[##2: napply H1 | ##skip | napply H2]//;##]
  72 nqed.
  73
  74 unification hint 0 ≔ S, T ;
  75  R ≟ (unary_morphism1_setoid1 S T)
  76 (* --------------------------------- *) ⊢
  77    carr1 R ≡ unary_morphism1 S T.
  78
  79 notation "l ╪_1 r" with precedence 89 for @{'prop2_x1 $l $r }.
  80 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop11 ? (unary_morphism1_setoid1 ??) ? ?? l ?? r).
  81 interpretation "prop21_x1" 'prop2_x1 l r = (prop11 ? (unary_morphism1_setoid1 ??) ? ?? l ?? r).
  82
  83 nlemma unary_morph1_eq1: ∀A,B.∀f,g: unary_morphism1 A B. (∀x. f x = g x) → f=g.
  84 /3/. nqed.
  85
  86 nlemma mk_binary_morphism1:
  87  ∀A,B,C: setoid1. ∀f: A → B → C. (∀a,a',b,b'. a=a' → b=b' → f a b = f a' b') →
  88   unary_morphism1 A (unary_morphism1_setoid1 B C).
  89  #A; #B; #C; #f; #H; @ [ #x; @ (f x) ] #a; #a'; #Ha [##2: napply unary_morph1_eq1; #y]
  90  /2/.
  91 nqed.
  92
  93 ndefinition composition1 ≝
  94  λo1,o2,o3:Type[1].λf:o2 → o3.λg: o1 → o2.λx.f (g x).
  95
  96 interpretation "function composition" 'compose f g = (composition ??? f g).
  97 interpretation "function composition1" 'compose f g = (composition1 ??? f g).
  98
  99 ndefinition comp1_unary_morphisms:
 100  ∀o1,o2,o3:setoid1.
 101   unary_morphism1 o2 o3 → unary_morphism1 o1 o2 →
 102    unary_morphism1 o1 o3.
 103 #o1; #o2; #o3; #f; #g; @ (f ∘ g);
 104  #a; #a'; #e; nnormalize; napply (.= †(†e)); napply #.
 105 nqed.
 106
 107 unification hint 0 ≔ o1,o2,o3:setoid1,f:unary_morphism1 o2 o3,g:unary_morphism1 o1 o2;
 108    R ≟ (mk_unary_morphism1 ?? (composition1 … f g)
 109         (prop11 ?? (comp1_unary_morphisms o1 o2 o3 f g)))
 110  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
 111                               fun11 ?? R ≡ (composition1 … f g).
 112
 113 ndefinition comp1_binary_morphisms:
 114  ∀o1,o2,o3.
 115   unary_morphism1 (unary_morphism1_setoid1 o2 o3)
 116    (unary_morphism1_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 o1 o2) (unary_morphism1_setoid1 o1 o3)).
 117 #o1; #o2; #o3; napply mk_binary_morphism1
 118  [ #f; #g; napply (comp1_unary_morphisms … f g) (*CSC: why not ∘?*)
 119  | #a; #a'; #b; #b'; #ea; #eb; #x; #x'; #Hx; nnormalize; /3/ ]
 120 nqed.