helm/software/matita/nlibrary/sets/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
  20
  21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
  22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
  23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
  24
  25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
  26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
  27
  28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
  30
  31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
  32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
  33
  34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
  35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
  36
  37 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
  38
  39 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
  40
  41 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
  42
  43 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
  44 //.nqed.
  45
  46 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
  47 /3/.nqed.
  48
  49 include "properties/relations1.ma".
  50
  51 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
  52  #A; @
  53   [ napply (λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S)
  54   | /2/
  55   | #S; #S'; *; /2/
  56   | #S; #T; #U; *; #H1; #H2; *; /3/]
  57 nqed.
  58
  59 include "sets/setoids1.ma".
  60
  61 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
  62 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
  63
  64 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
  65  #A; @(Ω^A);//.
  66 nqed.
  67
  68 include "hints_declaration.ma".
  69
  70 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
  71 unification hint 0 ≔ A ⊢ carr1 (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A))) ≡ Ω^A.
  72
  73 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
  74
  75 include "logic/cprop.ma".
  76
  77 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝
  78  { ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso...
  79                 forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco
  80                 ma la sintassi :> non lo supporta *)
  81    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr)
  82  }.
  83
  84 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70
  85 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  86
  87 notation "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 70
  88 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  89
  90 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
  91
  92 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
  93  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
  94 nqed.
  95 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
  96
  97 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
  98  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
  99 nqed.
 100
 101 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
 102  #A; @ (ext_seteq A).
 103 nqed.
 104
 105 unification hint 0 ≔ A;
 106       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
 107   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢
 108                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
 109
 110 interpretation "prop21 mem" 'prop2 l r = (prop21 (setoid1_of_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ???? l r).
 111
 112 (*
 113 ncoercion ext_carr' : ∀A.∀x:ext_powerclass_setoid A. Ω^A ≝ ext_carr
 114 on _x : (carr1 (ext_powerclass_setoid ?)) to (Ω^?).
 115 *)
 116
 117 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph:
 118  ∀A. binary_morphism1 (setoid1_of_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) CPROP.
 119  #A; @
 120   [ napply (λx,S. x ∈ S)
 121   | #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H;
 122      ##[ napply Hb1; napply (. (ext_prop … Ha^-1)); nassumption;
 123      ##| napply Hb2; napply (. (ext_prop … Ha)); nassumption;
 124      ##]
 125   ##]
 126 nqed.
 127
 128 unification hint 0 ≔  A:setoid, x, S;
 129      SS ≟ (ext_carr ? S),
 130      TT ≟ (mk_binary_morphism1 ???
 131              (λx:setoid1_of_setoid ?.λS:ext_powerclass_setoid ?. x ∈ S)
 132              (prop21 ??? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph A))),
 133      XX ≟ (ext_powerclass_setoid A)
 134   (*-------------------------------------*) ⊢
 135       fun21 (setoid1_of_setoid A) XX CPROP TT x S
 136     ≡ mem A SS x.
 137
 138 nlemma subseteq_is_morph: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) CPROP.
 139  #A; @
 140   [ napply (λS,S'. S ⊆ S')
 141   | #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *;/4/]
 142 nqed.
 143
 144 unification hint 0 ≔ A,a,a'
 145  (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
 146   eq_rel ? (eq A) a a' ≡ eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid A)) a a'.
 147
 148 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 149  #A; #S; #S'; @ (S ∩ S');
 150  #a; #a'; #Ha; @; *; #H1; #H2; @
 151   [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 152 ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]
 153 nqed.
 154
 155 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 156 unification hint 0 ≔
 157   A : setoid, B,C : ext_powerclass A;
 158   R ≟ (mk_ext_powerclass ? (B ∩ C) (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C)))
 159
 160   (* ------------------------------------------*)  ⊢
 161     ext_carr A R ≡ intersect ? (ext_carr ? B) (ext_carr ? C).
 162
 163 nlemma intersect_is_morph:
 164  ∀A. binary_morphism1 (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A).
 165  #A; @ (λS,S'. S ∩ S');
 166  #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
 167 nqed.
 168
 169 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 170 unification hint 0 ≔
 171   A : Type[0], B,C : Ω^A;
 172   R ≟ (mk_binary_morphism1 …
 173        (λS,S'.S ∩ S')
 174        (prop21 … (intersect_is_morph A)))
 175    ⊢
 176     fun21 (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A) R B C
 177   ≡ intersect ? B C.
 178
 179 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r = (prop21 (ext_powerclass_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ???? l r).
 180
 181 nlemma intersect_is_ext_morph:
 182  ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
 183  #A; @ (intersect_is_ext …); nlapply (prop21 … (intersect_is_morph A));
 184 #H; #a; #a'; #b; #b'; #H1; #H2; napply H; nassumption;
 185 nqed.
 186
 187 unification hint 1 ≔
 188       A:setoid, B,C : 𝛀^A;
 189       R ≟ (mk_binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A)
 190               (λS,S':carr1 (ext_powerclass_setoid A).
 191                 mk_ext_powerclass A (S∩S') (ext_prop A (intersect_is_ext ? S S')))
 192               (prop21 … (intersect_is_ext_morph A))) ,
 193        BB ≟ (ext_carr ? B),
 194        CC ≟ (ext_carr ? C)
 195    (* ------------------------------------------------------*) ⊢
 196             ext_carr A
 197              (fun21
 198               (ext_powerclass_setoid A)
 199               (ext_powerclass_setoid A)
 200               (ext_powerclass_setoid A) R B C) ≡
 201             intersect (carr A) BB CC.
 202
 203 (*
 204 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
 205 unification hint 0 ≔
 206   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
 207   CC ≟ (ext_carr ? C),
 208   BB ≟ (ext_carr ? B),
 209   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
 210   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
 211   ⊢
 212      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡
 213           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
 214
 215 unification hint 0 ≔
 216   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.
 217
 218 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
 219  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
 220  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
 221   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
 222   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 223   napply (. K^-1‡H);
 224   nassumption;
 225 nqed.
 226
 227
 228 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
 229  #A; @
 230   [ #S; #S'; @
 231      [ napply (S ∩ S')
 232      | #a; #a'; #Ha;
 233         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
 234         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 235       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
 236  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
 237       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 238         alias symbol "refl" = "refl".
 239 alias symbol "prop2" = "prop21".
 240 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
 241       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
 242 nqed.
 243
 244 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
 245 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 246 unification hint 0 ≔
 247   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢
 248     pc A (fun21 …
 249             (mk_binary_morphism1 …
 250               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S')))
 251               (prop21 … (intersect_ok A)))
 252             B
 253             C)
 254     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
 255
 256 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
 257  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
 258 nqed.
 259 *)
 260
 261 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
 262  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
 263   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq B) (f x) y}.
 264
 265 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
 266  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
 267
 268 (******************* compatible equivalence relations **********************)
 269
 270 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
 271  { rel:> equivalence_relation A;
 272    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
 273  }.
 274
 275 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
 276  #A; #R; @ A R;
 277 nqed.
 278
 279 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
 280
 281 ndefinition eqrel_of_morphism:
 282  ∀A,B. unary_morphism A B → compatible_equivalence_relation A.
 283  #A; #B; #f; @
 284   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
 285 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
 286 napply (.= (†H)); // ]
 287 nqed.
 288
 289 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. unary_morphism A (quotient A R).
 290  #A; #R; @
 291   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
 292 nqed.
 293
 294 ndefinition quotiented_mor:
 295  ∀A,B.∀f:unary_morphism A B.
 296   unary_morphism (quotient … (eqrel_of_morphism … f)) B.
 297  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
 298 nqed.
 299
 300 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
 301  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 302   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
 303 //. nqed.
 304
 305 alias symbol "eq" = "setoid eq".
 306 ndefinition surjective ≝
 307  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:unary_morphism A B.
 308   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
 309
 310 ndefinition injective ≝
 311  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:unary_morphism A B.
 312   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
 313
 314 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
 315  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 316    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
 317 /3/. nqed.
 318
 319 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
 320  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 321    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
 322  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
 323 nqed.
 324
 325 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
 326  { iso_f:> unary_morphism A B;
 327    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
 328    f_sur: surjective … S T iso_f;
 329    f_inj: injective … S iso_f
 330  }.
 331
 332 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
 333 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
 334 nqed.
 335
 336 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
 337 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
 338 nqed.
 339
 340 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
 341 /3/. nqed.
 342
 343 (*
 344 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
 345  { iso_f:> unary_morphism A B;
 346    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
 347
 348
 349 ncheck (λA:?.
 350    λB:?.
 351     λS:?.
 352      λT:?.
 353       λxxx:isomorphism A B S T.
 354        match xxx
 355        return λxxx:isomorphism A B S T.
 356                ∀x: carr A.
 357                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
 358                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
 359         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).
 360
 361    ;
 362  }.
 363 *)