helm/software/matita/nlibrary/sets/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
  20
  21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
  22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
  23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
  24
  25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
  26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
  27
  28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
  30
  31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
  32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
  33
  34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
  35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
  36
  37 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
  38
  39 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
  40
  41 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
  42
  43 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
  44 //.nqed.
  45
  46 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
  47 /3/.nqed.
  48
  49 include "properties/relations1.ma".
  50
  51 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
  52  #A; @
  53   [ napply (λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S)
  54   | /2/
  55   | #S; #S'; *; /3/
  56   | #S; #T; #U; *; #H1; #H2; *; /4/]
  57 nqed.
  58
  59 include "sets/setoids1.ma".
  60
  61 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
  62 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
  63
  64 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
  65  #A; @(Ω^A);//.
  66 nqed.
  67
  68 include "hints_declaration.ma".
  69
  70 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
  71 unification hint 0 ≔ A ⊢ carr1 (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A))) ≡ Ω^A.
  72
  73 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
  74
  75 include "logic/cprop.ma".
  76
  77 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝
  78  { ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso...
  79                 forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco
  80                 ma la sintassi :> non lo supporta *)
  81    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr)
  82  }.
  83
  84 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70
  85 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  86
  87 notation < "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 90
  88 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  89
  90 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
  91
  92 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
  93  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
  94 nqed.
  95 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
  96
  97 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
  98  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
  99 nqed.
 100
 101 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
 102  #A; @ (ext_seteq A).
 103 nqed.
 104
 105 unification hint 0 ≔ A;
 106       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
 107   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢
 108                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
 109
 110 (*
 111 interpretation "prop21 mem" 'prop2 l r = (prop21 (setoid1_of_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ???? l r).
 112 *)
 113
 114 (*
 115 ncoercion ext_carr' : ∀A.∀x:ext_powerclass_setoid A. Ω^A ≝ ext_carr
 116 on _x : (carr1 (ext_powerclass_setoid ?)) to (Ω^?).
 117 *)
 118
 119 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph:
 120  ∀A. unary_morphism1 (setoid1_of_setoid A) (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) CPROP).
 121  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λx:setoid1_of_setoid A.λS: 𝛀^A. x ∈ S));
 122  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H
 123   [ napply (. (ext_prop … Ha^-1)) | napply (. (ext_prop … Ha)) ] /2/.
 124 nqed.
 125
 126 unification hint 0 ≔  AA, x, S;
 127      A ≟ carr AA,
 128      SS ≟ (ext_carr ? S),
 129      TT ≟ (mk_unary_morphism1 …
 130              (λx:setoid1_of_setoid ?.
 131                mk_unary_morphism1 …
 132                  (λS:ext_powerclass_setoid ?. x ∈ S)
 133                  (prop11 … (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA x)))
 134              (prop11 … (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA))),
 135      XX ≟ (ext_powerclass_setoid AA)
 136   (*-------------------------------------*) ⊢
 137       fun11 (setoid1_of_setoid AA)
 138        (unary_morphism1_setoid1 XX CPROP) TT x S
 139     ≡ mem A SS x.
 140
 141 nlemma subseteq_is_morph: ∀A. unary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A)
 142  (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) CPROP).
 143  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S':𝛀^A. S ⊆ S'));
 144  #a; #a'; #b; #b'; *; #H1; #H2; *; /5/ by mk_iff, sym1, subseteq_trans;
 145 nqed.
 146
 147 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type2".
 148 unification hint 0 ≔ A,a,a'
 149  (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
 150   eq_rel ? (eq0 A) a a' ≡ eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid A)) a a'.
 151
 152 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 153  #A; #S; #S'; @ (S ∩ S');
 154  #a; #a'; #Ha; @; *; #H1; #H2; @
 155   [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 156 ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]
 157 nqed.
 158
 159 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 160 unification hint 0 ≔
 161   A : setoid, B,C : ext_powerclass A;
 162   R ≟ (mk_ext_powerclass ? (B ∩ C) (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C)))
 163
 164   (* ------------------------------------------*)  ⊢
 165     ext_carr A R ≡ intersect ? (ext_carr ? B) (ext_carr ? C).
 166
 167 nlemma intersect_is_morph:
 168  ∀A. unary_morphism1 (powerclass_setoid A) (unary_morphism1_setoid1 (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A)).
 169  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S'. S ∩ S'));
 170  #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
 171 nqed.
 172
 173 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 174 unification hint 0 ≔
 175   A : Type[0], B,C : Ω^A;
 176   R ≟ (mk_unary_morphism1 …
 177        (λS. mk_unary_morphism1 … (λS'.S ∩ S') (prop11 … (intersect_is_morph A S)))
 178        (prop11 … (intersect_is_morph A)))
 179    ⊢
 180     R B C  ≡ intersect ? B C.
 181
 182 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r =
 183  (prop11 (ext_powerclass_setoid ?)
 184   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid ?) ?) ? ?? l ?? r).
 185
 186 nlemma intersect_is_ext_morph:
 187  ∀A. unary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A)
 188   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A)).
 189  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (intersect_is_ext …));
 190  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; napply (prop11 … (intersect_is_morph A)); nassumption.
 191 nqed.
 192
 193 unification hint 1 ≔
 194       AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 195       A ≟ carr AA,
 196       R ≟ (mk_unary_morphism1 …
 197               (λS:ext_powerclass_setoid AA.
 198                mk_unary_morphism1 ??
 199                 (λS':ext_powerclass_setoid AA.
 200                   mk_ext_powerclass AA (S∩S') (ext_prop AA (intersect_is_ext ? S S')))
 201                 (prop11 … (intersect_is_ext_morph AA S)))
 202               (prop11 … (intersect_is_ext_morph AA))) ,
 203        BB ≟ (ext_carr ? B),
 204        CC ≟ (ext_carr ? C)
 205    (* ------------------------------------------------------*) ⊢
 206             ext_carr AA (R B C) ≡ intersect A BB CC.
 207
 208 (*
 209 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
 210 unification hint 0 ≔
 211   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
 212   CC ≟ (ext_carr ? C),
 213   BB ≟ (ext_carr ? B),
 214   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
 215   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
 216   ⊢
 217      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡
 218           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
 219
 220 unification hint 0 ≔
 221   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.
 222
 223 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
 224  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
 225  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
 226   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
 227   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 228   napply (. K^-1‡H);
 229   nassumption;
 230 nqed.
 231
 232
 233 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
 234  #A; @
 235   [ #S; #S'; @
 236      [ napply (S ∩ S')
 237      | #a; #a'; #Ha;
 238         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
 239         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 240       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
 241  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
 242       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 243         alias symbol "refl" = "refl".
 244 alias symbol "prop2" = "prop21".
 245 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
 246       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
 247 nqed.
 248
 249 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
 250 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 251 unification hint 0 ≔
 252   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢
 253     pc A (fun21 …
 254             (mk_binary_morphism1 …
 255               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S')))
 256               (prop21 … (intersect_ok A)))
 257             B
 258             C)
 259     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
 260
 261 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
 262  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
 263 nqed.
 264 *)
 265
 266 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
 267  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
 268   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq0 B) (f x) y}.
 269
 270 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
 271  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
 272
 273 (******************* compatible equivalence relations **********************)
 274
 275 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
 276  { rel:> equivalence_relation A;
 277    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
 278  }.
 279
 280 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
 281  #A; #R; @ A R;
 282 nqed.
 283
 284 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
 285
 286 ndefinition eqrel_of_morphism:
 287  ∀A,B. unary_morphism A B → compatible_equivalence_relation A.
 288  #A; #B; #f; @
 289   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
 290 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
 291 napply (.= (†H)); // ]
 292 nqed.
 293
 294 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. unary_morphism A (quotient A R).
 295  #A; #R; @
 296   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
 297 nqed.
 298
 299 ndefinition quotiented_mor:
 300  ∀A,B.∀f:unary_morphism A B.
 301   unary_morphism (quotient … (eqrel_of_morphism … f)) B.
 302  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
 303 nqed.
 304
 305 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
 306  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 307   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
 308 //. nqed.
 309
 310 alias symbol "eq" = "setoid eq".
 311 ndefinition surjective ≝
 312  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:unary_morphism A B.
 313   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
 314
 315 ndefinition injective ≝
 316  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:unary_morphism A B.
 317   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
 318
 319 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
 320  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 321    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
 322 /3/. nqed.
 323
 324 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
 325  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 326    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
 327  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
 328 nqed.
 329
 330 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
 331  { iso_f:> unary_morphism A B;
 332    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
 333    f_sur: surjective … S T iso_f;
 334    f_inj: injective … S iso_f
 335  }.
 336
 337 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
 338 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
 339 nqed.
 340
 341 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
 342 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
 343 nqed.
 344
 345 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
 346 /3/. nqed.
 347
 348 (*
 349 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
 350  { iso_f:> unary_morphism A B;
 351    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
 352
 353
 354 ncheck (λA:?.
 355    λB:?.
 356     λS:?.
 357      λT:?.
 358       λxxx:isomorphism A B S T.
 359        match xxx
 360        return λxxx:isomorphism A B S T.
 361                ∀x: carr A.
 362                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
 363                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
 364         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).
 365
 366    ;
 367  }.
 368 *)