helm/software/matita/nlibrary/sets/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
  20
  21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
  22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
  23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
  24
  25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
  26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
  27
  28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
  30
  31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω \sup A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
  32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
  33
  34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω \sup A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
  35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
  36
  37 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω \sup A. S ⊆ S.
  38  #A; #S; #x; #H; nassumption.
  39 nqed.
  40
  41 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω \sup A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
  42  #A; #S; #T; #U; #H1; #H2; #x; #P; napply H2; napply H1; nassumption.
  43 nqed.
  44
  45 include "properties/relations1.ma".
  46
  47 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω \sup A).
  48  #A; napply mk_equivalence_relation1
  49   [ napply (λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S)
  50   | #S; napply conj; napply subseteq_refl
  51   | #S; #S'; *; #H1; #H2; napply conj; nassumption
  52   | #S; #T; #U; *; #H1; #H2; *; #H3; #H4; napply conj; napply subseteq_trans;
  53      ##[##2,5: nassumption |##1,4: ##skip |##*: nassumption]##]
  54 nqed.
  55
  56 include "sets/setoids1.ma".
  57
  58 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
  59  #A; napply mk_setoid1
  60   [ napply (Ω \sup A)
  61   | napply seteq ]
  62 nqed.
  63
  64 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
  65
  66 include "logic/cprop.ma".
  67
  68 nrecord qpowerclass (A: setoid) : Type[1] ≝
  69  { pc:> Ω \sup A;
  70    mem_ok': ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ pc) = (x' ∈ pc)
  71  }.
  72
  73 ndefinition qseteq: ∀A. equivalence_relation1 (qpowerclass A).
  74  #A; napply mk_equivalence_relation1
  75   [ napply (λS,S':qpowerclass A. eq_rel1 ? (eq1 (powerclass_setoid A)) S S')
  76   | #S; napply (refl1 ? (seteq A))
  77   | #S; #S'; napply (sym1 ? (seteq A))
  78   | #S; #T; #U; napply (trans1 ? (seteq A))]
  79 nqed.
  80
  81 ndefinition qpowerclass_setoid: setoid → setoid1.
  82  #A; napply mk_setoid1
  83   [ napply (qpowerclass A)
  84   | napply (qseteq A) ]
  85 nqed.
  86
  87 unification hint 0 (∀A. (λx,y.True) (carr1 (qpowerclass_setoid A)) (qpowerclass A)).
  88 ncoercion qpowerclass_hint: ∀A: setoid. ∀S: qpowerclass_setoid A. Ω \sup A ≝ λA.λS.S
  89  on _S: (carr1 (qpowerclass_setoid ?)) to (Ω \sup ?).
  90
  91 nlemma mem_ok: ∀A. binary_morphism1 (setoid1_of_setoid A) (qpowerclass_setoid A) CPROP.
  92  #A; napply mk_binary_morphism1
  93   [ napply (λx.λS: qpowerclass_setoid A. x ∈ S) (* CSC: ??? *)
  94   | #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; (* CSC: qui *; non funziona *)
  95     nwhd; nwhd in ⊢ (? (? % ??) (? % ??)); napply mk_iff; #H
  96      [ ncases Hb; #Hb1; #_; napply Hb1; napply (. (mem_ok' …))
  97         [ nassumption | napply Ha^-1 | ##skip ]
  98    ##| ncases Hb; #_; #Hb2; napply Hb2; napply (. (mem_ok' …))
  99         [ nassumption | napply Ha | ##skip ]##]
 100 nqed.
 101
 102 unification hint 0 (∀A,x,S. (λx,y.True) (fun21 ??? (mem_ok A) x S) (mem A S x)).
 103
 104 nlemma subseteq_ok: ∀A. binary_morphism1 (qpowerclass_setoid A) (qpowerclass_setoid A) CPROP.
 105  #A; napply mk_binary_morphism1
 106   [ napply (λS,S': qpowerclass_setoid ?. S ⊆ S')
 107   | #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; napply mk_iff; #H
 108      [ napply (subseteq_trans … a' a) (* anche qui, perche' serve a'? *)
 109         [ nassumption | napply (subseteq_trans … a b); nassumption ]
 110    ##| napply (subseteq_trans … a a') (* anche qui, perche' serve a'? *)
 111         [ nassumption | napply (subseteq_trans … a' b'); nassumption ] ##]
 112 nqed.
 113
 114 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (qpowerclass_setoid A) (qpowerclass_setoid A) (qpowerclass_setoid A).
 115  #A; napply mk_binary_morphism1
 116   [ #S; #S'; napply mk_qpowerclass
 117      [ napply (S ∩ S')
 118      | #a; #a'; #Ha; nwhd in ⊢ (? ? ? % %); napply mk_iff; *; #H1; #H2; napply conj
 119         [##1,2: napply (. (mem_ok' …)^-1) [##3,6: nassumption |##1,4: nassumption |##*: ##skip]
 120       ##|##3,4: napply (. (mem_ok' …)) [##2,5: nassumption |##1,4: nassumption |##*: ##skip]##]##]
 121  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; napply conj; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
 122       [ napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
 123       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
 124 nqed.
 125
 126 unification hint 0 (∀A.∀U,V.(λx,y.True) (fun21 ??? (intersect_ok A) U V) (intersect A U V)).
 127
 128 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
 129  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p;
 130   (* CSC: senza la change non funziona! *)
 131   nchange with (x' ∈ (fun21 ??? (intersect_ok A) U V));
 132   napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
 133 nqed.
 134
 135 (*
 136 (* qui non funziona una cippa *)
 137 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
 138  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω \sup A.
 139   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq B) ? ?(*(f x) y*)}.
 140   ##[##2: napply (f x); ##|##3: napply y]
 141  #a; #a'; #H; nwhd; nnormalize; (* per togliere setoid1_of_setoid *) napply (mk_iff ????);
 142  *; #x; #Hx; napply (ex_intro … x)
 143   [ napply (. (#‡(#‡#)));
 144
 145 ndefinition counter_image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup B → Ω \sup A ≝
 146  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
 147 *)