]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/nlibrary/sets/sets.ma
Use the inversion!
[helm.git] / helm / software / matita / nlibrary / sets / sets.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
16
17 include "logic/connectives.ma".
18
19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
20
21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
24
25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
27
28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
30
31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
33
34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
36
37 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
38
39 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
40
41 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
42
43 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
44 //.nqed.
45
46 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
47 /3/.nqed.
48
49 include "properties/relations1.ma".
50
51 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
52  #A; @
53   [ napply (λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S)
54   | /2/
55   | #S; #S'; *; /3/
56   | #S; #T; #U; *; #H1; #H2; *; /4/]
57 nqed.
58
59 include "sets/setoids1.ma".
60
61 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
62 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
63
64 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
65  #A; @(Ω^A);//.
66 nqed.
67
68 include "hints_declaration.ma". 
69
70 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
71 unification hint 0 ≔ A ⊢ carr1 (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A))) ≡ Ω^A.
72
73 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
74
75 include "logic/cprop.ma".
76
77 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝
78  { ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso... 
79                 forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco 
80                 ma la sintassi :> non lo supporta *)
81    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr) 
82  }.
83  
84 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70 
85 for @{ 'ext_powerclass $A }.
86
87 notation "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 70 
88 for @{ 'ext_powerclass $A }.
89
90 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
91
92 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
93  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
94 nqed.
95 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
96
97 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
98  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
99 nqed.
100
101 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
102  #A; @ (ext_seteq A).
103 nqed.
104               
105 unification hint 0 ≔ A;
106       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
107   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢  
108                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
109
110 (*
111 interpretation "prop21 mem" 'prop2 l r = (prop21 (setoid1_of_setoid ?) (ext_powerclass_setoid ?) ? ? ???? l r).
112 *)
113     
114 (*
115 ncoercion ext_carr' : ∀A.∀x:ext_powerclass_setoid A. Ω^A ≝ ext_carr 
116 on _x : (carr1 (ext_powerclass_setoid ?)) to (Ω^?). 
117 *)
118
119 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph: 
120  ∀A. unary_morphism1 (setoid1_of_setoid A) (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) CPROP).
121  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λx:setoid1_of_setoid A.λS: 𝛀^A. x ∈ S));
122  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H
123   [ napply (. (ext_prop … Ha^-1)) | napply (. (ext_prop … Ha)) ] /2/.
124 nqed.
125
126 unification hint 0 ≔  A:setoid, x, S;  
127      SS ≟ (ext_carr ? S),
128      TT ≟ (mk_unary_morphism1 … 
129              (λx:setoid1_of_setoid ?.
130                mk_unary_morphism1 …
131                  (λS:ext_powerclass_setoid ?. x ∈ S)
132                  (prop11 … (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph A x)))
133              (prop11 … (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph A))),
134      XX ≟ (ext_powerclass_setoid A)
135   (*-------------------------------------*) ⊢ 
136       fun11 (setoid1_of_setoid A)
137        (unary_morphism1_setoid1 XX CPROP) TT x S 
138     ≡ mem A SS x.
139
140 nlemma subseteq_is_morph: ∀A. unary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A)
141  (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) CPROP).
142  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S':𝛀^A. S ⊆ S'));
143  #a; #a'; #b; #b'; *; #H1; #H2; *; /5/.
144 nqed.
145
146 unification hint 0 ≔ A,a,a'
147  (*-----------------------------------------------------------------*) ⊢
148   eq_rel ? (eq A) a a' ≡ eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid A)) a a'.
149
150 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
151  #A; #S; #S'; @ (S ∩ S');
152  #a; #a'; #Ha; @; *; #H1; #H2; @ 
153   [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
154 ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]
155 nqed.
156
157 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
158 unification hint 0 ≔ 
159   A : setoid, B,C : ext_powerclass A;
160   R ≟ (mk_ext_powerclass ? (B ∩ C) (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C)))
161   
162   (* ------------------------------------------*)  ⊢ 
163     ext_carr A R ≡ intersect ? (ext_carr ? B) (ext_carr ? C).
164
165 nlemma intersect_is_morph:
166  ∀A. unary_morphism1 (powerclass_setoid A) (unary_morphism1_setoid1 (powerclass_setoid A) (powerclass_setoid A)).
167  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S'. S ∩ S'));
168  #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
169 nqed.
170
171 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
172 unification hint 0 ≔ 
173   A : Type[0], B,C : Ω^A;
174   R ≟ (mk_unary_morphism1 …
175        (λS. mk_unary_morphism1 … (λS'.S ∩ S') (prop11 … (intersect_is_morph A S))) 
176        (prop11 … (intersect_is_morph A)))
177    ⊢ 
178     R B C  ≡ intersect ? B C.
179
180 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r =
181  (prop11 (ext_powerclass_setoid ?)
182   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid ?) ?) ? ?? l ?? r).
183
184 nlemma intersect_is_ext_morph: 
185  ∀A. unary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A)
186   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A)).
187  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (intersect_is_ext …));
188  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; napply (prop11 … (intersect_is_morph A)); nassumption.
189 nqed.
190
191 unification hint 1 ≔ 
192       A:setoid, B,C : 𝛀^A;
193       R ≟ (mk_unary_morphism1 …
194               (λS:ext_powerclass_setoid A.
195                mk_unary_morphism1 ??
196                 (λS':ext_powerclass_setoid A.
197                   mk_ext_powerclass A (S∩S') (ext_prop A (intersect_is_ext ? S S')))
198                 (prop11 … (intersect_is_ext_morph A S))) 
199               (prop11 … (intersect_is_ext_morph A))) ,
200        BB ≟ (ext_carr ? B),
201        CC ≟ (ext_carr ? C)
202    (* ------------------------------------------------------*) ⊢ 
203             ext_carr A (R B C) ≡ intersect (carr A) BB CC.
204
205 (*
206 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
207 unification hint 0 ≔
208   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
209   CC ≟ (ext_carr ? C),
210   BB ≟ (ext_carr ? B),
211   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
212   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
213   ⊢ 
214      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡ 
215           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
216           
217 unification hint 0 ≔
218   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.    
219     
220 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
221  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
222  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
223   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
224   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
225   napply (. K^-1‡H);
226   nassumption;
227 nqed. 
228
229
230 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
231  #A; @
232   [ #S; #S'; @
233      [ napply (S ∩ S')
234      | #a; #a'; #Ha;
235         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
236         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
237       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
238  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
239       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
240         alias symbol "refl" = "refl".
241 alias symbol "prop2" = "prop21".
242 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
243       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
244 nqed.
245
246 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
247 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
248 unification hint 0 ≔ 
249   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢ 
250     pc A (fun21 …
251             (mk_binary_morphism1 …
252               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S'))) 
253               (prop21 … (intersect_ok A))) 
254             B
255             C) 
256     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
257
258 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
259  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
260 nqed.
261 *)
262
263 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
264  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
265   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq B) (f x) y}.
266
267 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
268  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
269
270 (******************* compatible equivalence relations **********************)
271
272 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
273  { rel:> equivalence_relation A;
274    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
275  }.
276
277 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
278  #A; #R; @ A R; 
279 nqed.
280
281 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
282
283 ndefinition eqrel_of_morphism:
284  ∀A,B. unary_morphism A B → compatible_equivalence_relation A.
285  #A; #B; #f; @
286   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
287 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
288 napply (.= (†H)); // ]
289 nqed.
290
291 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. unary_morphism A (quotient A R).
292  #A; #R; @
293   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
294 nqed.
295
296 ndefinition quotiented_mor:
297  ∀A,B.∀f:unary_morphism A B.
298   unary_morphism (quotient … (eqrel_of_morphism … f)) B.
299  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
300 nqed.
301
302 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
303  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
304   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
305 //. nqed.
306
307 alias symbol "eq" = "setoid eq".
308 ndefinition surjective ≝
309  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:unary_morphism A B.
310   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
311
312 ndefinition injective ≝
313  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:unary_morphism A B.
314   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
315
316 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
317  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B. 
318    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
319 /3/. nqed.
320
321 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
322  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B. 
323    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
324  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
325 nqed.
326
327 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
328  { iso_f:> unary_morphism A B;
329    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
330    f_sur: surjective … S T iso_f;
331    f_inj: injective … S iso_f
332  }.
333
334 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
335 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
336 nqed.
337
338 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
339 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
340 nqed.
341
342 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
343 /3/. nqed.
344
345 (*
346 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
347  { iso_f:> unary_morphism A B;
348    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
349    
350    
351 ncheck (λA:?.
352    λB:?.
353     λS:?.
354      λT:?.
355       λxxx:isomorphism A B S T.
356        match xxx
357        return λxxx:isomorphism A B S T.
358                ∀x: carr A.
359                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
360                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
361         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).   
362    
363    ;
364  }.
365 *)