helm/software/matita/nlibrary/sets/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
  20
  21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
  22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
  23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
  24
  25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
  26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
  27
  28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
  30
  31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
  32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
  33
  34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
  35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
  36
  37 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
  38
  39 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
  40
  41 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
  42
  43 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
  44 //.nqed.
  45
  46 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
  47 /3/.nqed.
  48
  49 include "properties/relations1.ma".
  50
  51 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
  52 #A; @(λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S); /2/; ##[ #A B; *; /3/]
  53 #S T U; *; #H1 H2; *; /4/;
  54 nqed.
  55
  56 include "sets/setoids1.ma".
  57
  58 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
  59 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
  60
  61 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
  62  #A; @(Ω^A);//.
  63 nqed.
  64
  65 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
  66 unification hint 0 ≔ A;
  67   R ≟ (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A)))
  68 (*--------------------------------------------------*)⊢
  69      carr1 R ≡ Ω^A.
  70
  71 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
  72
  73 include "logic/cprop.ma".
  74
  75 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝ {
  76    ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso...
  77                       forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco
  78                       ma la sintassi :> non lo supporta *)
  79    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr)
  80 }.
  81
  82 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70
  83 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  84
  85 notation < "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 90
  86 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  87
  88 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
  89
  90 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
  91  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
  92 nqed.
  93 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
  94
  95 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
  96  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
  97 nqed.
  98
  99 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
 100  #A; @ (ext_seteq A).
 101 nqed.
 102
 103 unification hint 0 ≔ A;
 104       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
 105   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢
 106                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
 107
 108 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph:
 109  ∀A. (setoid1_of_setoid A) ⇒_1 ((𝛀^A) ⇒_1 CPROP).
 110 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λx:setoid1_of_setoid A.λS: 𝛀^A. x ∈ S));
 111 #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H
 112 [ napply (. (ext_prop … Ha^-1)) | napply (. (ext_prop … Ha)) ] /2/.
 113 nqed.
 114
 115 unification hint 0 ≔  AA, x, S;
 116      A ≟ carr AA,
 117      SS ≟ (ext_carr ? S),
 118      TT ≟ (mk_unary_morphism1 ??
 119              (λx:setoid1_of_setoid ?.
 120                mk_unary_morphism1 ??
 121                  (λS:ext_powerclass_setoid ?. x ∈ S)
 122                  (prop11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA x)))
 123              (prop11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA))),
 124      XX ≟ (ext_powerclass_setoid AA)
 125   (*-------------------------------------*) ⊢
 126       fun11 (setoid1_of_setoid AA)
 127        (unary_morphism1_setoid1 XX CPROP) TT x S
 128     ≡ mem A SS x.
 129
 130 nlemma set_ext : ∀S.∀A,B:Ω^S.A =_1 B → ∀x:S.(x ∈ A) =_1 (x ∈ B).
 131 #S A B; *; #H1 H2 x; @; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
 132
 133 nlemma ext_set : ∀S.∀A,B:Ω^S.(∀x:S. (x ∈ A) = (x ∈ B)) → A = B.
 134 #S A B H; @; #x; ncases (H x); #H1 H2; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
 135
 136 nlemma subseteq_is_morph: ∀A.  𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 CPROP.
 137  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S':𝛀^A. S ⊆ S'));
 138  #a; #a'; #b; #b'; *; #H1; #H2; *; /5/ by mk_iff, sym1, subseteq_trans;
 139 nqed.
 140
 141 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type2".
 142 unification hint 0 ≔ A,x,y
 143 (*-----------------------------------------------*) ⊢
 144    eq_rel ? (eq0 A) x y ≡ eq_rel1 ? (eq1 (setoid1_of_setoid A)) x y.
 145
 146 (* XXX capire come mai questa hint non funziona se porto su (setoid1_of_setoid A) *)
 147
 148 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 149 #S A B; @ (A ∩ B); #x y Exy; @; *; #H1 H2; @;
 150 ##[##1,2: napply (. Exy^-1‡#); nassumption;
 151 ##|##3,4: napply (. Exy‡#); nassumption]
 152 nqed.
 153
 154 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 155 unification hint 0 ≔
 156   A : setoid, B,C : ext_powerclass A;
 157   R ≟ (mk_ext_powerclass ? (B ∩ C) (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C)))
 158   (* ------------------------------------------*)  ⊢
 159     ext_carr A R ≡ intersect ? (ext_carr ? B) (ext_carr ? C).
 160
 161 nlemma intersect_is_morph: ∀A. Ω^A ⇒_1 Ω^A ⇒_1 Ω^A.
 162 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S'. S ∩ S'));
 163 #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
 164 nqed.
 165
 166 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 167 unification hint 0 ≔ A : Type[0], B,C : Ω^A;
 168   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
 169        (λS. mk_unary_morphism1 ?? (λS'.S ∩ S') (prop11 ?? (intersect_is_morph A S)))
 170        (prop11 ?? (intersect_is_morph A))
 171 (*------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 172     fun11 ?? (fun11 ?? R B) C  ≡ intersect A B C.
 173
 174 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r =
 175  (prop11 (ext_powerclass_setoid ?)
 176   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid ?) ?) ? ?? l ?? r).
 177
 178 nlemma intersect_is_ext_morph: ∀A. 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
 179  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (intersect_is_ext …));
 180  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; napply (prop11 … (intersect_is_morph A)); nassumption.
 181 nqed.
 182
 183 unification hint 1 ≔
 184       AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 185       A ≟ carr AA,
 186       R ≟ (mk_unary_morphism1 ??
 187               (λS:𝛀^AA.
 188                mk_unary_morphism1 ??
 189                 (λS':𝛀^AA.
 190                   mk_ext_powerclass AA (S∩S') (ext_prop AA (intersect_is_ext ? S S')))
 191                 (prop11 ?? (intersect_is_ext_morph AA S)))
 192               (prop11 ?? (intersect_is_ext_morph AA))) ,
 193        BB ≟ (ext_carr ? B),
 194        CC ≟ (ext_carr ? C)
 195    (* ------------------------------------------------------*) ⊢
 196             ext_carr AA (R B C) ≡ intersect A BB CC.
 197
 198 nlemma union_is_morph : ∀A. Ω^A ⇒_1 (Ω^A ⇒_1 Ω^A).
 199 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B.A ∪ B));
 200 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
 201 nchange in match (x ∈ (A1 ∪ B1)) with (?∨?);
 202 napply (.= (set_ext ??? EA x)‡#);
 203 napply (.= #‡(set_ext ??? EB x)); //;
 204 nqed.
 205
 206 nlemma union_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 207  #S A B; @ (A ∪ B); #x y Exy; @; *; #H1;
 208 ##[##1,3: @; ##|##*: @2 ]
 209 ##[##1,3: napply (. (Exy^-1)╪_1#)
 210 ##|##2,4: napply (. Exy╪_1#)]
 211 nassumption;
 212 nqed.
 213
 214 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 215 unification hint 0 ≔
 216    A : setoid, B,C :  𝛀^A;
 217    R ≟ (mk_ext_powerclass ? (B ∪ C) (ext_prop ? (union_is_ext ? B C)))
 218 (*-------------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 219     ext_carr A R ≡ union ? (ext_carr ? B) (ext_carr ? C).
 220
 221 unification hint 0 ≔ S:Type[0], A,B:Ω^S;
 222   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 223         (λA.mk_unary_morphism1 ?? (λB.A ∪ B) (prop11 ?? (union_is_morph S A)))
 224         (prop11 ?? (union_is_morph S))
 225 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 226    fun11 ?? (fun11 ?? MM A) B ≡ A ∪ B.
 227
 228 nlemma union_is_ext_morph:∀A.𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
 229 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (union_is_ext …));
 230 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (union_is_morph A)); nassumption.
 231 nqed.
 232
 233 unification hint 1 ≔
 234   AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 235   A ≟ carr AA,
 236   R ≟ (mk_unary_morphism1 ??
 237           (λS:𝛀^AA.
 238            mk_unary_morphism1 ??
 239             (λS':𝛀^AA.
 240               mk_ext_powerclass AA (S ∪ S') (ext_prop AA (union_is_ext ? S S')))
 241             (prop11 ?? (union_is_ext_morph AA S)))
 242           (prop11 ?? (union_is_ext_morph AA))) ,
 243    BB ≟ (ext_carr ? B),
 244    CC ≟ (ext_carr ? C)
 245 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 246    ext_carr AA (R B C) ≡ union A BB CC.
 247
 248 (*
 249 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
 250 unification hint 0 ≔
 251   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
 252   CC ≟ (ext_carr ? C),
 253   BB ≟ (ext_carr ? B),
 254   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
 255   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
 256   ⊢
 257      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡
 258           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
 259
 260 unification hint 0 ≔
 261   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.
 262
 263 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
 264  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
 265  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
 266   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
 267   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 268   napply (. K^-1‡H);
 269   nassumption;
 270 nqed.
 271
 272
 273 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
 274  #A; @
 275   [ #S; #S'; @
 276      [ napply (S ∩ S')
 277      | #a; #a'; #Ha;
 278         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
 279         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 280       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
 281  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
 282       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 283         alias symbol "refl" = "refl".
 284 alias symbol "prop2" = "prop21".
 285 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
 286       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
 287 nqed.
 288
 289 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
 290 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 291 unification hint 0 ≔
 292   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢
 293     pc A (fun21 …
 294             (mk_binary_morphism1 …
 295               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S')))
 296               (prop21 … (intersect_ok A)))
 297             B
 298             C)
 299     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
 300
 301 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
 302  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
 303 nqed.
 304 *)
 305
 306 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
 307  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
 308   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq0 B) (f x) y}.
 309
 310 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
 311  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
 312
 313 (******************* compatible equivalence relations **********************)
 314
 315 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
 316  { rel:> equivalence_relation A;
 317    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
 318  }.
 319
 320 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
 321  #A; #R; @ A R;
 322 nqed.
 323
 324 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
 325
 326 ndefinition eqrel_of_morphism:
 327  ∀A,B. A ⇒_0 B → compatible_equivalence_relation A.
 328  #A; #B; #f; @
 329   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
 330 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
 331 napply (.= (†H)); // ]
 332 nqed.
 333
 334 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. A ⇒_0 (quotient A R).
 335  #A; #R; @
 336   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
 337 nqed.
 338
 339 ndefinition quotiented_mor:
 340  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.(quotient … (eqrel_of_morphism … f)) ⇒_0 B.
 341  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
 342 nqed.
 343
 344 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
 345  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 346   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
 347 //. nqed.
 348
 349 alias symbol "eq" = "setoid eq".
 350 ndefinition surjective ≝
 351  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:A ⇒_0 B.
 352   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
 353
 354 ndefinition injective ≝
 355  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:A ⇒_0 B.
 356   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
 357
 358 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
 359  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.
 360    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
 361 /3/. nqed.
 362
 363 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
 364  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.
 365    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
 366  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
 367 nqed.
 368
 369 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
 370  { iso_f:> A ⇒_0 B;
 371    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
 372    f_sur: surjective … S T iso_f;
 373    f_inj: injective … S iso_f
 374  }.
 375
 376
 377 (*
 378 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
 379  { iso_f:> unary_morphism A B;
 380    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
 381
 382
 383 ncheck (λA:?.
 384    λB:?.
 385     λS:?.
 386      λT:?.
 387       λxxx:isomorphism A B S T.
 388        match xxx
 389        return λxxx:isomorphism A B S T.
 390                ∀x: carr A.
 391                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
 392                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
 393         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).
 394
 395    ;
 396  }.
 397 *)
 398
 399 (* Set theory *)
 400
 401 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
 402 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
 403 nqed.
 404
 405 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
 406 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
 407 nqed.
 408
 409 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
 410 /3/. nqed.
 411
 412 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:Ω^S.a ∪ b = b ∪ a.
 413 #S a b; @; #w; *; nnormalize; /2/; nqed.
 414
 415 nlemma cupID : ∀S. ∀a:Ω^S.a ∪ a = a.
 416 #S a; @; #w; ##[*; //] /2/; nqed.
 417
 418 (* XXX Bug notazione \cup, niente parentesi *)
 419 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:Ω^S.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 420 #S a b c; @; #w; *; /3/; *; /3/; nqed.
 421
 422 ndefinition Empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ x | False }.
 423
 424 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 425 interpretation "empty set" 'empty = (Empty_set ?).
 426
 427 nlemma cup0 :∀S.∀A:Ω^S.A ∪ ∅ = A.
 428 #S p; @; #w; ##[*; //| #; @1; //] *; nqed.
 429