helm/software/matita/nlibrary/topology/cantor.ma

   1
   2
   3 include "topology/igft.ma".
   4
   5 ntheorem axiom_cond: ∀A:Ax.∀a:A.∀i:𝐈 a.a ◃ 𝐂 a i.
   6 #A; #a; #i; @2 i; #x; #H; @; napply H;
   7 nqed.
   8
   9 nlemma hint_auto1 : ∀A,U,V. (∀x.x ∈ U → x ◃ V) → cover_set cover A U V.
  10 nnormalize; nauto.
  11 nqed.
  12
  13 alias symbol "covers" (instance 1) = "covers".
  14 alias symbol "covers" (instance 2) = "covers set".
  15 alias symbol "covers" (instance 3) = "covers".
  16 ntheorem transitivity: ∀A:Ax.∀a:A.∀U,V. a ◃ U → U ◃ V → a ◃ V.
  17 #A; #a; #U; #V; #aU; #UV; nelim aU; nauto depth=4;
  18 nqed.
  19
  20 ndefinition emptyset: ∀A.Ω^A ≝ λA.{x | False}.
  21
  22 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  23 interpretation "empty" 'empty = (emptyset ?).
  24
  25 naxiom EM : ∀A:Ax.∀a:A.∀i_star.(a ∈ 𝐂 a i_star) ∨ ¬( a ∈ 𝐂 a i_star).
  26
  27 alias symbol "covers" = "covers".
  28 ntheorem th2_3 :
  29   ∀A:Ax.∀a:A. a ◃ ∅ → ∃i. ¬ a ∈ 𝐂 a i.
  30 #A; #a; #H; nelim H;
  31 ##[ #n; *;
  32 ##| #b; #i_star; #IH1; #IH2; ncases (EM … b i_star); nauto;
  33 ##]
  34 nqed.
  35
  36 ninductive eq1 (A : Type[0]) : Type[0] → CProp[0] ≝
  37 | refl1 : eq1 A A.
  38
  39 notation "hvbox( a break ∼ b)" non associative with precedence 40
  40 for @{ 'eqT $a $b }.
  41
  42 interpretation "eq between types" 'eqT a b = (eq1 a b).
  43
  44 ninductive unit : Type[0] ≝ one : unit.
  45
  46 nrecord uAx : Type[1] ≝ {
  47   uax_ : Ax;
  48   with_ : ∀a:uax_.𝐈 a ∼ unit
  49 }.
  50
  51 ndefinition uax : uAx → Ax.
  52 #A; @ (uax_ A) (λx.unit); #a; #_;
  53 napply (𝐂 a ?);  nlapply one; ncases (with_ A a); nauto;
  54 nqed.
  55
  56 ncoercion uax : ∀u:uAx. Ax ≝ uax on _u : uAx to Ax.
  57
  58 naxiom A: Type[0].
  59 naxiom S: A → Ω^A.
  60
  61 ndefinition axs: uAx.
  62 @; ##[ @ A (λ_.unit) (λa,x.S a); ##| #_; @; ##]
  63 nqed.
  64
  65 alias id "S" = "cic:/matita/ng/topology/igft/S.fix(0,0,1)".
  66 unification hint 0 ≔ ;
  67          x ≟ axs
  68   (* -------------- *) ⊢
  69          S x ≡ A.
  70
  71
  72 ntheorem col2_4 :
  73   ∀A:uAx.∀a:A. a ◃ ∅ → ¬ a ∈ 𝐂 a one.
  74 #A; #a; #H; nelim H;
  75 ##[ #n; *;
  76 ##| #b; #i_star; #IH1; #IH2; #H3; nlapply (IH2 … H3); nauto;
  77 ##]
  78 nqed.
  79
  80 ndefinition Z : Ω^axs ≝ { x | x ◃ ∅ }.
  81
  82 ntheorem cover_monotone: ∀A:Ax.∀a:A.∀U,V.U ⊆ V → a ◃ U → a ◃ V.
  83 #A; #a; #U; #V; #HUV; #H; nelim H; nauto depth=4;
  84 nqed.
  85
  86 ntheorem th3_1: ¬∃a:axs.Z ⊆ S a ∧ S a ⊆ Z.
  87 *; #a; *; #ZSa; #SaZ;
  88 ncut (a ◃ Z); ##[
  89   nlapply (axiom_cond … a one); #AxCon; nchange in AxCon with (a ◃ S a);
  90   napply (cover_monotone … AxCon); nassumption; ##] #H;
  91 ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H); nwhd in match Z; nauto; ##] #H1;
  92 ncut (¬ a ∈ S a); ##[ napply (col2_4 … H1); ##] #H2;
  93 ncut (a ∈ S a); ##[ napply ZSa; napply H1; ##] #H3;
  94 nauto;
  95 nqed.
  96
  97 include "nat/nat.ma".
  98
  99 naxiom phi : nat → nat → nat.
 100
 101 notation > "ϕ" non associative with precedence 90 for @{ 'phi }.
 102 interpretation "phi" 'phi = phi.
 103
 104 notation < "ϕ a i" non associative with precedence 90 for @{ 'phi2 $a $i}.
 105 interpretation "phi2" 'phi2 a i = (phi a i).
 106 notation < "ϕ a" non associative with precedence 90 for @{ 'phi1 $a }.
 107 interpretation "phi2" 'phi1 a = (phi a).
 108
 109 ndefinition caxs : uAx.
 110 @; ##[ @ nat (λ_.unit); #a; #_; napply { x | ϕ a x = O } ##| #_; @; ##]
 111 nqed.
 112
 113
 114 alias id "S" = "cic:/matita/ng/topology/igft/S.fix(0,0,1)".
 115 unification hint 0 ≔ ;
 116          x ≟ caxs
 117   (* -------------- *) ⊢
 118          S x ≡ nat.
 119
 120 naxiom h : nat → nat.
 121
 122 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
 123 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 124 alias symbol "covers" = "covers".
 125 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
 126 naxiom Ph :  ∀x.h x = O \liff  x ◃ ∅.
 127
 128 nlemma replace_char:
 129   ∀A:Ax.∀U,V.U ⊆ V → V ⊆ U → ∀a:A.a ◃ U → a ◃ V.
 130 #A; #U; #V;  #UV; #VU; #a; #aU; nelim aU; nauto;
 131 nqed.
 132
 133 ntheorem th_ch3: ¬∃a:caxs.∀x.ϕ a x = h x.
 134 *; #a; #H;
 135 ncut (a ◃ { x | x ◃ ∅}); ##[
 136   napply (replace_char … { x | h x = O }); ##[ ##1,2: #x; ncases (Ph x); nauto; ##]
 137   napply (replace_char … { x | ϕ a x = O }); ##[##1,2: #x; nrewrite > (H x); nauto; ##]
 138   napply (axiom_cond … a one); ##] #H1;
 139 ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H1); nauto; ##] #H2;
 140 nlapply (col2_4 …H2); #H3;
 141 ncut (a ∈ 𝐂 a one); ##[
 142   nnormalize; ncases (Ph a); nrewrite > (H a); nauto; ##] #H4;
 143 nauto;
 144 nqed.
 145
 146