helm/software/matita/nlibrary/topology/igft.ma

   1 include "sets/sets.ma".
   2
   3 nrecord axiom_set : Type[1] ≝ {
   4   S:> Type[0];
   5   I: S → Type[0];
   6   C: ∀a:S. I a → Ω ^ S
   7 }.
   8
   9 ndefinition cover_set ≝ λc:∀A:axiom_set.Ω^A → A → CProp[0].λA,C,U.
  10   ∀y.y ∈ C → c A U y.
  11
  12 (* a \ltri b *)
  13 notation "hvbox(a break ◃ b)" non associative with precedence 45
  14 for @{ 'covers $a $b }.
  15
  16 interpretation "covers set temp" 'covers C U = (cover_set ?? C U).
  17
  18 ninductive cover (A : axiom_set) (U : Ω^A) : A → CProp[0] ≝
  19 | creflexivity : ∀a:A. a ∈ U → cover ? U a
  20 | cinfinity    : ∀a:A. ∀i:I ? a. (C ? a i ◃ U) → cover ? U a.
  21 napply cover;
  22 nqed.
  23
  24 interpretation "covers" 'covers a U = (cover ? U a).
  25 interpretation "covers set" 'covers a U = (cover_set cover ? a U).
  26
  27 ndefinition fish_set ≝ λf:∀A:axiom_set.Ω^A → A → CProp[0].
  28  λA,U,V.
  29   ∃a.a ∈ V ∧ f A U a.
  30
  31 (* a \ltimes b *)
  32 notation "hvbox(a break ⋉ b)" non associative with precedence 45
  33 for @{ 'fish $a $b }.
  34
  35 interpretation "fish set temp" 'fish A U = (fish_set ?? U A).
  36
  37 ncoinductive fish (A : axiom_set) (F : Ω^A) : A → CProp[0] ≝
  38 | cfish : ∀a. a ∈ F → (∀i:I ? a.C A a i ⋉ F) → fish A F a.
  39 napply fish;
  40 nqed.
  41
  42 interpretation "fish set" 'fish A U = (fish_set fish ? U A).
  43 interpretation "fish" 'fish a U = (fish ? U a).
  44
  45 nlet corec fish_rec (A:axiom_set) (U: Ω^A)
  46  (P: Ω^A) (H1: P ⊆ U)
  47   (H2: ∀a:A. a ∈ P → ∀j: I ? a. C ? a j ≬ P):
  48    ∀a:A. ∀p: a ∈ P. a ⋉ U ≝ ?.
  49 #a; #p; napply cfish;
  50 ##[ napply H1; napply p;
  51 ##| #i; ncases (H2 a p i); #x; *; #xC; #xP; @; ##[napply x]
  52     @; ##[ napply xC ] napply (fish_rec ? U P); nassumption;
  53 ##]
  54 nqed.
  55
  56 (*
  57 alias symbol "covers" (instance 0) = "covers".
  58 alias symbol "covers" (instance 2) = "covers".
  59 alias symbol "covers" (instance 1) = "covers set".
  60 ntheorem covers_elim2:
  61  ∀A: axiom_set. ∀U:Ω^A.∀P: A → CProp[0].
  62   (∀a:A. a ∈ U → P a) →
  63    (∀a:A.∀V:Ω^A. a ◃ V → V ◃ U → (∀y. y ∈ V → P y) → P a) →
  64      ∀a:A. a ◃ U → P a.
  65 #A; #U; #P; #H1; #H2; #a; #aU; nelim aU;
  66 ##[ #b; #H; napply H1; napply H;
  67 ##| #b; #i; #CaiU; #H; napply H2;
  68     ##[ napply (C ? b i);
  69     ##| napply cinfinity; ##[ napply i ] nwhd; #y; #H3; napply creflexivity; ##]
  70     nassumption;
  71 ##]
  72 nqed.
  73 *)
  74
  75 alias symbol "fish" (instance 1) = "fish set".
  76 alias symbol "covers" = "covers".
  77 ntheorem compatibility: ∀A:axiom_set.∀a:A.∀U,V. a ⋉ V → a ◃ U → U ⋉ V.
  78 #A; #a; #U; #V; #aV; #aU; ngeneralize in match aV; (* clear aV *)
  79 nelim aU;
  80 ##[ #b; #bU; #bV; @; ##[ napply b] @; nassumption;
  81 ##| #b; #i; #CaiU; #H; #bV; ncases bV in i CaiU H;
  82     #c; #cV; #CciV; #i; #CciU; #H; ncases (CciV i); #x; *; #xCci; #xV;
  83     napply H; nassumption;
  84 ##]
  85 nqed.
  86
  87 STOP
  88
  89 definition leq ≝ λA:axiom_set.λa,b:A. a ◃ {y|b=y}.
  90
  91 interpretation "covered by one" 'leq a b = (leq ? a b).
  92
  93 theorem leq_refl: ∀A:axiom_set.∀a:A. a ≤ a.
  94  intros;
  95  apply refl;
  96  normalize;
  97  reflexivity.
  98 qed.
  99
 100 theorem leq_trans: ∀A:axiom_set.∀a,b,c:A. a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c.
 101  intros;
 102  unfold in H H1 ⊢ %;
 103  apply (transitivity ???? H);
 104  constructor 1;
 105  intros;
 106  normalize in H2;
 107  rewrite < H2;
 108  assumption.
 109 qed.
 110
 111 definition uparrow ≝ λA:axiom_set.λa:A.mk_powerset ? (λb:A. a ≤ b).
 112
 113 interpretation "uparrow" 'uparrow a = (uparrow ? a).
 114
 115 definition downarrow ≝ λA:axiom_set.λU:Ω \sup A.mk_powerset ? (λa:A. (↑a) ≬ U).
 116
 117 interpretation "downarrow" 'downarrow a = (downarrow ? a).
 118
 119 definition fintersects ≝ λA:axiom_set.λU,V:Ω \sup A.↓U ∩ ↓V.
 120
 121 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fintersects ? U V).
 122
 123 record convergent_generated_topology : Type ≝
 124  { AA:> axiom_set;
 125    convergence: ∀a:AA.∀U,V:Ω \sup AA. a ◃ U → a ◃ V → a ◃ (U ↓ V)
 126  }.