helm/software/matita/nlibrary/topology/igft.ma

   1 include "logic/connectives.ma".
   2
   3 nrecord powerset (X : Type[0]) : Type[1] ≝ { char : X → CProp[0] }.
   4
   5 interpretation "char" 'subset p = (mk_powerset ? p).
   6
   7 interpretation "pwset" 'powerset a = (powerset a).
   8
   9 interpretation "in" 'mem a X = (char ? X a).
  10
  11 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V : Ω^A.
  12   ∀x.x ∈ U → x ∈ V.
  13
  14 interpretation "subseteq" 'subseteq u v = (subseteq ? u v).
  15
  16 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V : Ω^A.
  17   ∃x.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  18
  19 interpretation "overlaps" 'overlaps u v = (overlaps ? u v).
  20 (*
  21 ndefinition intersect ≝ λA.λu,v:Ω\sup A.{ y | y ∈ u ∧ y ∈ v }.
  22
  23 interpretation "intersect" 'intersects u v = (intersect ? u v).
  24 *)
  25 nrecord axiom_set : Type[1] ≝ {
  26   S:> Type[0];
  27   I: S → Type[0];
  28   C: ∀a:S. I a → Ω ^ S
  29 }.
  30
  31 ndefinition cover_set ≝ λc:∀A:axiom_set.Ω^A → A → CProp[0].λA,C,U.
  32   ∀y.y ∈ C → c A U y.
  33
  34 notation "hvbox(a break ◃ b)" non associative with precedence 45
  35 for @{ 'covers $a $b }. (* a \ltri b *)
  36
  37 interpretation "covers set temp" 'covers C U = (cover_set ?? C U).
  38
  39 ninductive cover (A : axiom_set) (U : Ω^A) : A → CProp[0] ≝
  40 | creflexivity : ∀a:A. a ∈ U → cover ? U a
  41 | cinfinity    : ∀a:A. ∀i:I ? a. (C ? a i ◃ U) → cover ? U a.
  42 napply cover;
  43 nqed.
  44
  45 interpretation "covers" 'covers a U = (cover ? U a).
  46 interpretation "covers set" 'covers a U = (cover_set cover ? a U).
  47
  48 ndefinition fish_set ≝ λf:∀A:axiom_set.Ω^A → A → CProp[0].
  49  λA,U,V.
  50   ∃a.a ∈ V ∧ f A U a.
  51
  52 notation "hvbox(a break ⋉ b)" non associative with precedence 45
  53 for @{ 'fish $a $b }. (* a \ltimes b *)
  54
  55 interpretation "fish set temp" 'fish A U = (fish_set ?? U A).
  56
  57 ncoinductive fish (A : axiom_set) (F : Ω^A) : A → CProp[0] ≝
  58 | cfish : ∀a. a ∈ F → (∀i:I ? a.C A a i ⋉ F) → fish A F a.
  59 napply fish;
  60 nqed.
  61
  62 interpretation "fish set" 'fish A U = (fish_set fish ? U A).
  63 interpretation "fish" 'fish a U = (fish ? U a).
  64
  65 nlet corec fish_rec (A:axiom_set) (U: Ω^A)
  66  (P: Ω^A) (H1: P ⊆ U)
  67   (H2: ∀a:A. a ∈ P → ∀j: I ? a. C ? a j ≬ P):
  68    ∀a:A. ∀p: a ∈ P. a ⋉ U ≝ ?.
  69 #a; #p; napply cfish;
  70 ##[ napply H1; napply p;
  71 ##| #i; ncases (H2 a p i); #x; *; #xC; #xP; napply ex_intro; ##[napply x]
  72     napply conj; ##[ napply xC ] napply (fish_rec ? U P); nassumption;
  73 ##]
  74 nqed.
  75
  76 STOP
  77
  78 theorem reflexivity: ∀A:axiom_set.∀a:A.∀V. a ∈ V → a ◃ V.
  79  intros;
  80  apply refl;
  81  assumption.
  82 qed.
  83
  84 theorem transitivity: ∀A:axiom_set.∀a:A.∀U,V. a ◃ U → U ◃ V → a ◃ V.
  85  intros;
  86  apply (covers_elim ?? {a | a ◃ V} ??? H); simplify; intros;
  87   [ cases H1 in H2; apply H2;
  88   | apply infinity;
  89      [ assumption
  90      | constructor 1;
  91        assumption]]
  92 qed.
  93
  94 theorem covers_elim2:
  95  ∀A: axiom_set. ∀U:Ω \sup A.∀P: A → CProp.
  96   (∀a:A. a ∈ U → P a) →
  97    (∀a:A.∀V:Ω \sup A. a ◃ V → V ◃ U → (∀y. y ∈ V → P y) → P a) →
  98      ∀a:A. a ◃ U → P a.
  99  intros;
 100  change with (a ∈ {a | P a});
 101  apply (covers_elim ?????? H2);
 102   [ intros 2; simplify; apply H; assumption
 103   | intros;
 104     simplify in H4 ⊢ %;
 105     apply H1;
 106      [ apply (C ? a1 j);
 107      | autobatch;
 108      | assumption;
 109      | assumption]]
 110 qed.
 111
 112 theorem coreflexivity: ∀A:axiom_set.∀a:A.∀V. a ⋉ V → a ∈ V.
 113  intros;
 114  cases H;
 115  assumption.
 116 qed.
 117
 118 theorem cotransitivity:
 119  ∀A:axiom_set.∀a:A.∀U,V. a ⋉ U → (∀b:A. b ⋉ U → b ∈ V) → a ⋉ V.
 120  intros;
 121  apply (fish_rec ?? {a|a ⋉ U} ??? H); simplify; intros;
 122   [ apply H1; apply H2;
 123   | cases H2 in j; clear H2; intro i;
 124     cases (H4 i); clear H4; exists[apply a3] assumption]
 125 qed.
 126
 127 theorem compatibility: ∀A:axiom_set.∀a:A.∀U,V. a ⋉ V → a ◃ U → U ⋉ V.
 128  intros;
 129  generalize in match H; clear H;
 130  apply (covers_elim ?? {a|a ⋉ V → U ⋉ V} ??? H1);
 131  clear H1; simplify; intros;
 132   [ exists [apply x] assumption
 133   | cases H2 in j H H1; clear H2 a1; intros;
 134     cases (H1 i); clear H1; apply (H3 a1); assumption]
 135 qed.
 136
 137 definition leq ≝ λA:axiom_set.λa,b:A. a ◃ {y|b=y}.
 138
 139 interpretation "covered by one" 'leq a b = (leq ? a b).
 140
 141 theorem leq_refl: ∀A:axiom_set.∀a:A. a ≤ a.
 142  intros;
 143  apply refl;
 144  normalize;
 145  reflexivity.
 146 qed.
 147
 148 theorem leq_trans: ∀A:axiom_set.∀a,b,c:A. a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c.
 149  intros;
 150  unfold in H H1 ⊢ %;
 151  apply (transitivity ???? H);
 152  constructor 1;
 153  intros;
 154  normalize in H2;
 155  rewrite < H2;
 156  assumption.
 157 qed.
 158
 159 definition uparrow ≝ λA:axiom_set.λa:A.mk_powerset ? (λb:A. a ≤ b).
 160
 161 interpretation "uparrow" 'uparrow a = (uparrow ? a).
 162
 163 definition downarrow ≝ λA:axiom_set.λU:Ω \sup A.mk_powerset ? (λa:A. (↑a) ≬ U).
 164
 165 interpretation "downarrow" 'downarrow a = (downarrow ? a).
 166
 167 definition fintersects ≝ λA:axiom_set.λU,V:Ω \sup A.↓U ∩ ↓V.
 168
 169 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fintersects ? U V).
 170
 171 record convergent_generated_topology : Type ≝
 172  { AA:> axiom_set;
 173    convergence: ∀a:AA.∀U,V:Ω \sup AA. a ◃ U → a ◃ V → a ◃ (U ↓ V)
 174  }.