helm/software/matita/nlibrary/topology/igft2.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "topology/igft.ma".
  16
  17 nlemma hint_auto2 : ∀T.∀U,V:Ω^T.(∀x.x ∈ U → x ∈ V) → U ⊆ V.
  18 nnormalize; nauto;
  19 nqed.
  20
  21 alias symbol "covers" = "covers set".
  22 alias symbol "coverage" = "coverage cover".
  23 alias symbol "I" = "I".
  24 nlemma cover_ind':
  25  ∀A:Ax.∀U,P:Ω^A.
  26    (U ⊆ P) → (∀a:A.∀j:𝐈 a. 𝐂 a j ◃ U → 𝐂 a j ⊆ P → a ∈ P) →
  27     ◃ U ⊆ P.
  28  #A; #U; #P; #refl; #infty; #a; #H; nelim H
  29   [ nauto | (*nauto depth=4;*) #b; #j; #K1; #K2;
  30             napply infty; nauto; ##]
  31 nqed.
  32
  33 alias symbol "covers" = "covers".
  34 alias symbol "covers" = "covers set".
  35 alias symbol "covers" = "covers".
  36 alias symbol "covers" = "covers set".
  37 alias symbol "covers" = "covers".
  38 alias symbol "covers" = "covers set".
  39 nlemma cover_ind'':
  40  ∀A:Ax.∀U:Ω^A.∀P:A → CProp[0].
  41   (∀a. a ∈ U → P a) → (∀a:A.∀j:𝐈 a. 𝐂 a j ◃ U → (∀b. b ∈ 𝐂 a j → P b) → P a) →
  42    ∀b. b ◃ U → P b.
  43
  44  #A; #U; #P; nletin V ≝ {x | P x}; napply (cover_ind' … V).
  45 nqed.
  46
  47 (*********** from Cantor **********)
  48 ninductive eq1 (A : Type[0]) : Type[0] → CProp[0] ≝
  49 | refl1 : eq1 A A.
  50
  51 notation "hvbox( a break ∼ b)" non associative with precedence 40
  52 for @{ 'eqT $a $b }.
  53
  54 interpretation "eq between types" 'eqT a b = (eq1 a b).
  55
  56 ninductive unit : Type[0] ≝ one : unit.
  57
  58 ninductive option (A: Type[0]) : Type[0] ≝
  59    None: option A
  60  | Some: A → option A.
  61
  62 nrecord uuAx : Type[1] ≝ {
  63   uuS : Type[0];
  64   uuC : uuS → option uuS
  65 }.
  66
  67 ndefinition uuax : uuAx → Ax.
  68 #A; @ (uuS A)
  69   [ #a; ncases (uuC … a) [ napply False | #_; napply unit]
  70 ##| #a; ncases (uuC … a)
  71      [ nnormalize; #H; napply (False_rect_Type1 … H)
  72      | nnormalize; #b; #_; napply {x | x=b }]##]
  73 nqed.
  74
  75 ncoercion uuax : ∀u:uuAx. Ax ≝ uuax on _u : uuAx to Ax.
  76
  77 nlemma eq_rect_Type0_r':
  78  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → P x p.
  79  #A; #a; #x; #p; ncases p; nauto;
  80 nqed.
  81
  82 nlemma eq_rect_Type0_r:
  83  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  84  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
  85 nqed.
  86
  87 ninductive bool: Type[0] ≝
  88    true: bool
  89  | false: bool.
  90
  91 nrecord memdec (A: Type[0]) (U:Ω^A) : Type[0] ≝
  92  { decide_mem:> A → bool;
  93    decide_mem_ok: ∀x. decide_mem x = true → x ∈ U;
  94    decide_mem_ko: ∀x. decide_mem x = false → ¬ (x ∈ U)
  95  }.
  96
  97 (*********** end from Cantor ********)
  98
  99 alias symbol "covers" = "covers".
 100 alias symbol "covers" = "covers".
 101 alias symbol "covers" = "covers set".
 102 alias symbol "covers" = "covers set".
 103 nlet rec cover_rect
 104  (A:uuAx) (U:Ω^(uuax A)) (memdec: memdec … U) (P:uuax A → Type[0])
 105   (refl: ∀a:uuax A. a ∈ U → P a)
 106   (infty: ∀a:uuax A.∀i: 𝐈 a. 𝐂 a i ◃ U → (∀b. b ∈ 𝐂 a i → P b) → P a)
 107    (b:uuax A) (p: b ◃ U) on p : P b
 108 ≝ ?.
 109  nlapply (decide_mem_ok … memdec b); nlapply (decide_mem_ko … memdec b);
 110  ncases (decide_mem … memdec b)
 111   [ #_; #H; napply refl; nauto
 112   | #H; #_; ncut (uuC … b=uuC … b) [nauto] ncases (uuC … b) in ⊢ (???% → ?)
 113     [ #E; napply False_rect_Type0; ncut (b=b) [nauto] ncases p in ⊢ (???% → ?)
 114       [ #a; #K; #E2; napply H [ nauto | nrewrite > E2; nauto ]
 115     ##| #a; #i; #K; #E2; nrewrite < E2 in i; nnormalize; nrewrite > E; nnormalize;
 116         nauto]
 117   ##| #a; #E;
 118       ncut (a ◃ U)
 119        [ nlapply E; nlapply (H ?) [nauto] ncases p
 120           [ #x; #Hx; #K1; #_; ncases (K1 Hx)
 121         ##| #x; #i; #Hx; #K1; #E2; napply Hx; ngeneralize in match i; nnormalize;
 122             nrewrite > E2; nnormalize; #_; nauto]##]
 123       #Hcut;
 124       nlapply (infty b); nnormalize; nrewrite > E; nnormalize; #H2;
 125       napply (H2 one); #y; #E2; nrewrite > E2
 126       (* [##2: napply cover_rect] nauto depth=1; *)
 127        [ napply Hcut
 128      ##| napply (cover_rect A U memdec P refl infty a); nauto ]##]
 129 nqed.