helm/software/matita/tests/fguidi.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16 include "nat/nat.ma".
  17
  18 definition is_S: nat \to Prop \def
  19    \lambda n. match n with
  20       [ O     \Rightarrow False
  21       | (S n) \Rightarrow True
  22       ].
  23
  24 definition pred: nat \to nat \def
  25    \lambda n. match n with
  26       [ O     \Rightarrow O
  27       | (S n) \Rightarrow n
  28       ].
  29
  30 theorem eq_gen_S_O: \forall x. (S x = O) \to \forall P:Prop. P.
  31 intros. apply False_ind. cut (is_S O). elim Hcut. rewrite < H. apply I.
  32 qed.
  33
  34 theorem eq_gen_S_O_cc: (\forall P:Prop. P) \to \forall x. (S x = O).
  35 intros. apply H.
  36 qed.
  37
  38 theorem eq_gen_S_S: \forall m,n. (S m) = (S n) \to m = n.
  39 intros. cut ((pred (S m)) = (pred (S n))).
  40 assumption. elim H. autobatch.
  41 qed.
  42
  43 theorem eq_gen_S_S_cc: \forall m,n. m = n \to (S m) = (S n).
  44 intros. elim H. autobatch.
  45 qed.
  46
  47 inductive le: nat \to nat \to Prop \def
  48      le_zero: \forall n. (le O n)
  49    | le_succ: \forall m, n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  50
  51 theorem le_refl: \forall x. (le x x).
  52 intros. elim x; autobatch.
  53 qed.
  54
  55 theorem le_gen_x_O_aux: \forall x, y. (le x y) \to (y =O) \to
  56                         (x = O).
  57 intros 3. elim H. autobatch. apply eq_gen_S_O. exact n1. autobatch.
  58 qed.
  59
  60 theorem le_gen_x_O: \forall x. (le x O) \to (x = O).
  61 intros. apply le_gen_x_O_aux. exact O. autobatch. autobatch.
  62 qed.
  63
  64 theorem le_gen_x_O_cc: \forall x. (x = O) \to (le x O).
  65 intros. elim H. autobatch.
  66 qed.
  67
  68 theorem le_gen_S_x_aux: \forall m,x,y. (le y x) \to (y = S m) \to
  69                         (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  70 intros 4. elim H; clear H x y.
  71 apply eq_gen_S_O. exact m. elim H1. autobatch.
  72 clear H2. cut (n = m).
  73 elim Hcut. apply ex_intro. exact n1. split; autobatch.
  74 apply eq_gen_S_S. autobatch.
  75 qed.
  76
  77 theorem le_gen_S_x: \forall m,x. (le (S m) x) \to
  78                     (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  79 intros. apply le_gen_S_x_aux. exact (S m). autobatch. autobatch.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_gen_S_x_cc: \forall m,x. (\exists n. x = (S n) \land (le m n)) \to
  83                        (le (S m) x).
  84 intros. elim H. elim H1. cut ((S a) = x). elim Hcut. autobatch.
  85 elim H2. autobatch.
  86 qed.
  87
  88 theorem le_gen_S_S: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
  89 intros.
  90 lapply le_gen_S_x to H as H0. elim H0. elim H1.
  91 lapply eq_gen_S_S to H2 as H4. rewrite > H4. assumption.
  92 qed.
  93
  94 theorem le_gen_S_S_cc: \forall m,n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  95 intros. autobatch.
  96 qed.
  97
  98 (*
  99 theorem le_trans: \forall x,y. (le x y) \to \forall z. (le y z) \to (le x z).
 100 intros 1. elim x; clear H. clear x.
 101 autobatch.
 102 fwd H1 [H]. decompose.
 103 *)