]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - mathql/doc/mathql_operational_basic.tex
relocation of developments.png
[helm.git] / mathql / doc / mathql_operational_basic.tex
1 \subsection {The basic library}
2
3 In this section we present the functions provided by the {\MathQL}.4 basic
4 library. Describing the whole library would require an amount of space that
5 goes beyond the limits of this paper so we include here just a selection of
6 the available functions (the ones for which we gave the syntax extension in
7 \secref{Textual}). 
8
9 The function below are grouped by their arity.
10
11 \begin{itemize}
12
13 \item 
14 \textbf{The predefined {\av} sets.}
15 The functions \TT{/"empty"}, \TT{/"false"} and \newline \TT{/"true"} take no
16 path arguments and no set arguments.
17
18 \begin{footnotesize} 
19 \begin{center} 
20 %
21 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"empty"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \F} \spc
22 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"false"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \F}
23 \end{center}  
24 \begin{center} 
25 %
26 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"true"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \T} 
27 %
28 \end{center} 
29 \end{footnotesize}
30
31 Moreover ``\TT{empty}'' rewrites to ``\verb+fun /"empty" {} {}+'',
32 ``\TT{false}'' rewrites to ``\verb+fun /"false" {} {}+'' and
33 ``\TT{true}'' rewrites to ``\verb+fun /"true" {} {}+''.
34
35 \item
36 \textbf{Boolean negation and size.}
37 The functions \TT{/"not"} and \TT{/"count"} take no path arguments and one set
38 argument.
39 Here Rule 1 overrides rule 2.
40
41 \begin{footnotesize} 
42 \begin{center} 
43 %
44 \irule{(\G, x) \daq \F}{1}{\Fun\ \TT{/"not"}\ [\,]\ [x]\ \G \equiv \T} \spc
45 \irule{(\G, x) \daq S}{2}{\Fun\ \TT{/"not"}\ [\,]\ [x]\ \G \equiv \F}
46 \end{center}  
47 \begin{center} 
48 %
49 \irule{(\G, x) \daq S}{}{\Fun\ \TT{/"count"}\ [\,]\ [x]\ \G \equiv \#\ S} 
50 %
51 \end{center} 
52 \end{footnotesize}
53
54 Moreover ``\TT{not} x'' rewrites to ``\verb+fun /"not" {} {+x\verb+}+''
55 and ``\TT{count} x'' rewrites to ``\verb+fun /"count" {} {+x\verb+}+''.
56
57 \item 
58 \textbf{Boolean xor, set-theoretic and numerical tests, difference.}
59 \TT{/"xor"}, \TT{/"sub"}, \TT{/"meet"}, \TT{/"eq"}, \TT{/"le"}, \TT{/"lt"} and
60 \TT{/"diff"} take no path arguments and two set arguments.
61 The rule with the lowest number is applied first.
62
63 \begin{footnotesize} 
64 \begin{center} 
65 %
66 \irule{(\G, x_1) \daq \F \spc (\G, x_2) \daq \F}{1}
67       {\Fun\ \TT{/"xor"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv \T} \spc
68 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq \F}{2}
69       {\Fun\ \TT{/"xor"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv S_1}
70 %
71 \end{center}  
72 \begin{center} 
73 %
74 \irule{(\G, x_1) \daq \F \spc (\G, x_2) \daq S_2}{3}
75       {\Fun\ \TT{/"xor"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv S_2} \spc
76 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{4}
77       {\Fun\ \TT{/"xor"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv \F}
78 %
79 \end{center}  
80 \begin{center} 
81 %
82 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{}
83       {\Fun\ \TT{/"sub"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (\Fsts\ S_1 \sub \Fsts\ S_2)}
84 %
85 \end{center}  
86 \begin{center} 
87 %
88 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{}
89       {\Fun\ \TT{/"meet"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (\Fsts\ S_1 \meet \Fsts\ S_2)} 
90 %
91 \end{center} 
92 \begin{center} 
93 %
94 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{}
95       {\Fun\ \TT{/"eq"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (\Fsts\ S_1 = \Fsts\ S_2)}
96 %
97 \end{center} 
98 \begin{center} 
99 %
100 \irule{(\G, x_1) \daq \{(r_1, A_1)\} \spc (\G, x_2) \daq \{(r_2, A_2)\}}{}
101       {\Fun\ \TT{/"le"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (r_1 \le r_2)}
102 %
103 \end{center} 
104 \begin{center} 
105 %
106 \irule{(\G, x_1) \daq \{(r_1, A_1)\} \spc (\G, x_2) \daq \{(r_2, A_2)\}}{}
107       {\Fun\ \TT{/"lt"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (r_1 < r_2)}
108 %
109 \end{center} 
110 \begin{center} 
111 %
112 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{}
113       {\Fun\ \TT{/"eq"}\ [\,]\ [x_1, x_2]\ \G \equiv (S_1 \sdiff S_2)}
114 %
115 \end{center} 
116 \end{footnotesize}
117
118 where $\sdiff$ is a helper function two rewrite rules:
119
120 \begin{footnotesize}
121 \begin{center} \begin{tabular}{lrll}
122 5 &
123 $ (S_1 \sdor \{(r, A_1)\}) \sdiff (S_2 \sdor \{(r, A_2)\}) $ & rewrites to &
124 $ S_1 \sdiff S_2 $ \\
125 6 & $ S_1 \sdiff S_2 $ & rewrites to & $ S_1 $  
126 %
127 \end{tabular} \end{center}
128 \end{footnotesize}
129
130 ``x \TT{xor} y'' rewrites to ``\verb+fun /"xor" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
131 ``x \TT{sub} y'' rewrites to \newline ``\verb+fun /"sub" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
132 ``x \TT{meet} y'' rewrites to ``\verb+fun /"meet" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
133 ``x \TT{eq} y'' rewrites to ``\verb+fun /"eq" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
134 ``x \TT{le} y'' rewrites to \newline ``\verb+fun /"le" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
135 ``x \TT{lt} y'' rewrites to ``\verb+fun /"lt" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'' and
136 ``x \TT{diff} y'' rewrites to ``\verb+fun /"diff" {} {+x\TT{,}y\verb+}+''
137
138 \item
139 \textbf{Conditional operator and standard \emph{select} clause}.
140 \TT{/"if"} takes no path arguments and three set arguments.
141 The usual rule overriding policy applies.
142
143 \begin{footnotesize} 
144 \begin{center} 
145 %
146 \irule{(\G, x_1) \daq \F \spc (\G, x_3) \daq S_3}{1}
147       {\Fun\ \TT{/"if"}\ [\,]\ [x_1, x_2, x_2]\ \G \equiv S_3} \spc
148 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc (\G, x_2) \daq S_2}{2}
149       {\Fun\ \TT{/"if"}\ [\,]\ [x_1, x_2, x_2]\ \G \equiv S_2}
150 %
151 \end{center} 
152 \end{footnotesize}
153
154 ``\TT{if} x \TT{then} y \TT{else} z'' rewrites to
155 ``\verb+fun /"if" {} {+x\TT{,}y\TT{,}z\verb+}+'' and
156 ``\TT{select} i \TT{from} x \TT{where} y'' rewrites to
157 ``\TT{for} i \TT{in} x \TT{sup} \TT{if} y \TT{then} i \TT{else} \TT{empty}''.
158
159 \item
160 \textbf{Intersection without attribute distribution.}
161 \TT{/"intersect"} takes no path arguments and any positive number of set
162 arguments.
163
164 \begin{footnotesize} 
165 \begin{center} 
166 %
167 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc \cdots \spc (\G, x_m) \daq S_m}{}
168       {\Fun\ \TT{/"intersect"}\ [\,]\ [x_1, \cdots, x_m]\ \G \equiv 
169        (S_1 \sprod \cdots \sprod S_m)}
170 %
171 \end{center} 
172 \end{footnotesize}
173
174 As usual
175 ``x \TT{intersect} y'' rewrites to ``\verb+fun /"intersect" {} {+x\TT{,}y\verb+}+''.
176
177 \item
178 \textbf{Union without attribute distribution, Boolean conjunction and
179 disjunction.}
180 \TT{/"union"}, \TT{/"and"} and \TT{/"or"} take no path arguments and any
181 number of set arguments.
182 The usual rule overriding policy applies.
183
184 \begin{footnotesize} 
185 \begin{center} 
186 %
187 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"union"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \F} \spc
188 \irule{(\G, x_1) \daq S_1 \spc \cdots \spc (\G, x_m) \daq S_m}{}
189       {\Fun\ \TT{/"union"}\ [\,]\ [x_1, \cdots, x_m]\ \G \equiv 
190        (S_1 \ssum \cdots \ssum S_m)}
191 %
192 \end{center} 
193 \begin{center} 
194 %
195 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"and"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \T} \spc
196 \irule{\Nop}{}{\Fun\ \TT{/"or"}\ [\,]\ [\,]\ \G \equiv \F}
197 %
198 \end{center} 
199 \begin{center} 
200 %
201 \irule{\Fun\ \TT{/"and"}\ [\,]\ l\ \G \equiv \F}{1}
202       {\Fun\ \TT{/"and"}\ [\,]\ (l \app [x])\ \G \equiv \F} \spc
203 \irule{\Fun\ \TT{/"or"}\ [\,]\ l\ \G \equiv \F \spc (\G, x) \daq S}{3}
204       {\Fun\ \TT{/"or"}\ [\,]\ (l \app [x])\ \G \equiv S}
205 %
206 \end{center} 
207 \begin{center} 
208 %
209 \irule{\Fun\ \TT{/"and"}\ [\,]\ l\ \G \equiv S_l \spc (\G, x) \daq S}{2}
210       {\Fun\ \TT{/"and"}\ [\,]\ (l \app [x])\ \G \equiv S} \spc
211 \irule{\Fun\ \TT{/"or"}\ [\,]\ l\ \G \equiv S_l}{4}
212       {\Fun\ \TT{/"or"}\ [\,]\ (l \app [x])\ \G \equiv S_l}
213 \end{center} 
214 \end{footnotesize}
215
216 ``x \TT{and} y'' rewrites to ``\verb+fun /"and" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
217 ``x \TT{or} y'' rewrites to \newline ``\verb+fun /"or" {} {+x\TT{,}y\verb+}+'',
218 ``x \TT{union} y'' rewrites to \kern-1.1pt ``\verb+fun /"union" {} {+x\TT{,}y\verb+}+''
219 and ``\verb+{+x$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}x$_m$\verb+}+'' rewrites to
220 ``\verb+fun /"union" {} {+x$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}x$_m$\verb+}+''.
221
222 \item
223 \textbf{Projection.}
224 \TT{/"proj"} takes one path argument and one set argument.
225
226 \begin{footnotesize}
227 \begin{center}
228 %
229 \irule {p \oft \TT{<path>} \spc 
230         (\G, x) \daq \{ (r_1, A_1), \cdots, (r_m, A_m) \}}{}
231        {\Fun\ \TT{/"proj"}\ [p]\ [x]\ \G \equiv 
232         \Head\ (\Proj\ (\Name\ p)\ A_1 \sor \cdots \sor \Proj\ (\Name\ p)\ A_m)}
233 %
234 \end{center} 
235 \begin{center} \begin{tabular}{rll}
236 %
237 $ \Proj\ p\ \{G_1, \cdots, G_n\} $ & rewrites to &
238 $ \get{G_1}{p} \sor \cdots \sor \get{G_n}{p} $ \\
239 $ \Head\ \{s_1, \cdots, s_k\} $ & rewrites to & $ \{ (s_1, \ES), \cdots, (s_k, \ES) \} $
240 \end{tabular} \end{center}
241 \end{footnotesize}
242
243 where, for each $ 1 \le j \le n $, $ \get{G_j}{p} $ is $ \ES $ if $ p $ is not
244 defined in $ G_j $.
245
246 Moreover
247 ``\TT{proj} p \TT{of} x'' rewrites to ``\verb+fun /"proj" {+p\verb+} {+x\verb+}+''.
248
249 \item
250 \textbf{Refinement.}
251 The functions \TT{/"keep"/"these"} and \TT{/"keep"/"allbut"} take any number
252 of path arguments and one set argument.
253 In the following rules if $ l $ is $ [p_1, \cdots, p_m] $ then
254 $ W $ is $ \{\Name\ p_1, \cdots, \Name\ p_m\} $ Moreover {\Keep} and $\Keep\p$
255 are helper functions and the usual rule overriding policy applies.
256
257 \begin{footnotesize}
258 \begin{center}
259 %
260 \irule{l \oft \Listof\ \TT{<path>} \spc (\G, x) \daq S}{}
261       {\Fun\ \TT{/"keep"/"these"}\ l\ [x]\ \G \equiv 
262        \{ (r, \bigsor \{ \Keep\ \T\ W\ G \st G \in A \}) \st (r, A) \in S \}}
263 %
264 \end{center}
265 \begin{center}
266 %
267 \irule{l \oft \Listof\ \TT{<path>} \spc (\G, x) \daq S}{}
268       {\Fun\ \TT{/"keep"/"allbut"}\ l\ [x]\ \G \equiv 
269        \{ (r, \bigsor \{ \Keep\ \F\ W\ G \st G \in A \}) \st (r, A) \in S \}}
270 %
271 \end{center}
272 \begin{center}
273 %
274 \irule{\Keep\p\ b\ W\ G\ \RM{rewrites to}\ \ES}{1}
275 {\Keep\ b\ W\ G\ \RM{rewrites to}\ \ES} \spc
276 \irule{\Keep\p\ b\ W\ G\ \RM{rewrites to}\ G\p}{2}
277 {\Keep\ b\ W\ G\ \RM{rewrites to}\ \{G\p\}}
278 %
279 \end{center}
280 \begin{center} \begin{tabular}{rll}
281 %
282 $ \Keep\p\ \T\ W\ G $ & rewrites to & $ \{ (p, V) \in G \st p \in W \} $ \\
283 $ \Keep\p\ \F\ W\ G $ & rewrites to & $ \{ (p, V) \in G \st p \notin W \} $
284 %
285 \end{tabular} \end{center}
286 \end{footnotesize}
287
288 ``\TT{keep} p$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}p$_m$ \TT{in} x'' rewrites to
289 ``\TT{fun /"keep"/"these"} \verb+{+p$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}p$_m$\verb+}+ \verb+{+x\verb+}+'',
290 ``\TT{keep} x'' rewrites to ``\TT{fun /"keep"/"these"} \verb+{}+ \verb+{+x\verb+}+'',
291 ``\TT{keep allbut} p$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}p$_m$ \TT{in} x'' rewrites to
292 ``\TT{fun /"keep"/"allbut"} \verb+{+p$_1$\TT{,}$\cdots$\TT{,}p$_m$\verb+}+ \verb+{+x\verb+}+''
293 and
294 ``\TT{keep allbut} x'' rewrites to ``\TT{fun /"keep"/"allbut"} \verb+{}+ \verb+{+x\verb+}+''.
295
296 Note that ``\TT{keep allbut} x'' gives the same result as ``x'' does.
297
298 \end{itemize}