matita/contribs/CoRN-Decl/algebra/CSetoidFun.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/CoRN-Decl/algebra/CSetoidFun".
  18
  19 (* $Id: CSetoidFun.v,v 1.10 2004/04/23 10:00:53 lcf Exp $ *)
  20
  21 (* INCLUDE
  22 CSetoids
  23 *)
  24
  25 (* UNEXPORTED
  26 Section unary_function_composition.
  27 *)
  28
  29 (*#* ** Composition of Setoid functions
  30
  31 Let [S1],  [S2] and [S3] be setoids, [f] a
  32 setoid function from [S1] to [S2], and [g] from [S2]
  33 to [S3] in the following definition of composition.  *)
  34
  35 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S1.var.
  36
  37 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S2.var.
  38
  39 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S3.var.
  40
  41 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/f.var.
  42
  43 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/g.var.
  44
  45 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/compose_CSetoid_fun.con.
  46
  47 (* UNEXPORTED
  48 End unary_function_composition.
  49 *)
  50
  51 (* UNEXPORTED
  52 Section unary_and_binary_function_composition.
  53 *)
  54
  55 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/compose_CSetoid_bin_un_fun.con.
  56
  57 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/compose_CSetoid_bin_fun.con.
  58
  59 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/compose_CSetoid_un_bin_fun.con.
  60
  61 (* UNEXPORTED
  62 End unary_and_binary_function_composition.
  63 *)
  64
  65 (*#* ***Projections
  66 *)
  67
  68 (* UNEXPORTED
  69 Section function_projection.
  70 *)
  71
  72 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/proj_bin_fun.con.
  73
  74 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/projected_bin_fun.con.
  75
  76 (* UNEXPORTED
  77 End function_projection.
  78 *)
  79
  80 (* UNEXPORTED
  81 Section BinProj.
  82 *)
  83
  84 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S.var.
  85
  86 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/binproj1.con.
  87
  88 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/binproj1_strext.con.
  89
  90 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/cs_binproj1.con.
  91
  92 (* UNEXPORTED
  93 End BinProj.
  94 *)
  95
  96 (*#* **Combining operations
  97 %\begin{convention}% Let [S1], [S2] and [S3] be setoids.
  98 %\end{convention}%
  99 *)
 100
 101 (* UNEXPORTED
 102 Section CombiningOperations.
 103 *)
 104
 105 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S1.var.
 106
 107 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S2.var.
 108
 109 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S3.var.
 110
 111 (*#*
 112 In the following definition, we assume [f] is a setoid function from
 113 [S1] to [S2], and [op] is an unary operation on [S2].
 114 Then [opOnFun] is the composition [op] after [f].
 115 *)
 116
 117 (* UNEXPORTED
 118 Section CombiningUnaryOperations.
 119 *)
 120
 121 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/f.var.
 122
 123 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/op.var.
 124
 125 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/opOnFun.con.
 126
 127 (* UNEXPORTED
 128 End CombiningUnaryOperations.
 129 *)
 130
 131 (* UNEXPORTED
 132 End CombiningOperations.
 133 *)
 134
 135 (*#* **Partial Functions
 136
 137 In this section we define a concept of partial function for an
 138 arbitrary setoid.  Essentially, a partial function is what would be
 139 expected---a predicate on the setoid in question and a total function
 140 from the set of points satisfying that predicate to the setoid.  There
 141 is one important limitations to this approach: first, the record we
 142 obtain has type [Type], meaning that we can't use, for instance,
 143 elimination of existential quantifiers.
 144
 145 Furthermore, for reasons we will explain ahead, partial functions will
 146 not be defined via the [CSetoid_fun] record, but the whole structure
 147 will be incorporated in a new record.
 148
 149 Finally, notice that to be completely general the domains of the
 150 functions have to be characterized by a [CProp]-valued predicate;
 151 otherwise, the use you can make of a function will be %\emph{%#<i>#a
 152 priori#</i>#%}% restricted at the moment it is defined.
 153
 154 Before we state our definitions we need to do some work on domains.
 155 *)
 156
 157 (* UNEXPORTED
 158 Section SubSets_of_G.
 159 *)
 160
 161 (*#* ***Subsets of Setoids
 162
 163 Subsets of a setoid will be identified with predicates from the
 164 carrier set of the setoid into [CProp].  At this stage, we do not make
 165 any assumptions about these predicates.
 166
 167 We will begin by defining elementary operations on predicates, along
 168 with their basic properties.  In particular, we will work with well
 169 defined predicates, so we will prove that these operations preserve
 170 welldefinedness.
 171
 172 %\begin{convention}% Let [S:CSetoid] and [P,Q:S->CProp].
 173 %\end{convention}%
 174 *)
 175
 176 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S.var.
 177
 178 (* UNEXPORTED
 179 Section Conjunction.
 180 *)
 181
 182 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/P.var.
 183
 184 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Q.var.
 185
 186 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/conjP.con.
 187
 188 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/prj1.con.
 189
 190 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/prj2.con.
 191
 192 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/conj_wd.con.
 193
 194 (* UNEXPORTED
 195 End Conjunction.
 196 *)
 197
 198 (* UNEXPORTED
 199 Section Disjunction.
 200 *)
 201
 202 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/P.var.
 203
 204 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Q.var.
 205
 206 (*#*
 207 Although at this stage we never use it, for completeness's sake we also treat disjunction (corresponding to union of subsets).
 208 *)
 209
 210 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/disj.con.
 211
 212 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inj1.con.
 213
 214 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inj2.con.
 215
 216 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/disj_wd.con.
 217
 218 (* UNEXPORTED
 219 End Disjunction.
 220 *)
 221
 222 (* UNEXPORTED
 223 Section Extension.
 224 *)
 225
 226 (*#*
 227 The next definition is a bit tricky, and is useful for choosing among the elements that satisfy a predicate [P] those that also satisfy [R] in the case where [R] is only defined for elements satisfying [P]---consider [R] to be a condition on the image of an object via a function with domain [P].  We chose to call this operation [extension].
 228 *)
 229
 230 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/P.var.
 231
 232 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/R.var.
 233
 234 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/extend.con.
 235
 236 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/ext1.con.
 237
 238 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/ext2_a.con.
 239
 240 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/ext2.con.
 241
 242 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/extension_wd.con.
 243
 244 (* UNEXPORTED
 245 End Extension.
 246 *)
 247
 248 (* UNEXPORTED
 249 End SubSets_of_G.
 250 *)
 251
 252 (* UNEXPORTED
 253 Implicit Arguments disj [S].
 254 *)
 255
 256 (* UNEXPORTED
 257 Implicit Arguments extend [S].
 258 *)
 259
 260 (* UNEXPORTED
 261 Implicit Arguments ext1 [S P R x].
 262 *)
 263
 264 (* UNEXPORTED
 265 Implicit Arguments ext2 [S P R x].
 266 *)
 267
 268 (*#* ***Operations
 269
 270 We are now ready to define the concept of partial function between arbitrary setoids.
 271 *)
 272
 273 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/BinPartFunct.ind.
 274
 275 (* UNEXPORTED
 276 Implicit Arguments bpfpfun [S1 S2].
 277 *)
 278
 279 (*#*
 280 The next lemma states that every partial function is well defined.
 281 *)
 282
 283 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/bpfwdef.con.
 284
 285 (*#* Similar for automorphisms. *)
 286
 287 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/PartFunct.ind.
 288
 289 (* UNEXPORTED
 290 Implicit Arguments pfpfun [S].
 291 *)
 292
 293 (*#*
 294 The next lemma states that every partial function is well defined.
 295 *)
 296
 297 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/pfwdef.con.
 298
 299 (*#*
 300 A few characteristics of this definition should be explained:
 301  - The domain of the partial function is characterized by a predicate
 302 that is required to be well defined but not strongly extensional.  The
 303 motivation for this choice comes from two facts: first, one very
 304 important subset of real numbers is the compact interval
 305 [[a,b]]---characterized by the predicate [ fun x : IR => a [<=] x /\ x
 306 [<=] b], which is not strongly extensional; on the other hand, if we
 307 can apply a function to an element [s] of a setoid [S] it seems
 308 reasonable (and at some point we do have to do it) to apply that same
 309 function to any element [s'] which is equal to [s] from the point of
 310 view of the setoid equality.
 311  - The last two conditions state that [pfpfun] is really a subsetoid
 312 function.  The reason why we do not write it that way is the
 313 following: when applying a partial function [f] to an element [s] of
 314 [S] we also need a proof object [H]; with this definition the object
 315 we get is [f(s,H)], where the proof is kept separate from the object.
 316 Using subsetoid notation, we would get $f(\langle
 317 s,H\rangle)$#f(&lang;s,H&rang;)#; from this we need to apply two
 318 projections to get either the original object or the proof, and we
 319 need to apply an extra constructor to get $f(\langle
 320 s,H\rangle)$#f(&lang;s,H&rang;)# from [s] and [H].  This amounts
 321 to spending more resources when actually working with these objects.
 322  - This record has type [Type], which is very unfortunate, because it
 323 means in particular that we cannot use the well behaved set
 324 existential quantification over partial functions; however, later on
 325 we will manage to avoid this problem in a way that also justifies that
 326 we don't really need to use that kind of quantification.  Another
 327 approach to this definition that completely avoid this complication
 328 would be to make [PartFunct] a dependent type, receiving the predicate
 329 as an argument.  This does work in that it allows us to give
 330 [PartFunct] type [Set] and do some useful stuff with it; however, we
 331 are not able to define something as simple as an operator that gets a
 332 function and returns its domain (because of the restrictions in the
 333 type elimination rules).  This sounds very unnatural, and soon gets us
 334 into strange problems that yield very unlikely definitions, which is
 335 why we chose to altogether do away with this approach.
 336
 337 %\begin{convention}% All partial functions will henceforth be denoted by capital letters.
 338 %\end{convention}%
 339
 340 We now present some methods for defining partial functions.
 341 *)
 342
 343 (* UNEXPORTED
 344 Hint Resolve CI: core.
 345 *)
 346
 347 (* UNEXPORTED
 348 Section CSetoid_Ops.
 349 *)
 350
 351 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S.var.
 352
 353 (*#*
 354 To begin with, we want to be able to ``see'' each total function as a partial function.
 355 *)
 356
 357 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/total_eq_part.con.
 358
 359 (* UNEXPORTED
 360 Section Part_Function_Const.
 361 *)
 362
 363 (*#*
 364 In any setoid we can also define constant functions (one for each element of the setoid) and an identity function:
 365
 366 %\begin{convention}% Let [c:S].
 367 %\end{convention}%
 368 *)
 369
 370 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/c.var.
 371
 372 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Fconst.con.
 373
 374 (* UNEXPORTED
 375 End Part_Function_Const.
 376 *)
 377
 378 (* UNEXPORTED
 379 Section Part_Function_Id.
 380 *)
 381
 382 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Fid.con.
 383
 384 (* UNEXPORTED
 385 End Part_Function_Id.
 386 *)
 387
 388 (*#*
 389 (These happen to be always total functions, but that is more or less obvious, as we have no information on the setoid; however, we will be able to define partial functions just applying other operators to these ones.)
 390
 391 If we have two setoid functions [F] and [G] we can always compose them.  The domain of our new function will be the set of points [s] in the domain of [F] for which [F(s)] is in the domain of [G]#. #%\footnote{%Notice that the use of extension here is essential.%}.%  The inversion in the order of the variables is done to maintain uniformity with the usual mathematical notation.
 392
 393 %\begin{convention}% Let [G,F:(PartFunct S)] and denote by [Q] and [P], respectively, the predicates characterizing their domains.
 394 %\end{convention}%
 395 *)
 396
 397 (* UNEXPORTED
 398 Section Part_Function_Composition.
 399 *)
 400
 401 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/G.var.
 402
 403 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/F.var.
 404
 405 (* begin hide *)
 406
 407 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/P.con.
 408
 409 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Q.con.
 410
 411 (* end hide *)
 412
 413 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/R.con.
 414
 415 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/part_function_comp_strext.con.
 416
 417 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/part_function_comp_dom_wd.con.
 418
 419 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Fcomp.con.
 420
 421 (* UNEXPORTED
 422 End Part_Function_Composition.
 423 *)
 424
 425 (* UNEXPORTED
 426 End CSetoid_Ops.
 427 *)
 428
 429 (*#*
 430 %\begin{convention}% Let [F:(BinPartFunct S1 S2)] and [G:(PartFunct S2 S3)], and denote by [Q] and [P], respectively, the predicates characterizing their domains.
 431 %\end{convention}%
 432 *)
 433
 434 (* UNEXPORTED
 435 Section BinPart_Function_Composition.
 436 *)
 437
 438 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S1.var.
 439
 440 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S2.var.
 441
 442 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/S3.var.
 443
 444 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/G.var.
 445
 446 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/F.var.
 447
 448 (* begin hide *)
 449
 450 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/P.con.
 451
 452 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Q.con.
 453
 454 (* end hide *)
 455
 456 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/R.con.
 457
 458 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/bin_part_function_comp_strext.con.
 459
 460 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/bin_part_function_comp_dom_wd.con.
 461
 462 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/BinFcomp.con.
 463
 464 (* UNEXPORTED
 465 End BinPart_Function_Composition.
 466 *)
 467
 468 (* Different tokens for compatibility with coqdoc *)
 469
 470 (* UNEXPORTED
 471 Implicit Arguments Fconst [S].
 472 *)
 473
 474 (* UNEXPORTED
 475 Implicit Arguments Fcomp [S].
 476 *)
 477
 478 (* UNEXPORTED
 479 Hint Resolve pfwdef bpfwdef: algebra.
 480 *)
 481
 482 (* UNEXPORTED
 483 Section bijections.
 484 *)
 485
 486 (*#* **Bijections *)
 487
 488 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/injective.con.
 489
 490 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/injective_weak.con.
 491
 492 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/surjective.con.
 493
 494 (* UNEXPORTED
 495 Implicit Arguments injective [A B].
 496 *)
 497
 498 (* UNEXPORTED
 499 Implicit Arguments injective_weak [A B].
 500 *)
 501
 502 (* UNEXPORTED
 503 Implicit Arguments surjective [A B].
 504 *)
 505
 506 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/injective_imp_injective_weak.con.
 507
 508 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/bijective.con.
 509
 510 (* UNEXPORTED
 511 Implicit Arguments bijective [A B].
 512 *)
 513
 514 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/id_is_bij.con.
 515
 516 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/comp_resp_bij.con.
 517
 518 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inv.con.
 519
 520 (* UNEXPORTED
 521 Implicit Arguments inv [A B].
 522 *)
 523
 524 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/invfun.con.
 525
 526 (* UNEXPORTED
 527 Implicit Arguments invfun [A B].
 528 *)
 529
 530 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inv1.con.
 531
 532 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inv2.con.
 533
 534 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/inv_strext.con.
 535
 536 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Inv.con.
 537
 538 (* UNEXPORTED
 539 Implicit Arguments Inv [A B].
 540 *)
 541
 542 inline cic:/CoRN/algebra/CSetoidFun/Inv_bij.con.
 543
 544 (* UNEXPORTED
 545 End bijections.
 546 *)
 547
 548 (* UNEXPORTED
 549 Implicit Arguments bijective [A B].
 550 *)
 551
 552 (* UNEXPORTED
 553 Implicit Arguments injective [A B].
 554 *)
 555
 556 (* UNEXPORTED
 557 Implicit Arguments injective_weak [A B].
 558 *)
 559
 560 (* UNEXPORTED
 561 Implicit Arguments surjective [A B].
 562 *)
 563
 564 (* UNEXPORTED
 565 Implicit Arguments inv [A B].
 566 *)
 567
 568 (* UNEXPORTED
 569 Implicit Arguments invfun [A B].
 570 *)
 571
 572 (* UNEXPORTED
 573 Implicit Arguments Inv [A B].
 574 *)
 575
 576 (* UNEXPORTED
 577 Implicit Arguments conj_wd [S P Q].
 578 *)
 579