matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props".
  18
  19 include "tlist/defs.ma".
  20
  21 include "lift/fwd.ma".
  22
  23 include "s/props.ma".
  24
  25 theorem thead_x_lift_y_y:
  26  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  27 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  28 \def
  29  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  30 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  31 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  32 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  33 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  34 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  35 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  36 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  37 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  38 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  39 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  40 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  41 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  42 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  43 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  44 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  45 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  46 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  47 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  48 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  49 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  50 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
  51 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  52 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  53 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t2 _)
  54 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  55 H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  56 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map
  57 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort
  58 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
  59 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  60 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  61 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat
  62 \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort n)
  63 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
  64 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  65 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  66 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow
  67 (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T
  68 \def (match t2 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow
  69 (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f
  70 i)])) | (THead k1 u t3) \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f
  71 (s k1 d0) t3))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec
  72 lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with
  73 [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i
  74 d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  75 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  76 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (THead _ _ t2)
  77 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  78 H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k k0)).(let H7 \def
  79 (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(\forall (v0: T).(\forall (h0: nat).(\forall
  80 (d0: nat).((eq T (THead k1 v0 (lift h0 d0 t1)) t1) \to (\forall (P0:
  81 Prop).P0)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0
  82 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0
  83 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P))))))
  84 H3)) H2)))))))))))) t)).
  85
  86 theorem lift_r:
  87  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  88 \def
  89  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  90 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  91 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  92 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  93 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  94 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  95 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  96 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  97 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  98 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  99 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
 100 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (sym_eq T (THead k t0 t1)
 101 (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d) t1)) (sym_eq T (THead k (lift O d t0)
 102 (lift O (s k d) t1)) (THead k t0 t1) (sym_eq T (THead k t0 t1) (THead k (lift
 103 O d t0) (lift O (s k d) t1)) (f_equal3 K T T T THead k k t0 (lift O d t0) t1
 104 (lift O (s k d) t1) (refl_equal K k) (sym_eq T (lift O d t0) t0 (H d))
 105 (sym_eq T (lift O (s k d) t1) t1 (H0 (s k d))))))) (lift O d (THead k t0 t1))
 106 (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
 107
 108 theorem lift_lref_gt:
 109  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 110 (pred n))) (TLRef n))))
 111 \def
 112  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 113 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 114 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 115 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 116 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_comm (S O) (pred n)))
 117 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 118 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 119 (S_pred n d H))))))).
 120
 121 theorem lifts_tapp:
 122  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (v: T).(\forall (vs: TList).(eq
 123 TList (lifts h d (TApp vs v)) (TApp (lifts h d vs) (lift h d v))))))
 124 \def
 125  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (vs:
 126 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq TList (lifts h d (TApp t v)) (TApp
 127 (lifts h d t) (lift h d v)))) (refl_equal TList (TCons (lift h d v) TNil))
 128 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq TList (lifts h d (TApp
 129 t0 v)) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))).(eq_ind_r TList (TApp (lifts h d
 130 t0) (lift h d v)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift h d t) t1)
 131 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v))))) (refl_equal TList
 132 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))) (lifts h d (TApp t0
 133 v)) H)))) vs)))).
 134
 135 theorem lift_inj:
 136  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 137 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 138 \def
 139  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 140 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 141 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 142 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 143 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 144 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 145 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 146 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 147 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 148 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 149 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 150 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 151 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 152 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 153 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 154 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 155 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 156 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 157 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 158 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 159 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 160 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 161 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 162 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 163 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 164 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 165 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 166 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 167 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 168 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 169 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 170 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 171 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 172 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 173 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 174 (sym_eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) t t0) (sym_eq T (THead (Bind
 175 b) t t0) (THead (Bind b) x0 x1) (sym_eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind
 176 b) t t0) (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) x0 t x1 t0 (refl_equal K
 177 (Bind b)) (sym_eq T t x0 (H x0 h d H4)) (sym_eq T t0 x1 (H0 x1 h (S d)
 178 H5)))))) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t) (lift h (S d) t0) t1 h d
 179 H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 180 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 181 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 182 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 183 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 184 (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 185 (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 186 (THead (Flat f) (lift h d t) (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in
 187 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y
 188 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 189 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T
 190 (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq
 191 T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d
 192 x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0) (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead
 193 (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) t2)) (sym_eq T
 194 (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) t t0) (sym_eq T (THead (Flat f) t t0)
 195 (THead (Flat f) x0 x1) (sym_eq T (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) t t0)
 196 (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) x0 t x1 t0 (refl_equal K (Flat f))
 197 (sym_eq T t x0 (H x0 h d H4)) (sym_eq T t0 x1 (H0 x1 h d H5)))))) t1 H3))))))
 198 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 199
 200 theorem lift_gen_lift:
 201  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 202 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 203 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 204 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 205 \def
 206  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 207 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 208 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 209 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 210 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 211 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 212 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 213 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 214 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 215 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 216 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 217 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 218 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 219 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 220 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 221 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 222 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 223 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 224 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 225 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 226 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 227 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 228 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 229 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 230 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 231 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 232 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 233 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 234 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 235 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 236 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 237 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 238 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 239 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 240 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 241 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 242 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 243 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 244 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 245 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 246 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 247 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 248 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 249 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 250 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_lt_compat_r n d2 h1 H3) x
 251 H2))) (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2:
 252 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2
 253 t2)))) (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2
 254 h1) (plus n h1) (le_S_n (plus d2 h1) (plus n h1) (lt_le_S (plus d2 h1) (S
 255 (plus n h1)) (le_lt_n_Sm (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_le_compat d2 n h1 h1
 256 H3 (le_n h1))))) (eq_ind_r nat (plus (plus d2 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(lt
 257 (plus n h1) n0)) (lt_le_S (plus n h1) (plus (plus d2 h2) h1)
 258 (plus_lt_compat_r n (plus d2 h2) h1 H4)) (plus (plus d2 h1) h2)
 259 (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x H2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1
 260 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))) (\lambda (H4:
 261 (le (plus d2 h2) n)).(let H5 \def (eq_ind nat (plus n h1) (\lambda (n0:
 262 nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 (plus d2 h1) x))) H2 (plus (minus (plus n h1)
 263 h2) h2) (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1) (le_plus_trans h2 n h1
 264 (le_trans_plus_r d2 h2 n H4)))) in (eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n h1) h2))
 265 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda
 266 (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq
 267 T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 268 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef (minus n h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n
 269 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h1 d1 (TLRef (minus n
 270 h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus n h2) h1)) (\lambda (t: T).(eq T
 271 (TLRef (plus (minus n h2) h1)) t)) (refl_equal T (TLRef (plus (minus n h2)
 272 h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))) (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1
 273 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H (le_minus d2 n h2 H4)))) (minus (plus n h1)
 274 h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans_plus_r d2 h2 n H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus
 275 (minus n h2) h2) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef
 276 (minus n0 h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2)
 277 h2)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T
 278 TLRef (plus (minus n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)
 279 (f_equal2 nat nat nat plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2
 280 h2 (sym_eq nat (minus (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r
 281 (minus n h2) h2)) (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus
 282 (minus n h2) h2) h2))) (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2
 283 (le_minus d2 (plus (minus n h2) h2) h2 (plus_le_compat d2 (minus n h2) h2 h2
 284 (le_minus d2 n h2 H4) (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n
 285 (le_trans_plus_r d2 h2 n H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus
 286 (plus n h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 287 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 288 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 289 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 290 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 291 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 292 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 293 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 294 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 295 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 296 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 297 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 298 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 299 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 300 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 301 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 302 (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 303 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1))
 304 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 305 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 306 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 307 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 308 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 309 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 310 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 311 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 312 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 313 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 314 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 315 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 316 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 317 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 318 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 319 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 320 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 321 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 322 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 323 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 324 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 325 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 326 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 327 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 328 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 329 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 330 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 331 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 332 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 333 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 334 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 335 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 336 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 337 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 338 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 339 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 340 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 341 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 342 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 343 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 344 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 345 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 346 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 347 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_S_n (S d1) (S d2) (lt_le_S (S d1) (S
 348 (S d2)) (lt_n_S d1 (S d2) (le_lt_n_Sm d1 d2 H1)))) H11)))) t H9) x0 H8)))) (H
 349 x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1 (S
 350 d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T (lift
 351 h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind
 352 T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus
 353 d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0)) (lift_flat f t
 354 t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead
 355 (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift
 356 h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 d1 t0)
 357 (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 358 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 359 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 360 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 361 (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0
 362 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 363 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 364 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 365 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1
 366 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 367 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 368 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 369 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 370 T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 371 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1
 372 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0)
 373 (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2)))
 374 (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 375 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 376 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x3:
 377 T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda (H11: (eq T t0 (lift h2
 378 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 379 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 380 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T
 381 (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat
 382 f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T
 383 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda
 384 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1
 385 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))
 386 (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1
 387 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1
 388 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift
 389 h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1))
 390 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2:
 391 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T
 392 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f)
 393 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1
 394 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f
 395 (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) k H2)))))))))))))
 396 t1).
 397
 398 theorem lift_free:
 399  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 400 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 401 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 402 \def
 403  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 404 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 405 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 406 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 407 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 408 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 409 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 410 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 411 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 412 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 413 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 414 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 415 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 416 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 417 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 418 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 419 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 420 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 421 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 422 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 423 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 424 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 425 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 426 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 427 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 428 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 429 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 430 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (plus_le_compat d n h h H1
 431 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 432 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 433 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 434 (eq T (lift k0 e (lift h d t0)) (lift (plus k0 h) d t0)))))))))).(\lambda
 435 (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d:
 436 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k0 e
 437 (lift h d t1)) (lift (plus k0 h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 438 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 439 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 440 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 441 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 442 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 443 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 444 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 445 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 446 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 447 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 448 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 449 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 450 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 451 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 452 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 453 d))))))))))))) t).
 454
 455 theorem lift_d:
 456  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 457 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 458 (lift k e (lift h d t))))))))
 459 \def
 460  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 461 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 462 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 463 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 464 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 465 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 466 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 467 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 468 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 469 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 470 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 471 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 472 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 473 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 474 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 475 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 476 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 477 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 478 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 479 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 480 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 481 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 482 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 483 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 484 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 485 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 486 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 487 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 488 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 489 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 490 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 491 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 492 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 493 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (lt_le_S (plus n k) (plus d k)
 494 (plus_lt_compat_r n d k H1))))) (\lambda (H1: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 495 (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef
 496 n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus
 497 (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k))
 498 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0)) (f_equal nat T TLRef
 499 (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat (plus (plus n h) k) (plus
 500 (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k e (TLRef (plus n h)))
 501 (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_S_n e (plus n h) (lt_le_S e (S (plus n h))
 502 (le_lt_n_Sm e (plus n h) (le_plus_trans e n h H0)))))) (lift h d (TLRef n))
 503 (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift_lref_ge
 504 (plus n k) h (plus d k) (le_S_n (plus d k) (plus n k) (lt_le_S (plus d k) (S
 505 (plus n k)) (le_lt_n_Sm (plus d k) (plus n k) (plus_le_compat d n k k H1
 506 (le_n k))))))))) (plus k d) (plus_comm k d)) (lift k e (TLRef n))
 507 (lift_lref_ge n k e H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda
 508 (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e:
 509 nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift k0 e (lift
 510 h d t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall
 511 (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h
 512 (plus k0 d) (lift k0 e t1)) (lift k0 e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h:
 513 nat).(\lambda (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le
 514 e d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 515 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 516 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 517 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 518 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 519 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 520 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 521 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 522 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 523 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 524 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 525 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 526 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 527 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 528 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 529 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 530 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 531 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 532 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 533 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 534 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 535