matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift1/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift1/props".
  18
  19 include "lift1/defs.ma".
  20
  21 include "lift/props.ma".
  22
  23 include "drop1/defs.ma".
  24
  25 theorem lift1_lift1:
  26  \forall (is1: PList).(\forall (is2: PList).(\forall (t: T).(eq T (lift1 is1
  27 (lift1 is2 t)) (lift1 (papp is1 is2) t))))
  28 \def
  29  \lambda (is1: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (is2:
  30 PList).(\forall (t: T).(eq T (lift1 p (lift1 is2 t)) (lift1 (papp p is2)
  31 t))))) (\lambda (is2: PList).(\lambda (t: T).(refl_equal T (lift1 is2 t))))
  32 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H:
  33 ((\forall (is2: PList).(\forall (t: T).(eq T (lift1 p (lift1 is2 t)) (lift1
  34 (papp p is2) t)))))).(\lambda (is2: PList).(\lambda (t: T).(sym_eq T (lift n
  35 n0 (lift1 (papp p is2) t)) (lift n n0 (lift1 p (lift1 is2 t))) (sym_eq T
  36 (lift n n0 (lift1 p (lift1 is2 t))) (lift n n0 (lift1 (papp p is2) t))
  37 (sym_eq T (lift n n0 (lift1 (papp p is2) t)) (lift n n0 (lift1 p (lift1 is2
  38 t))) (f_equal3 nat nat T T lift n n n0 n0 (lift1 (papp p is2) t) (lift1 p
  39 (lift1 is2 t)) (refl_equal nat n) (refl_equal nat n0) (sym_eq T (lift1 p
  40 (lift1 is2 t)) (lift1 (papp p is2) t) (H is2 t)))))))))))) is1).
  41
  42 theorem lift1_xhg:
  43  \forall (hds: PList).(\forall (t: T).(eq T (lift1 (Ss hds) (lift (S O) O t))
  44 (lift (S O) O (lift1 hds t))))
  45 \def
  46  \lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (t: T).(eq T
  47 (lift1 (Ss p) (lift (S O) O t)) (lift (S O) O (lift1 p t))))) (\lambda (t:
  48 T).(refl_equal T (lift (S O) O t))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  49 nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(eq T (lift1 (Ss p)
  50 (lift (S O) O t)) (lift (S O) O (lift1 p t)))))).(\lambda (t: T).(eq_ind_r T
  51 (lift (S O) O (lift1 p t)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift (S
  52 O) O (lift h d (lift1 p t))))) (eq_ind nat (plus (S O) d) (\lambda (n:
  53 nat).(eq T (lift h n (lift (S O) O (lift1 p t))) (lift (S O) O (lift h d
  54 (lift1 p t))))) (eq_ind_r T (lift (S O) O (lift h d (lift1 p t))) (\lambda
  55 (t0: T).(eq T t0 (lift (S O) O (lift h d (lift1 p t))))) (refl_equal T (lift
  56 (S O) O (lift h d (lift1 p t)))) (lift h (plus (S O) d) (lift (S O) O (lift1
  57 p t))) (lift_d (lift1 p t) h (S O) d O (le_O_n d))) (S d) (refl_equal nat (S
  58 d))) (lift1 (Ss p) (lift (S O) O t)) (H t))))))) hds).
  59
  60 theorem lifts1_xhg:
  61  \forall (hds: PList).(\forall (ts: TList).(eq TList (lifts1 (Ss hds) (lifts
  62 (S O) O ts)) (lifts (S O) O (lifts1 hds ts))))
  63 \def
  64  \lambda (hds: PList).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq
  65 TList (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds t))))
  66 (refl_equal TList TNil) (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq
  67 TList (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0)) (lifts (S O) O (lifts1 hds
  68 t0)))).(eq_ind_r T (lift (S O) O (lift1 hds t)) (\lambda (t1: T).(eq TList
  69 (TCons t1 (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0))) (TCons (lift (S O) O (lift1
  70 hds t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds t0))))) (eq_ind_r TList (lifts (S O) O
  71 (lifts1 hds t0)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift (S O) O (lift1
  72 hds t)) t1) (TCons (lift (S O) O (lift1 hds t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds
  73 t0))))) (refl_equal TList (TCons (lift (S O) O (lift1 hds t)) (lifts (S O) O
  74 (lifts1 hds t0)))) (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0)) H) (lift1 (Ss hds)
  75 (lift (S O) O t)) (lift1_xhg hds t))))) ts)).
  76
  77 theorem lift1_free:
  78  \forall (hds: PList).(\forall (i: nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 hds
  79 (lift (S i) O t)) (lift (S (trans hds i)) O (lift1 (ptrans hds i) t)))))
  80 \def
  81  \lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (i:
  82 nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 p (lift (S i) O t)) (lift (S (trans p i)) O
  83 (lift1 (ptrans p i) t)))))) (\lambda (i: nat).(\lambda (t: T).(refl_equal T
  84 (lift (S i) O t)))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (hds0:
  85 PList).(\lambda (H: ((\forall (i: nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 hds0
  86 (lift (S i) O t)) (lift (S (trans hds0 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i)
  87 t))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (t: T).(eq_ind_r T (lift (S (trans hds0
  88 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h d t0) (lift
  89 (S (match (blt (trans hds0 i) d) with [true \Rightarrow (trans hds0 i) |
  90 false \Rightarrow (plus (trans hds0 i) h)])) O (lift1 (match (blt (trans hds0
  91 i) d) with [true \Rightarrow (PCons h (minus d (S (trans hds0 i))) (ptrans
  92 hds0 i)) | false \Rightarrow (ptrans hds0 i)]) t)))) (xinduction bool (blt
  93 (trans hds0 i) d) (\lambda (b: bool).(eq T (lift h d (lift (S (trans hds0 i))
  94 O (lift1 (ptrans hds0 i) t))) (lift (S (match b with [true \Rightarrow (trans
  95 hds0 i) | false \Rightarrow (plus (trans hds0 i) h)])) O (lift1 (match b with
  96 [true \Rightarrow (PCons h (minus d (S (trans hds0 i))) (ptrans hds0 i)) |
  97 false \Rightarrow (ptrans hds0 i)]) t)))) (\lambda (x_x: bool).(bool_ind
  98 (\lambda (b: bool).((eq bool (blt (trans hds0 i) d) b) \to (eq T (lift h d
  99 (lift (S (trans hds0 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t))) (lift (S (match b with
 100 [true \Rightarrow (trans hds0 i) | false \Rightarrow (plus (trans hds0 i)
 101 h)])) O (lift1 (match b with [true \Rightarrow (PCons h (minus d (S (trans
 102 hds0 i))) (ptrans hds0 i)) | false \Rightarrow (ptrans hds0 i)]) t)))))
 103 (\lambda (H0: (eq bool (blt (trans hds0 i) d) true)).(eq_ind_r nat (plus (S
 104 (trans hds0 i)) (minus d (S (trans hds0 i)))) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h
 105 n (lift (S (trans hds0 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t))) (lift (S (trans hds0
 106 i)) O (lift1 (PCons h (minus d (S (trans hds0 i))) (ptrans hds0 i)) t))))
 107 (eq_ind_r T (lift (S (trans hds0 i)) O (lift h (minus d (S (trans hds0 i)))
 108 (lift1 (ptrans hds0 i) t))) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (S (trans hds0
 109 i)) O (lift1 (PCons h (minus d (S (trans hds0 i))) (ptrans hds0 i)) t))))
 110 (refl_equal T (lift (S (trans hds0 i)) O (lift1 (PCons h (minus d (S (trans
 111 hds0 i))) (ptrans hds0 i)) t))) (lift h (plus (S (trans hds0 i)) (minus d (S
 112 (trans hds0 i)))) (lift (S (trans hds0 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t)))
 113 (lift_d (lift1 (ptrans hds0 i) t) h (S (trans hds0 i)) (minus d (S (trans
 114 hds0 i))) O (le_O_n (minus d (S (trans hds0 i)))))) d (le_plus_minus (S
 115 (trans hds0 i)) d (bge_le (S (trans hds0 i)) d (le_bge (S (trans hds0 i)) d
 116 (lt_le_S (trans hds0 i) d (blt_lt d (trans hds0 i) H0))))))) (\lambda (H0:
 117 (eq bool (blt (trans hds0 i) d) false)).(eq_ind_r T (lift (plus h (S (trans
 118 hds0 i))) O (lift1 (ptrans hds0 i) t)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (S
 119 (plus (trans hds0 i) h)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t)))) (eq_ind nat (S (plus
 120 h (trans hds0 i))) (\lambda (n: nat).(eq T (lift n O (lift1 (ptrans hds0 i)
 121 t)) (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t))))
 122 (eq_ind_r nat (plus (trans hds0 i) h) (\lambda (n: nat).(eq T (lift (S n) O
 123 (lift1 (ptrans hds0 i) t)) (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (lift1 (ptrans
 124 hds0 i) t)))) (refl_equal T (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (lift1
 125 (ptrans hds0 i) t))) (plus h (trans hds0 i)) (plus_comm h (trans hds0 i)))
 126 (plus h (S (trans hds0 i))) (plus_n_Sm h (trans hds0 i))) (lift h d (lift (S
 127 (trans hds0 i)) O (lift1 (ptrans hds0 i) t))) (lift_free (lift1 (ptrans hds0
 128 i) t) (S (trans hds0 i)) h O d (eq_ind nat (S (plus O (trans hds0 i)))
 129 (\lambda (n: nat).(le d n)) (eq_ind_r nat (plus (trans hds0 i) O) (\lambda
 130 (n: nat).(le d (S n))) (le_S d (plus (trans hds0 i) O) (le_plus_trans d
 131 (trans hds0 i) O (bge_le d (trans hds0 i) H0))) (plus O (trans hds0 i))
 132 (plus_comm O (trans hds0 i))) (plus O (S (trans hds0 i))) (plus_n_Sm O (trans
 133 hds0 i))) (le_O_n d)))) x_x))) (lift1 hds0 (lift (S i) O t)) (H i t))))))))
 134 hds).
 135