matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pc3/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pc3/fwd".
  18
  19 include "pc3/props.ma".
  20
  21 include "pr3/fwd.ma".
  22
  23 theorem pc3_gen_sort:
  24  \forall (c: C).(\forall (m: nat).(\forall (n: nat).((pc3 c (TSort m) (TSort
  25 n)) \to (eq nat m n))))
  26 \def
  27  \lambda (c: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (pc3 c
  28 (TSort m) (TSort n))).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c
  29 (TSort m) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (TSort n) t)) (eq nat m n) (\lambda (x:
  30 T).(\lambda (H1: (pr3 c (TSort m) x)).(\lambda (H2: (pr3 c (TSort n) x)).(let
  31 H3 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (TSort n))) (pr3_gen_sort c x n
  32 H2) (TSort m) (pr3_gen_sort c x m H1)) in (let H4 \def (f_equal T nat
  33 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort n0)
  34 \Rightarrow n0 | (TLRef _) \Rightarrow m | (THead _ _ _) \Rightarrow m]))
  35 (TSort m) (TSort n) H3) in H4))))) H0))))).
  36
  37 theorem pc3_gen_abst:
  38  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).(\forall (t1: T).(\forall
  39 (t2: T).((pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to
  40 (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u)
  41 t1 t2)))))))))
  42 \def
  43  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda
  44 (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2
  45 t2))).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst)
  46 u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) t)) (land (pc3 c
  47 u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2))))
  48 (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) x)).(\lambda
  49 (H2: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H3 \def (pr3_gen_abst c u2 t2
  50 x H2) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead
  51 (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3)))
  52 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
  53 c (Bind b) u) t2 t3))))) (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u:
  54 T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
  55 T).(\lambda (H4: (eq T x (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H5: (pr3 c u2
  56 x0)).(\lambda (H6: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u)
  57 t2 x1))))).(let H7 \def (pr3_gen_abst c u1 t1 x H1) in (ex3_2_ind T T
  58 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
  59 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
  60 (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t1 t3)))))
  61 (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u)
  62 t1 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (H8: (eq T x (THead
  63 (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (H9: (pr3 c u1 x2)).(\lambda (H10: ((\forall
  64 (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t1 x3))))).(let H11 \def
  65 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind Abst) x0 x1))) H4 (THead
  66 (Bind Abst) x2 x3) H8) in (let H12 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
  67 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x2 | (TLRef _)
  68 \Rightarrow x2 | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst) x2 x3)
  69 (THead (Bind Abst) x0 x1) H11) in ((let H13 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  70 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x3 |
  71 (TLRef _) \Rightarrow x3 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst)
  72 x2 x3) (THead (Bind Abst) x0 x1) H11) in (\lambda (H14: (eq T x2 x0)).(let
  73 H15 \def (eq_ind T x3 (\lambda (t: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3
  74 (CHead c (Bind b) u) t1 t)))) H10 x1 H13) in (let H16 \def (eq_ind T x2
  75 (\lambda (t: T).(pr3 c u1 t)) H9 x0 H14) in (conj (pc3 c u1 u2) (\forall (b:
  76 B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2))) (pc3_pr3_t c u1 x0 H16
  77 u2 H5) (\lambda (b: B).(\lambda (u: T).(pc3_pr3_t (CHead c (Bind b) u) t1 x1
  78 (H15 b u) t2 (H6 b u))))))))) H12)))))))) H7))))))) H3))))) H0))))))).
  79
  80 theorem pc3_gen_lift:
  81  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (h: nat).(\forall
  82 (d: nat).((pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2)) \to (\forall (e: C).((drop h d
  83 c e) \to (pc3 e t1 t2))))))))
  84 \def
  85  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  86 (d: nat).(\lambda (H: (pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2))).(\lambda (e:
  87 C).(\lambda (H0: (drop h d c e)).(let H1 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t:
  88 T).(pr3 c (lift h d t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (lift h d t2) t)) (pc3 e
  89 t1 t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (lift h d t1) x)).(\lambda (H3:
  90 (pr3 c (lift h d t2) x)).(let H4 \def (pr3_gen_lift c t2 x h d H3 e H0) in
  91 (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(pr3 e
  92 t2 t3)) (pc3 e t1 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (eq T x (lift h d
  93 x0))).(\lambda (H6: (pr3 e t2 x0)).(let H7 \def (pr3_gen_lift c t1 x h d H2 e
  94 H0) in (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3:
  95 T).(pr3 e t1 t3)) (pc3 e t1 t2) (\lambda (x1: T).(\lambda (H8: (eq T x (lift
  96 h d x1))).(\lambda (H9: (pr3 e t1 x1)).(let H10 \def (eq_ind T x (\lambda (t:
  97 T).(eq T t (lift h d x0))) H5 (lift h d x1) H8) in (let H11 \def (eq_ind T x1
  98 (\lambda (t: T).(pr3 e t1 t)) H9 x0 (lift_inj x1 x0 h d H10)) in (pc3_pr3_t e
  99 t1 x0 H11 t2 H6)))))) H7))))) H4))))) H1))))))))).
 100
 101 theorem pc3_gen_not_abst:
 102  \forall (b: B).((not (eq B b Abst)) \to (\forall (c: C).(\forall (t1:
 103 T).(\forall (t2: T).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c (THead (Bind b)
 104 u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to (pc3 (CHead c (Bind b) u1) t1 (lift (S
 105 O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))))))))))
 106 \def
 107  \lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).((not (eq B b0 Abst)) \to (\forall
 108 (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u1: T).(\forall (u2:
 109 T).((pc3 c (THead (Bind b0) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to (pc3 (CHead
 110 c (Bind b0) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))))))))))) (\lambda
 111 (_: (not (eq B Abbr Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
 112 T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Bind Abbr)
 113 u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2))).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t:
 114 T).(pr3 c (THead (Bind Abbr) u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind
 115 Abst) u2 t2) t)) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind
 116 Abst) u2 t2))) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Abbr) u1 t1)
 117 x)).(\lambda (H3: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def
 118 (pr3_gen_abbr c u1 t1 x H2) in (or_ind (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda
 119 (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 120 T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr)
 121 u1) t1 t3)))) (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O x)) (pc3 (CHead
 122 c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (H5:
 123 (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3
 124 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_:
 125 T).(\lambda (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 t3))))).(ex3_2_ind T T
 126 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3 t3))))
 127 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 128 (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 t3))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1)
 129 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 130 T).(\lambda (H6: (eq T x (THead (Bind Abbr) x0 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u1
 131 x0)).(\lambda (_: (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 x1)).(let H9 \def
 132 (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 133 T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3
 134 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u:
 135 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1
 136 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3:
 137 T).(\lambda (H10: (eq T x (THead (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (_: (pr3 c u2
 138 x2)).(\lambda (_: ((\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0)
 139 u) t2 x3))))).(let H13 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind
 140 Abbr) x0 x1))) H6 (THead (Bind Abst) x2 x3) H10) in (let H14 \def (eq_ind T
 141 (THead (Bind Abst) x2 x3) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 142 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 143 (THead k _ _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with
 144 [(Bind b0) \Rightarrow (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr
 145 \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat
 146 _) \Rightarrow False])])) I (THead (Bind Abbr) x0 x1) H13) in (False_ind (pc3
 147 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2)))
 148 H14)))))))) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1
 149 (lift (S O) O x))).(let H6 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T
 150 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
 151 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 152 (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2
 153 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 154 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H7: (eq T x (THead (Bind
 155 Abst) x0 x1))).(\lambda (H8: (pr3 c u2 x0)).(\lambda (H9: ((\forall (b0:
 156 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x1))))).(let H10 \def
 157 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O
 158 t))) H5 (THead (Bind Abst) x0 x1) H7) in (pc3_pr3_t (CHead c (Bind Abbr) u1)
 159 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) x0 x1)) H10 (lift (S O) O (THead (Bind
 160 Abst) u2 t2)) (pr3_lift (CHead c (Bind Abbr) u1) c (S O) O (drop_drop (Bind
 161 Abbr) O c c (drop_refl c) u1) (THead (Bind Abst) u2 t2) (THead (Bind Abst) x0
 162 x1) (pr3_head_12 c u2 x0 H8 (Bind Abst) t2 x1 (H9 Abst x0)))))))))) H6)))
 163 H4))))) H1))))))))) (\lambda (H: (not (eq B Abst Abst))).(\lambda (c:
 164 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2:
 165 T).(\lambda (_: (pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2
 166 t2))).(let H1 \def (match (H (refl_equal B Abst)) in False return (\lambda
 167 (_: False).(pc3 (CHead c (Bind Abst) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst)
 168 u2 t2)))) with []) in H1)))))))) (\lambda (_: (not (eq B Void
 169 Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u1:
 170 T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Bind Void) u1 t1) (THead
 171 (Bind Abst) u2 t2))).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c
 172 (THead (Bind Void) u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u2
 173 t2) t)) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 174 t2))) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Void) u1 t1)
 175 x)).(\lambda (H3: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def
 176 (pr3_gen_void c u1 t1 x H2) in (or_ind (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda
 177 (t3: T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 178 T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall
 179 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3)))))) (pr3 (CHead c (Bind Void) u1)
 180 t1 (lift (S O) O x)) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead
 181 (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (H5: (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 182 T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3
 183 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u:
 184 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3))))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u3:
 185 T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3:
 186 T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall
 187 (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3))))) (pc3 (CHead c
 188 (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x0:
 189 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (eq T x (THead (Bind Void) x0
 190 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u1 x0)).(\lambda (_: ((\forall (b0: B).(\forall (u:
 191 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 x1))))).(let H9 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x
 192 H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind
 193 Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_:
 194 T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0)
 195 u) t2 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind
 196 Abst) u2 t2))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x
 197 (THead (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (_: (pr3 c u2 x2)).(\lambda (_:
 198 ((\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x3))))).(let
 199 H13 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind Void) x0 x1))) H6
 200 (THead (Bind Abst) x2 x3) H10) in (let H14 \def (eq_ind T (THead (Bind Abst)
 201 x2 x3) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 202 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _)
 203 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b0)
 204 \Rightarrow (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr
 205 \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat
 206 _) \Rightarrow False])])) I (THead (Bind Void) x0 x1) H13) in (False_ind (pc3
 207 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2)))
 208 H14)))))))) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (pr3 (CHead c (Bind Void) u1) t1
 209 (lift (S O) O x))).(let H6 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T
 210 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
 211 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 212 (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2
 213 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 214 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H7: (eq T x (THead (Bind
 215 Abst) x0 x1))).(\lambda (H8: (pr3 c u2 x0)).(\lambda (H9: ((\forall (b0:
 216 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x1))))).(let H10 \def
 217 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O
 218 t))) H5 (THead (Bind Abst) x0 x1) H7) in (pc3_pr3_t (CHead c (Bind Void) u1)
 219 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) x0 x1)) H10 (lift (S O) O (THead (Bind
 220 Abst) u2 t2)) (pr3_lift (CHead c (Bind Void) u1) c (S O) O (drop_drop (Bind
 221 Void) O c c (drop_refl c) u1) (THead (Bind Abst) u2 t2) (THead (Bind Abst) x0
 222 x1) (pr3_head_12 c u2 x0 H8 (Bind Abst) t2 x1 (H9 Abst x0)))))))))) H6)))
 223 H4))))) H1))))))))) b).
 224
 225 theorem pc3_gen_lift_abst:
 226  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall
 227 (h: nat).(\forall (d: nat).((pc3 c (lift h d t) (THead (Bind Abst) u2 t2))
 228 \to (\forall (e: C).((drop h d c e) \to (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda
 229 (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_:
 230 T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b:
 231 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d)
 232 t1)))))))))))))))
 233 \def
 234  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 235 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (pc3 c (lift h d t) (THead (Bind
 236 Abst) u2 t2))).(\lambda (e: C).(\lambda (H0: (drop h d c e)).(let H1 \def H
 237 in (ex2_ind T (\lambda (t0: T).(pr3 c (lift h d t) t0)) (\lambda (t0: T).(pr3
 238 c (THead (Bind Abst) u2 t2) t0)) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1:
 239 T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_:
 240 T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b:
 241 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1)))))))
 242 (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (lift h d t) x)).(\lambda (H3: (pr3 c
 243 (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def (pr3_gen_lift c t x h d H2 e H0)
 244 in (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(pr3
 245 e t t3)) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind
 246 Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1))))
 247 (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
 248 c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1))))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (eq T
 249 x (lift h d x0))).(\lambda (H6: (pr3 e t x0)).(let H7 \def (pr3_gen_abst c u2
 250 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead
 251 (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3)))
 252 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
 253 c (Bind b) u) t2 t3))))) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e
 254 t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2
 255 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall
 256 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1))))))) (\lambda (x1:
 257 T).(\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x (THead (Bind Abst) x1
 258 x2))).(\lambda (H9: (pr3 c u2 x1)).(\lambda (H10: ((\forall (b: B).(\forall
 259 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 x2))))).(let H11 \def (eq_ind T x
 260 (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d x0))) H5 (THead (Bind Abst) x1 x2) H8) in
 261 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x0 (THead (Bind Abst) y
 262 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T x1 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 263 T).(\lambda (z: T).(eq T x2 (lift h (S d) z)))) (ex3_2 T T (\lambda (u1:
 264 T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1:
 265 T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1:
 266 T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d)
 267 t1))))))) (\lambda (x3: T).(\lambda (x4: T).(\lambda (H12: (eq T x0 (THead
 268 (Bind Abst) x3 x4))).(\lambda (H13: (eq T x1 (lift h d x3))).(\lambda (H14:
 269 (eq T x2 (lift h (S d) x4))).(let H15 \def (eq_ind T x2 (\lambda (t0:
 270 T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 t0)))) H10
 271 (lift h (S d) x4) H14) in (let H16 \def (eq_ind T x1 (\lambda (t0: T).(pr3 c
 272 u2 t0)) H9 (lift h d x3) H13) in (let H17 \def (eq_ind T x0 (\lambda (t0:
 273 T).(pr3 e t t0)) H6 (THead (Bind Abst) x3 x4) H12) in (ex3_2_intro T T
 274 (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1))))
 275 (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_:
 276 T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u)
 277 t2 (lift h (S d) t1)))))) x3 x4 H17 H16 H15))))))))) (lift_gen_bind Abst x1
 278 x2 x0 h d H11)))))))) H7))))) H4))))) H1)))))))))).
 279
 280 theorem pc3_gen_sort_abst:
 281  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (n: nat).((pc3 c
 282 (TSort n) (THead (Bind Abst) u t)) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 283 \def
 284  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (n: nat).(\lambda
 285 (H: (pc3 c (TSort n) (THead (Bind Abst) u t))).(\lambda (P: Prop).(let H0
 286 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t0: T).(pr3 c (TSort n) t0)) (\lambda (t0:
 287 T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u t) t0)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c
 288 (TSort n) x)).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Abst) u t) x)).(let H3 \def
 289 (pr3_gen_abst c u t x H2) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 290 T).(eq T x (THead (Bind Abst) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr3
 291 c u u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(\forall (b: B).(\forall (u0:
 292 T).(pr3 (CHead c (Bind b) u0) t t2))))) P (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 293 T).(\lambda (H4: (eq T x (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u
 294 x0)).(\lambda (_: ((\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pr3 (CHead c (Bind b)
 295 u0) t x1))))).(let H7 \def (eq_ind T x (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TSort n)))
 296 (pr3_gen_sort c x n H1) (THead (Bind Abst) x0 x1) H4) in (let H8 \def (eq_ind
 297 T (THead (Bind Abst) x0 x1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 298 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 299 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TSort n) H7) in (False_ind P
 300 H8)))))))) H3))))) H0))))))).
 301