matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props".
  18
  19 include "tlt/defs.ma".
  20
  21 theorem wadd_le:
  22  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  23 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((le v w) \to
  24 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  25 \def
  26  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  27 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  28 nat).(\lambda (H0: (le v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  29 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) H0 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le
  30 (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) n))))))).
  31
  32 theorem wadd_lt:
  33  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  34 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((lt v w) \to
  35 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  36 \def
  37  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  38 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  39 nat).(\lambda (H0: (lt v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  40 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) (le_S_n v w (le_S (S v) w H0))
  41 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0)))
  42 n))))))).
  43
  44 theorem wadd_O:
  45  \forall (n: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n) O)
  46 \def
  47  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_:
  48 nat).O) O n0) O)) (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (eq nat
  49 (wadd (\lambda (_: nat).O) O n0) O)).(refl_equal nat O))) n).
  50
  51 theorem weight_le:
  52  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  53 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t)
  54 (weight_map g t)))))
  55 \def
  56  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (f: ((nat \to
  57 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  58 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
  59 (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (_: ((\forall
  60 (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(le_n (weight_map g (TSort n))))))) (\lambda
  61 (n: nat).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda
  62 (H: ((\forall (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(H n))))) (\lambda (k:
  63 K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to
  64 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  65 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1:
  66 T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  67 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))
  68 \to (\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  69 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f (THead k0 t0 t1))
  70 (weight_map g (THead k0 t0 t1))))))))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0:
  71 B).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  72 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
  73 (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1: T).(((\forall (f: ((nat \to
  74 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  75 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f: ((nat \to
  76 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  77 \to (le (match b0 with [Abbr \Rightarrow (S (plus (weight_map f t0)
  78 (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus
  79 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus
  80 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1)))]) (match b0 with [Abbr
  81 \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g
  82 t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g
  83 O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O)
  84 t1)))])))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to
  85 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  86 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
  87 (H0: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  88 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g
  89 t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
  90 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(le_n_S (plus
  91 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1)) (plus
  92 (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1))
  93 (plus_le_compat (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f (S
  94 (weight_map f t0))) t1) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1) (H f g
  95 H1) (H0 (wadd f (S (weight_map f t0))) (wadd g (S (weight_map g t0)))
  96 (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 (S (weight_map f t0)) (S (weight_map g t0))
  97 (le_n_S (weight_map f t0) (weight_map g t0) (H f g H1)) n))))))))))))
  98 (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g:
  99 ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f
 100 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f:
 101 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
 102 (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 103 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 104 (f n) (g n))))).(le_S_n (S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O)
 105 t1))) (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1))) (le_n_S (S
 106 (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) (S (plus (weight_map g
 107 t0) (weight_map (wadd g O) t1))) (le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map
 108 (wadd f O) t1)) (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1))
 109 (plus_le_compat (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O)
 110 t1) (weight_map (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda
 111 (n: nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))))) (\lambda (t0:
 112 T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 113 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
 114 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat
 115 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g
 116 n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 117 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 118 (f n) (g n))))).(le_S_n (S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O)
 119 t1))) (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1))) (le_n_S (S
 120 (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) (S (plus (weight_map g
 121 t0) (weight_map (wadd g O) t1))) (le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map
 122 (wadd f O) t1)) (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1))
 123 (plus_le_compat (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O)
 124 t1) (weight_map (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda
 125 (n: nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))))) b)) (\lambda (_:
 126 F).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f0: ((nat \to nat))).(\forall (g:
 127 ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n)))) \to (le (weight_map
 128 f0 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f0:
 129 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n)
 130 (g n)))) \to (le (weight_map f0 t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f0:
 131 ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n:
 132 nat).(le (f0 n) (g n))))).(lt_le_S (plus (weight_map f0 t0) (weight_map f0
 133 t1)) (S (plus (weight_map g t0) (weight_map g t1))) (le_lt_n_Sm (plus
 134 (weight_map f0 t0) (weight_map f0 t1)) (plus (weight_map g t0) (weight_map g
 135 t1)) (plus_le_compat (weight_map f0 t0) (weight_map g t0) (weight_map f0 t1)
 136 (weight_map g t1) (H f0 g H1) (H0 f0 g H1)))))))))))) k)) t).
 137
 138 theorem weight_eq:
 139  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 140 nat))).(((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n)))) \to (eq nat (weight_map f
 141 t) (weight_map g t)))))
 142 \def
 143  \lambda (t: T).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 144 nat))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n))))).(le_antisym
 145 (weight_map f t) (weight_map g t) (weight_le t f g (\lambda (n:
 146 nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0: nat).(le n0 (g n))) (le_n (g n)) (f n)
 147 (H n)))) (weight_le t g f (\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0:
 148 nat).(le (g n) n0)) (le_n (g n)) (f n) (H n)))))))).
 149
 150 theorem weight_add_O:
 151  \forall (t: T).(eq nat (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 152 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 153 \def
 154  \lambda (t: T).(weight_eq t (wadd (\lambda (_: nat).O) O) (\lambda (_:
 155 nat).O) (\lambda (n: nat).(wadd_O n))).
 156
 157 theorem weight_add_S:
 158  \forall (t: T).(\forall (m: nat).(le (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O)
 159 O) t) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) t)))
 160 \def
 161  \lambda (t: T).(\lambda (m: nat).(weight_le t (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 162 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) (\lambda (n: nat).(le_S_n (wadd (\lambda
 163 (_: nat).O) O n) (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m) n) (le_n_S (wadd (\lambda
 164 (_: nat).O) O n) (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m) n) (wadd_le (\lambda (_:
 165 nat).O) (\lambda (_: nat).O) (\lambda (_: nat).(le_n O)) O (S m) (le_O_n (S
 166 m)) n)))))).
 167
 168 theorem tlt_trans:
 169  \forall (v: T).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((tlt u v) \to ((tlt v t) \to
 170 (tlt u t)))))
 171 \def
 172  \lambda (v: T).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (lt (weight u)
 173 (weight v))).(\lambda (H0: (lt (weight v) (weight t))).(lt_trans (weight u)
 174 (weight v) (weight t) H H0))))).
 175
 176 theorem tlt_head_sx:
 177  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt u (THead k u t))))
 178 \def
 179  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 180 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 181 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 182 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (match b0 with [Abbr
 183 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 184 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 185 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 186 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 187 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 188 (u: T).(\lambda (t: T).(le_S_n (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (S
 189 (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_:
 190 nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) (le_n_S (S (weight_map
 191 (\lambda (_: nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 192 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 193 u))) t))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map
 194 (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map
 195 (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 196 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 197 u))) t))))))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_S_n (S (weight_map (\lambda
 198 (_: nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 199 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))) (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_:
 200 nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 201 (\lambda (_: nat).O) O) t))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 202 (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_:
 203 nat).O) O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 204 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))))))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 205 T).(le_S_n (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (S (plus (weight_map
 206 (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))
 207 (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda
 208 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))) (le_n_S
 209 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 210 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda
 211 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))))))) b))
 212 (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_S_n (S (weight_map
 213 (\lambda (_: nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 214 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_:
 215 nat).O) u)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda
 216 (_: nat).O) t))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus
 217 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 218 (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 219 nat).O) t)))))))) k).
 220
 221 theorem tlt_head_dx:
 222  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt t (THead k u t))))
 223 \def
 224  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 225 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 226 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 227 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (match b0 with [Abbr
 228 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 229 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 230 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 231 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 232 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 233 (u: T).(\lambda (t: T).(lt_le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S
 234 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda (_:
 235 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 236 nat).O) u))) t))) (lt_n_Sn (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_n_S
 237 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 238 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 239 u))) t)) (le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (wadd
 240 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t) (plus
 241 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 242 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (eq_ind nat (weight_map (wadd
 243 (\lambda (_: nat).O) O) t) (\lambda (n: nat).(le n (weight_map (wadd (\lambda
 244 (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) (weight_add_S t
 245 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)
 246 (weight_add_O t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 247 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)))))))
 248 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map (\lambda (_:
 249 nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S (plus
 250 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_S_n (S (weight_map (\lambda (_:
 251 nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda
 252 (_: nat).O) t))) (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus
 253 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))
 254 (le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_:
 255 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map
 256 (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))))) (weight_map
 257 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t) (weight_add_O t)))) (\lambda (u: T).(\lambda
 258 (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (\lambda (n:
 259 nat).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S (plus (weight_map (\lambda
 260 (_: nat).O) u) n)))) (le_S_n (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus
 261 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))
 262 (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda
 263 (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (le_n_S (weight_map
 264 (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 265 (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 266 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))))) (weight_map (wadd (\lambda (_:
 267 nat).O) O) t) (weight_add_O t)))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u:
 268 T).(\lambda (t: T).(le_S_n (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus
 269 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))
 270 (le_n_S (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda
 271 (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (le_n_S (weight_map
 272 (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 273 (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 274 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))))))) k).
 275
 276 theorem tlt_wf__q_ind:
 277  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((T \to
 278 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t) n0) \to (P0
 279 t))))) P n))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 280 \def
 281  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 282 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 283 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t)
 284 n) \to (P t)))))).(\lambda (t: T).(H (weight t) t (refl_equal nat (weight
 285 t)))))).
 286
 287 theorem tlt_wf_ind:
 288  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((tlt v t)
 289 \to (P v)))) \to (P t)))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 290 \def
 291  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 292 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 293 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((lt (weight v)
 294 (weight t)) \to (P v)))) \to (P t))))).(\lambda (t: T).(tlt_wf__q_ind
 295 (\lambda (t0: T).(P t0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (t0:
 296 T).(P t0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
 297 \to (Q (\lambda (t0: T).(P t0)) m))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H1: (eq nat
 298 (weight t0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
 299 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (t1: T).((eq nat (weight t1) m) \to (P
 300 t1)))))) H0 (weight t0) H1) in (H t0 (\lambda (v: T).(\lambda (H3: (lt
 301 (weight v) (weight t0))).(H2 (weight v) H3 v (refl_equal nat (weight
 302 v))))))))))))) t)))).
 303