matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/Base/ext/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/Base/ext/arith".
  18
  19 include "ext/preamble.ma".
  20
  21 theorem nat_dec:
  22  \forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat n1 n2) ((eq nat n1 n2) \to
  23 (\forall (P: Prop).P))))
  24 \def
  25  \lambda (n1: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat
  26 n n2) ((eq nat n n2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n2:
  27 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or (eq nat O n) ((eq nat O n) \to (\forall
  28 (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat O O) ((eq nat O O) \to (\forall (P:
  29 Prop).P)) (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (eq nat O n)
  30 ((eq nat O n) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq nat O (S n)) ((eq
  31 nat O (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0: (eq nat O (S
  32 n))).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
  33 ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _)
  34 \Rightarrow False])) I (S n) H0) in (False_ind P H1))))))) n2)) (\lambda (n:
  35 nat).(\lambda (H: ((\forall (n2: nat).(or (eq nat n n2) ((eq nat n n2) \to
  36 (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (n2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or
  37 (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror
  38 (eq nat (S n) O) ((eq nat (S n) O) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0:
  39 (eq nat (S n) O)).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda
  40 (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
  41 False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind P H1))))) (\lambda
  42 (n0: nat).(\lambda (H0: (or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall
  43 (P: Prop).P)))).(or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  44 Prop).P)) (or (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to (\forall (P:
  45 Prop).P))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0
  46 (\lambda (n0: nat).(or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall (P:
  47 Prop).P)))) H0 n H1) in (eq_ind nat n (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) (S
  48 n3)) ((eq nat (S n) (S n3)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat
  49 (S n) (S n)) ((eq nat (S n) (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal nat
  50 (S n))) n0 H1))) (\lambda (H1: (((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  51 Prop).P)))).(or_intror (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to
  52 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H2: (eq nat (S n) (S n0))).(\lambda (P:
  53 Prop).(let H3 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e in nat return
  54 (\lambda (_: nat).nat) with [O \Rightarrow n | (S n) \Rightarrow n])) (S n)
  55 (S n0) H2) in (let H4 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n0: nat).((eq nat n n0)
  56 \to (\forall (P: Prop).P))) H1 n H3) in (let H5 \def (eq_ind_r nat n0
  57 (\lambda (n0: nat).(or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall (P:
  58 Prop).P)))) H0 n H3) in (H4 (refl_equal nat n) P)))))))) (H n0)))) n2)))) n1).
  59
  60 theorem simpl_plus_r:
  61  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus m n)
  62 (plus p n)) \to (eq nat m p))))
  63 \def
  64  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (eq nat
  65 (plus m n) (plus p n))).(plus_reg_l n m p (eq_ind_r nat (plus m n) (\lambda
  66 (n0: nat).(eq nat n0 (plus n p))) (eq_ind_r nat (plus p n) (\lambda (n0:
  67 nat).(eq nat n0 (plus n p))) (sym_eq nat (plus n p) (plus p n) (plus_comm n
  68 p)) (plus m n) H) (plus n m) (plus_comm n m)))))).
  69
  70 theorem minus_plus_r:
  71  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(eq nat (minus (plus m n) n) m))
  72 \def
  73  \lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (plus n m) (\lambda (n0:
  74 nat).(eq nat (minus n0 n) m)) (minus_plus n m) (plus m n) (plus_comm m n))).
  75
  76 theorem plus_permute_2_in_3:
  77  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).(eq nat (plus (plus x
  78 y) z) (plus (plus x z) y))))
  79 \def
  80  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(eq_ind_r nat (plus x
  81 (plus y z)) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y))) (eq_ind_r nat
  82 (plus z y) (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x n) (plus (plus x z) y))) (eq_ind
  83 nat (plus (plus x z) y) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y)))
  84 (refl_equal nat (plus (plus x z) y)) (plus x (plus z y)) (plus_assoc_reverse
  85 x z y)) (plus y z) (plus_comm y z)) (plus (plus x y) z) (plus_assoc_reverse x
  86 y z)))).
  87
  88 theorem plus_permute_2_in_3_assoc:
  89  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(eq nat (plus (plus n
  90 h) k) (plus n (plus k h)))))
  91 \def
  92  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind_r nat (plus
  93 (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (plus n (plus k h)))) (eq_ind_r
  94 nat (plus (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat (plus (plus n k) h) n0))
  95 (refl_equal nat (plus (plus n k) h)) (plus n (plus k h)) (plus_assoc n k h))
  96 (plus (plus n h) k) (plus_permute_2_in_3 n h k)))).
  97
  98 theorem plus_O:
  99  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus x y) O) \to (land (eq nat
 100 x O) (eq nat y O))))
 101 \def
 102  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus
 103 n y) O) \to (land (eq nat n O) (eq nat y O))))) (\lambda (y: nat).(\lambda
 104 (H: (eq nat (plus O y) O)).(conj (eq nat O O) (eq nat y O) (refl_equal nat O)
 105 H))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (y: nat).((eq nat (plus n y) O)
 106 \to (land (eq nat n O) (eq nat y O)))))).(\lambda (y: nat).(\lambda (H0: (eq
 107 nat (plus (S n) y) O)).(let H1 \def (match H0 in eq return (\lambda (n0:
 108 nat).(\lambda (_: (eq ? ? n0)).((eq nat n0 O) \to (land (eq nat (S n) O) (eq
 109 nat y O))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (plus (S n)
 110 y) O)).(let H2 \def (eq_ind nat (plus (S n) y) (\lambda (e: nat).(match e in
 111 nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 112 \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (land (eq nat (S n) O) (eq nat y
 113 O)) H2)))]) in (H1 (refl_equal nat O))))))) x).
 114
 115 theorem minus_Sx_SO:
 116  \forall (x: nat).(eq nat (minus (S x) (S O)) x)
 117 \def
 118  \lambda (x: nat).(eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat n x)) (refl_equal
 119 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)).
 120
 121 theorem eq_nat_dec:
 122  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq nat i j)) (eq nat i j)))
 123 \def
 124  \lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq
 125 nat n j)) (eq nat n j)))) (\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or
 126 (not (eq nat O n)) (eq nat O n))) (or_intror (not (eq nat O O)) (eq nat O O)
 127 (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (not (eq nat O n)) (eq
 128 nat O n))).(or_introl (not (eq nat O (S n))) (eq nat O (S n)) (O_S n)))) j))
 129 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (j: nat).(or (not (eq nat n j)) (eq
 130 nat n j))))).(\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or (not (eq nat
 131 (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))) (or_introl (not (eq nat (S n) O)) (eq nat (S
 132 n) O) (sym_not_eq nat O (S n) (O_S n))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (or
 133 (not (eq nat (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))).(or_ind (not (eq nat n n0)) (eq
 134 nat n n0) (or (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0))) (\lambda
 135 (H1: (not (eq nat n n0))).(or_introl (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S
 136 n) (S n0)) (not_eq_S n n0 H1))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(or_intror (not
 137 (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0)) (f_equal nat nat S n n0 H1))) (H
 138 n0)))) j)))) i).
 139
 140 theorem neq_eq_e:
 141  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(\forall (P: Prop).((((not (eq nat i j))
 142 \to P)) \to ((((eq nat i j) \to P)) \to P))))
 143 \def
 144  \lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((not
 145 (eq nat i j)) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat i j) \to P))).(let o \def
 146 (eq_nat_dec i j) in (or_ind (not (eq nat i j)) (eq nat i j) P H H0 o)))))).
 147
 148 theorem le_false:
 149  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(\forall (P: Prop).((le m n) \to ((le (S
 150 n) m) \to P))))
 151 \def
 152  \lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).(\forall (P:
 153 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (P:
 154 Prop).(\lambda (_: (le O n)).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(let H1 \def (match
 155 H0 in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O) \to
 156 P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S n) O)).(let H2 \def
 157 (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_:
 158 nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in
 159 (False_ind P H2))) | (le_S m H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m)
 160 O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e: nat).(match e in nat return
 161 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True]))
 162 I O H2) in (False_ind ((le (S n) m) \to P) H3)) H1))]) in (H1 (refl_equal nat
 163 O))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (n0: nat).(\forall (P:
 164 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P)))))).(\lambda (n0: nat).(nat_ind
 165 (\lambda (n1: nat).(\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n))
 166 \to P)))) (\lambda (P: Prop).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(\lambda (_: (le (S
 167 O) (S n))).(let H2 \def (match H0 in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 168 (le ? n)).((eq nat n O) \to P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat
 169 (S n) O)).(let H3 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e in nat
 170 return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 171 True])) I O H2) in (False_ind P H3))) | (le_S m H2) \Rightarrow (\lambda (H3:
 172 (eq nat (S m) O)).((let H4 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e: nat).(match e
 173 in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 174 \Rightarrow True])) I O H3) in (False_ind ((le (S n) m) \to P) H4)) H2))]) in
 175 (H2 (refl_equal nat O)))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: ((\forall (P:
 176 Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n)) \to P))))).(\lambda (P:
 177 Prop).(\lambda (H1: (le (S n) (S n1))).(\lambda (H2: (le (S (S n1)) (S
 178 n))).(H n1 P (le_S_n n n1 H1) (le_S_n (S n1) n H2))))))) n0)))) m).
 179
 180 theorem le_Sx_x:
 181  \forall (x: nat).((le (S x) x) \to (\forall (P: Prop).P))
 182 \def
 183  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) x)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 184 le_Sn_n in (False_ind P (H0 x H))))).
 185
 186 theorem minus_le:
 187  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(le (minus x y) x))
 188 \def
 189  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).(le (minus n
 190 y) n))) (\lambda (_: nat).(le_n O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall
 191 (y: nat).(le (minus n y) n)))).(\lambda (y: nat).(match y in nat return
 192 (\lambda (n0: nat).(le (minus (S n) n0) (S n))) with [O \Rightarrow (le_n (S
 193 n)) | (S n0) \Rightarrow (le_S (minus n n0) n (H n0))])))) x).
 194
 195 theorem le_plus_minus_sym:
 196  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat m (plus (minus m n)
 197 n))))
 198 \def
 199  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(eq_ind_r nat
 200 (plus n (minus m n)) (\lambda (n0: nat).(eq nat m n0)) (le_plus_minus n m H)
 201 (plus (minus m n) n) (plus_comm (minus m n) n)))).
 202
 203 theorem le_minus_minus:
 204  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (\forall (z: nat).((le y z)
 205 \to (le (minus y x) (minus z x))))))
 206 \def
 207  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (z:
 208 nat).(\lambda (H0: (le y z)).(plus_le_reg_l x (minus y x) (minus z x)
 209 (eq_ind_r nat y (\lambda (n: nat).(le n (plus x (minus z x)))) (eq_ind_r nat
 210 z (\lambda (n: nat).(le y n)) H0 (plus x (minus z x)) (le_plus_minus_r x z
 211 (le_trans x y z H H0))) (plus x (minus y x)) (le_plus_minus_r x y H))))))).
 212
 213 theorem le_minus_plus:
 214  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).((le z x) \to (\forall (y: nat).(eq nat
 215 (minus (plus x y) z) (plus (minus x z) y)))))
 216 \def
 217  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((le n x) \to
 218 (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) n) (plus (minus x n) y))))))
 219 (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le O x)).(let H0 \def (match H in le return
 220 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x) \to (\forall (y:
 221 nat).(eq nat (minus (plus x y) O) (plus (minus x O) y)))))) with [le_n
 222 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat O x)).(eq_ind nat O (\lambda (n:
 223 nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))
 224 (\lambda (y: nat).(sym_eq nat (plus (minus O O) y) (minus (plus O y) O)
 225 (minus_n_O (plus O y)))) x H0)) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq
 226 nat (S m) x)).(eq_ind nat (S m) (\lambda (n: nat).((le O m) \to (\forall (y:
 227 nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))) (\lambda (_: (le O
 228 m)).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (plus (minus (S m) O) y)))) x H1 H0))])
 229 in (H0 (refl_equal nat x))))) (\lambda (z0: nat).(\lambda (H: ((\forall (x:
 230 nat).((le z0 x) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) z0) (plus
 231 (minus x z0) y))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((le (S
 232 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 233 (S z0)) y))))) (\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (y: nat).(let H1 \def
 234 (match H0 in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 235 \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))))) with
 236 [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S z0) O)).(let H2 \def (eq_ind nat
 237 (S z0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with
 238 [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (eq
 239 nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y)) H2))) | (le_S m H1)
 240 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m) O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m)
 241 (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 242 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H2) in (False_ind ((le (S
 243 z0) m) \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))) H3))
 244 H1))]) in (H1 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S
 245 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 246 (S z0)) y)))))).(\lambda (H1: (le (S z0) (S n))).(\lambda (y: nat).(H n
 247 (le_S_n z0 n H1) y))))) x)))) z).
 248
 249 theorem le_minus:
 250  \forall (x: nat).(\forall (z: nat).(\forall (y: nat).((le (plus x y) z) \to
 251 (le x (minus z y)))))
 252 \def
 253  \lambda (x: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (plus
 254 x y) z)).(eq_ind nat (minus (plus x y) y) (\lambda (n: nat).(le n (minus z
 255 y))) (le_minus_minus y (plus x y) (le_plus_r x y) z H) x (minus_plus_r x
 256 y))))).
 257
 258 theorem le_trans_plus_r:
 259  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).((le (plus x y) z) \to
 260 (le y z))))
 261 \def
 262  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (H: (le (plus
 263 x y) z)).(le_trans y (plus x y) z (le_plus_r x y) H)))).
 264
 265 theorem le_gen_S:
 266  \forall (m: nat).(\forall (x: nat).((le (S m) x) \to (ex2 nat (\lambda (n:
 267 nat).(eq nat x (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)))))
 268 \def
 269  \lambda (m: nat).(\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S m) x)).(let H0 \def
 270 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x)
 271 \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat x (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m
 272 n0)))))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S m) x)).(eq_ind nat
 273 (S m) (\lambda (n: nat).(ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat n (S n0)))
 274 (\lambda (n0: nat).(le m n0)))) (ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S
 275 m) (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)) m (refl_equal nat (S m)) (le_n m)) x
 276 H0)) | (le_S m0 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S m0) x)).(eq_ind nat
 277 (S m0) (\lambda (n: nat).((le (S m) m0) \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq
 278 nat n (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m n0))))) (\lambda (H2: (le (S m)
 279 m0)).(ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S m0) (S n))) (\lambda (n:
 280 nat).(le m n)) m0 (refl_equal nat (S m0)) (le_S_n m m0 (le_S (S m) m0 H2))))
 281 x H1 H0))]) in (H0 (refl_equal nat x))))).
 282
 283 theorem lt_x_plus_x_Sy:
 284  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(lt x (plus x (S y))))
 285 \def
 286  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(eq_ind_r nat (plus (S y) x) (\lambda (n:
 287 nat).(lt x n)) (le_S_n (S x) (S (plus y x)) (le_n_S (S x) (S (plus y x))
 288 (le_n_S x (plus y x) (le_plus_r y x)))) (plus x (S y)) (plus_comm x (S y)))).
 289
 290 theorem simpl_lt_plus_r:
 291  \forall (p: nat).(\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt (plus n p) (plus m
 292 p)) \to (lt n m))))
 293 \def
 294  \lambda (p: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt (plus
 295 n p) (plus m p))).(plus_lt_reg_l n m p (let H0 \def (eq_ind nat (plus n p)
 296 (\lambda (n: nat).(lt n (plus m p))) H (plus p n) (plus_comm n p)) in (let H1
 297 \def (eq_ind nat (plus m p) (\lambda (n0: nat).(lt (plus p n) n0)) H0 (plus p
 298 m) (plus_comm m p)) in H1)))))).
 299
 300 theorem minus_x_Sy:
 301  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt y x) \to (eq nat (minus x y) (S
 302 (minus x (S y))))))
 303 \def
 304  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((lt y n) \to
 305 (eq nat (minus n y) (S (minus n (S y))))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H:
 306 (lt y O)).(let H0 \def (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 307 (le ? n)).((eq nat n O) \to (eq nat (minus O y) (S (minus O (S y))))))) with
 308 [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S y) O)).(let H1 \def (eq_ind nat (S
 309 y) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 310 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind (eq nat
 311 (minus O y) (S (minus O (S y)))) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda
 312 (H1: (eq nat (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e:
 313 nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False
 314 | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind ((le (S y) m) \to (eq nat
 315 (minus O y) (S (minus O (S y))))) H2)) H0))]) in (H0 (refl_equal nat O)))))
 316 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (y: nat).((lt y n) \to (eq nat
 317 (minus n y) (S (minus n (S y)))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 318 nat).((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S n) (S n0))))))
 319 (\lambda (_: (lt O (S n))).(eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(eq nat (S n) (S
 320 n0))) (refl_equal nat (S n)) (minus n O) (minus_n_O n))) (\lambda (n0:
 321 nat).(\lambda (_: (((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S
 322 n) (S n0))))))).(\lambda (H1: (lt (S n0) (S n))).(let H2 \def (le_S_n (S n0)
 323 n H1) in (H n0 H2))))) y)))) x).
 324
 325 theorem lt_plus_minus:
 326  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus x (minus
 327 y (S x)))))))
 328 \def
 329  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_plus_minus (S
 330 x) y H))).
 331
 332 theorem lt_plus_minus_r:
 333  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus (minus y
 334 (S x)) x)))))
 335 \def
 336  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(eq_ind_r nat
 337 (plus x (minus y (S x))) (\lambda (n: nat).(eq nat y (S n))) (lt_plus_minus x
 338 y H) (plus (minus y (S x)) x) (plus_comm (minus y (S x)) x)))).
 339
 340 theorem minus_x_SO:
 341  \forall (x: nat).((lt O x) \to (eq nat x (S (minus x (S O)))))
 342 \def
 343  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt O x)).(eq_ind nat (minus x O) (\lambda (n:
 344 nat).(eq nat x n)) (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) (refl_equal
 345 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)) (S (minus x (S O))) (minus_x_Sy x O H))).
 346
 347 theorem le_x_pred_y:
 348  \forall (y: nat).(\forall (x: nat).((lt x y) \to (le x (pred y))))
 349 \def
 350  \lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((lt x n) \to
 351 (le x (pred n))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt x O)).(let H0 \def
 352 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 353 \to (le x O)))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S x) O)).(let
 354 H1 \def (eq_ind nat (S x) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda
 355 (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0)
 356 in (False_ind (le x O) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat
 357 (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e: nat).(match e in nat
 358 return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 359 True])) I O H1) in (False_ind ((le (S x) m) \to (le x O)) H2)) H0))]) in (H0
 360 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (x: nat).((lt
 361 x n) \to (le x (pred n)))))).(\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (lt x (S
 362 n))).(le_S_n x n H0))))) y).
 363
 364 theorem lt_le_minus:
 365  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (le x (minus y (S O)))))
 366 \def
 367  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_minus x y (S
 368 O) (eq_ind_r nat (plus (S O) x) (\lambda (n: nat).(le n y)) H (plus x (S O))
 369 (plus_comm x (S O)))))).
 370
 371 theorem lt_le_e:
 372  \forall (n: nat).(\forall (d: nat).(\forall (P: Prop).((((lt n d) \to P))
 373 \to ((((le d n) \to P)) \to P))))
 374 \def
 375  \lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt n
 376 d) \to P))).(\lambda (H0: (((le d n) \to P))).(let H1 \def (le_or_lt d n) in
 377 (or_ind (le d n) (lt n d) P H0 H H1)))))).
 378
 379 theorem lt_eq_e:
 380  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 381 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((le x y) \to P)))))
 382 \def
 383  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 384 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (le x
 385 y)).(or_ind (lt x y) (eq nat x y) P H H0 (le_lt_or_eq x y H1))))))).
 386
 387 theorem lt_eq_gt_e:
 388  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 389 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((((lt y x) \to P)) \to P)))))
 390 \def
 391  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 392 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (((lt y x)
 393 \to P))).(lt_le_e x y P H (\lambda (H2: (le y x)).(lt_eq_e y x P H1 (\lambda
 394 (H3: (eq nat y x)).(H0 (sym_eq nat y x H3))) H2)))))))).
 395
 396 theorem lt_gen_xS:
 397  \forall (x: nat).(\forall (n: nat).((lt x (S n)) \to (or (eq nat x O) (ex2
 398 nat (\lambda (m: nat).(eq nat x (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n))))))
 399 \def
 400  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((lt n (S
 401 n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat n (S m)))
 402 (\lambda (m: nat).(lt m n0))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (lt O (S
 403 n))).(or_introl (eq nat O O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat O (S m)))
 404 (\lambda (m: nat).(lt m n))) (refl_equal nat O)))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 405 (_: ((\forall (n0: nat).((lt n (S n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda
 406 (m: nat).(eq nat n (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))))))).(\lambda (n0:
 407 nat).(\lambda (H0: (lt (S n) (S n0))).(or_intror (eq nat (S n) O) (ex2 nat
 408 (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))
 409 (ex_intro2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt
 410 m n0)) n (refl_equal nat (S n)) (le_S_n (S n) n0 H0))))))) x).
 411
 412 theorem le_lt_false:
 413  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to ((lt y x) \to (\forall (P:
 414 Prop).P))))
 415 \def
 416  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (H0: (lt
 417 y x)).(\lambda (P: Prop).(False_ind P (le_not_lt x y H H0)))))).
 418
 419 theorem lt_neq:
 420  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (not (eq nat x y))))
 421 \def
 422  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(\lambda (H0: (eq
 423 nat x y)).(let H1 \def (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(lt n y)) H y H0) in
 424 (lt_irrefl y H1))))).
 425
 426 theorem arith0:
 427  \forall (h2: nat).(\forall (d2: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d2 h2) n)
 428 \to (\forall (h1: nat).(le (plus d2 h1) (minus (plus n h1) h2))))))
 429 \def
 430  \lambda (h2: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le
 431 (plus d2 h2) n)).(\lambda (h1: nat).(eq_ind nat (minus (plus h2 (plus d2 h1))
 432 h2) (\lambda (n0: nat).(le n0 (minus (plus n h1) h2))) (le_minus_minus h2
 433 (plus h2 (plus d2 h1)) (le_plus_l h2 (plus d2 h1)) (plus n h1) (eq_ind_r nat
 434 (plus (plus h2 d2) h1) (\lambda (n0: nat).(le n0 (plus n h1))) (eq_ind_r nat
 435 (plus d2 h2) (\lambda (n0: nat).(le (plus n0 h1) (plus n h1))) (le_S_n (plus
 436 (plus d2 h2) h1) (plus n h1) (lt_le_S (plus (plus d2 h2) h1) (S (plus n h1))
 437 (le_lt_n_Sm (plus (plus d2 h2) h1) (plus n h1) (plus_le_compat (plus d2 h2) n
 438 h1 h1 H (le_n h1))))) (plus h2 d2) (plus_comm h2 d2)) (plus h2 (plus d2 h1))
 439 (plus_assoc h2 d2 h1))) (plus d2 h1) (minus_plus h2 (plus d2 h1))))))).
 440
 441 theorem O_minus:
 442  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (eq nat (minus x y) O)))
 443 \def
 444  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le n y) \to
 445 (eq nat (minus n y) O)))) (\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 446 y)).(refl_equal nat O))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H: ((\forall (y:
 447 nat).((le x0 y) \to (eq nat (minus x0 y) O))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind
 448 (\lambda (n: nat).((le (S x0) n) \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S
 449 x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0 l)]) O))) (\lambda (H0: (le (S x0)
 450 O)).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le x0
 451 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H1: (eq nat O (S
 452 x1))).(\lambda (_: (le x0 x1)).(let H3 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 453 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 454 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1) H1) in (False_ind (eq nat (S x0) O)
 455 H3))))) (le_gen_S x0 O H0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S x0) n)
 456 \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0
 457 l)]) O)))).(\lambda (H1: (le (S x0) (S n))).(H n (le_S_n x0 n H1))))) y))))
 458 x).
 459
 460 theorem minus_minus:
 461  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z x) \to ((le z y)
 462 \to ((eq nat (minus x z) (minus y z)) \to (eq nat x y))))))
 463 \def
 464  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y:
 465 nat).((le n x) \to ((le n y) \to ((eq nat (minus x n) (minus y n)) \to (eq
 466 nat x y))))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 467 x)).(\lambda (_: (le O y)).(\lambda (H1: (eq nat (minus x O) (minus y
 468 O))).(let H2 \def (eq_ind_r nat (minus x O) (\lambda (n: nat).(eq nat n
 469 (minus y O))) H1 x (minus_n_O x)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (minus y O)
 470 (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) H2 y (minus_n_O y)) in H3))))))) (\lambda
 471 (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z0 x) \to
 472 ((le z0 y) \to ((eq nat (minus x z0) (minus y z0)) \to (eq nat x
 473 y)))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le
 474 (S z0) n) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus n (S z0)) (minus y (S z0)))
 475 \to (eq nat n y)))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (S z0) O)).(\lambda
 476 (_: (le (S z0) y)).(\lambda (_: (eq nat (minus O (S z0)) (minus y (S
 477 z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le
 478 z0 n)) (eq nat O y) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H2: (eq nat O (S
 479 x0))).(\lambda (_: (le z0 x0)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 480 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 481 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x0) H2) in (False_ind (eq nat O y) H4)))))
 482 (le_gen_S z0 O H)))))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (_: ((\forall (y:
 483 nat).((le (S z0) x0) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus x0 (S z0)) (minus
 484 y (S z0))) \to (eq nat x0 y))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 485 nat).((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) n) \to ((eq nat (minus (S x0) (S
 486 z0)) (minus n (S z0))) \to (eq nat (S x0) n))))) (\lambda (_: (le (S z0) (S
 487 x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (_: (eq nat (minus (S x0) (S z0))
 488 (minus O (S z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda
 489 (n: nat).(le z0 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H2: (eq
 490 nat O (S x1))).(\lambda (_: (le z0 x1)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda
 491 (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
 492 True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1) H2) in (False_ind (eq nat (S x0)
 493 O) H4))))) (le_gen_S z0 O H0))))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (_: (((le (S
 494 z0) (S x0)) \to ((le (S z0) y0) \to ((eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus y0
 495 (S z0))) \to (eq nat (S x0) y0)))))).(\lambda (H: (le (S z0) (S
 496 x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) (S y0))).(\lambda (H1: (eq nat (minus (S x0)
 497 (S z0)) (minus (S y0) (S z0)))).(f_equal nat nat S x0 y0 (IH x0 y0 (le_S_n z0
 498 x0 H) (le_S_n z0 y0 H0) H1))))))) y)))) x)))) z).
 499
 500 theorem plus_plus:
 501  \forall (z: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1:
 502 nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z) \to ((le x2 z) \to ((eq nat (plus (minus z
 503 x1) y1) (plus (minus z x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2) (plus x2 y1)))))))))
 504 \def
 505  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 506 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 n) \to ((le x2 n) \to ((eq
 507 nat (plus (minus n x1) y1) (plus (minus n x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2)
 508 (plus x2 y1)))))))))) (\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (y1:
 509 nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le x1 O)).(\lambda (H0: (le x2
 510 O)).(\lambda (H1: (eq nat y1 y2)).(eq_ind nat y1 (\lambda (n: nat).(eq nat
 511 (plus x1 n) (plus x2 y1))) (let H_y \def (le_n_O_eq x2 H0) in (eq_ind nat O
 512 (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x1 y1) (plus n y1))) (let H_y0 \def
 513 (le_n_O_eq x1 H) in (eq_ind nat O (\lambda (n: nat).(eq nat (plus n y1) (plus
 514 O y1))) (refl_equal nat (plus O y1)) x1 H_y0)) x2 H_y)) y2 H1))))))))
 515 (\lambda (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 516 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z0) \to ((le x2 z0) \to
 517 ((eq nat (plus (minus z0 x1) y1) (plus (minus z0 x2) y2)) \to (eq nat (plus
 518 x1 y2) (plus x2 y1))))))))))).(\lambda (x1: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 519 nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le n (S z0))
 520 \to ((le x2 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) n) y1) (plus (minus (S
 521 z0) x2) y2)) \to (eq nat (plus n y2) (plus x2 y1))))))))) (\lambda (x2:
 522 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le O
 523 (S z0)) \to ((le n (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) O) y1) (plus
 524 (minus (S z0) n) y2)) \to (eq nat (plus O y2) (plus n y1)))))))) (\lambda
 525 (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (_: (le O
 526 (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (S (plus z0 y2)))).(let H_y
 527 \def (IH O O) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 528 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le O z0) \to ((le O z0) \to ((eq
 529 nat (plus n y1) (plus n y2)) \to (eq nat y2 y1))))))) H_y z0 (minus_n_O z0))
 530 in (H2 y1 y2 (le_O_n z0) (le_O_n z0) (H2 (plus z0 y2) (plus z0 y1) (le_O_n
 531 z0) (le_O_n z0) (f_equal nat nat (plus z0) (plus z0 y2) (plus z0 y1)
 532 (sym_equal nat (plus z0 y1) (plus z0 y2) (eq_add_S (plus z0 y1) (plus z0 y2)
 533 H1)))))))))))) (\lambda (x3: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall
 534 (y2: nat).((le O (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat (S (plus z0 y1))
 535 (plus (match x3 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow (minus z0 l)])
 536 y2)) \to (eq nat y2 (plus x3 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2:
 537 nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (H0: (le (S x3) (S z0))).(\lambda
 538 (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y2))).(let H_y \def (IH O
 539 x3 (S y1)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 540 nat).(\forall (y2: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (plus n (S
 541 y1)) (plus (minus z0 x3) y2)) \to (eq nat y2 (plus x3 (S y1)))))))) H_y z0
 542 (minus_n_O z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y1)) (\lambda (n:
 543 nat).(\forall (y2: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat n (plus
 544 (minus z0 x3) y2)) \to (eq nat y2 (plus x3 (S y1)))))))) H2 (S (plus z0 y1))
 545 (plus_n_Sm z0 y1)) in (let H4 \def (eq_ind_r nat (plus x3 (S y1)) (\lambda
 546 (n: nat).(\forall (y2: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (S (plus
 547 z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y2)) \to (eq nat y2 n)))))) H3 (S (plus x3 y1))
 548 (plus_n_Sm x3 y1)) in (H4 y2 (le_O_n z0) (le_S_n x3 z0 H0) H1))))))))))))
 549 x2)) (\lambda (x2: nat).(\lambda (_: ((\forall (x3: nat).(\forall (y1:
 550 nat).(\forall (y2: nat).((le x2 (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat
 551 (plus (minus (S z0) x2) y1) (plus (minus (S z0) x3) y2)) \to (eq nat (plus x2
 552 y2) (plus x3 y1)))))))))).(\lambda (x3: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 553 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le n (S
 554 z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) (S x2)) y1) (plus (minus (S z0) n) y2))
 555 \to (eq nat (plus (S x2) y2) (plus n y1)))))))) (\lambda (y1: nat).(\lambda
 556 (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S z0))).(\lambda (_: (le O (S
 557 z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2)))).(let
 558 H_y \def (IH x2 O y1 (S y2)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O)
 559 (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2)
 560 y1) (plus n (S y2))) \to (eq nat (plus x2 (S y2)) y1))))) H_y z0 (minus_n_O
 561 z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2
 562 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) n) \to (eq nat (plus
 563 x2 (S y2)) y1))))) H2 (S (plus z0 y2)) (plus_n_Sm z0 y2)) in (let H4 \def
 564 (eq_ind_r nat (plus x2 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0)
 565 \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2))) \to (eq nat n y1)))))
 566 H3 (S (plus x2 y2)) (plus_n_Sm x2 y2)) in (H4 (le_S_n x2 z0 H) (le_O_n z0)
 567 H1)))))))))) (\lambda (x4: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall
 568 (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le x4 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus
 569 z0 x2) y1) (plus (match x4 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow
 570 (minus z0 l)]) y2)) \to (eq nat (S (plus x2 y2)) (plus x4
 571 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S
 572 z0))).(\lambda (H0: (le (S x4) (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0
 573 x2) y1) (plus (minus z0 x4) y2))).(f_equal nat nat S (plus x2 y2) (plus x4
 574 y1) (IH x2 x4 y1 y2 (le_S_n x2 z0 H) (le_S_n x4 z0 H0) H1))))))))) x3))))
 575 x1)))) z).
 576