matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/T/dec.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/T/dec".
  18
  19 include "T/defs.ma".
  20
  21 theorem terms_props__bind_dec:
  22  \forall (b1: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to (\forall
  23 (P: Prop).P))))
  24 \def
  25  \lambda (b1: B).(B_ind (\lambda (b: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b b2) ((eq
  26 B b b2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b:
  27 B).(or (eq B Abbr b) ((eq B Abbr b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  28 (eq B Abbr Abbr) ((eq B Abbr Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B
  29 Abbr)) (or_intror (eq B Abbr Abst) ((eq B Abbr Abst) \to (\forall (P:
  30 Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  31 (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  32 with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow
  33 False])) I Abst H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B Abbr Void) ((eq B
  34 Abbr Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Void)).(\lambda
  35 (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  36 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False |
  37 Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P H0))))) b2)) (\lambda
  38 (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Abst b) ((eq B Abst b) \to (\forall
  39 (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Abst Abbr) ((eq B Abst Abbr) \to (\forall
  40 (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abst Abbr)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  41 (eq_ind B Abst (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  42 with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow
  43 False])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq B Abst Abst) ((eq B
  44 Abst Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B Abst)) (or_intror (eq B
  45 Abst Void) ((eq B Abst Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  46 Abst Void)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abst (\lambda (ee:
  47 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  48 Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P
  49 H0))))) b2)) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Void b) ((eq B
  50 Void b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Void Abbr) ((eq B Void
  51 Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Void Abbr)).(\lambda (P:
  52 Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  53 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow False |
  54 Void \Rightarrow True])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B
  55 Void Abst) ((eq B Void Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  56 Void Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee:
  57 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  58 Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow True])) I Abst H) in (False_ind P
  59 H0))))) (or_introl (eq B Void Void) ((eq B Void Void) \to (\forall (P:
  60 Prop).P)) (refl_equal B Void)) b2)) b1).
  61
  62 theorem terms_props__flat_dec:
  63  \forall (f1: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f1 f2) ((eq F f1 f2) \to (\forall
  64 (P: Prop).P))))
  65 \def
  66  \lambda (f1: F).(F_ind (\lambda (f: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f f2) ((eq
  67 F f f2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f:
  68 F).(or (eq F Appl f) ((eq F Appl f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  69 (eq F Appl Appl) ((eq F Appl Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F
  70 Appl)) (or_intror (eq F Appl Cast) ((eq F Appl Cast) \to (\forall (P:
  71 Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Appl Cast)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  72 (eq_ind F Appl (\lambda (ee: F).(match ee in F return (\lambda (_: F).Prop)
  73 with [Appl \Rightarrow True | Cast \Rightarrow False])) I Cast H) in
  74 (False_ind P H0))))) f2)) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f: F).(or (eq F
  75 Cast f) ((eq F Cast f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq F Cast
  76 Appl) ((eq F Cast Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Cast
  77 Appl)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind F Cast (\lambda (ee: F).(match
  78 ee in F return (\lambda (_: F).Prop) with [Appl \Rightarrow False | Cast
  79 \Rightarrow True])) I Appl H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq F Cast
  80 Cast) ((eq F Cast Cast) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F Cast)) f2))
  81 f1).
  82
  83 theorem terms_props__kind_dec:
  84  \forall (k1: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k1 k2) ((eq K k1 k2) \to (\forall
  85 (P: Prop).P))))
  86 \def
  87  \lambda (k1: K).(K_ind (\lambda (k: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k k2) ((eq
  88 K k k2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (k2: K).(K_ind
  89 (\lambda (k: K).(or (eq K (Bind b) k) ((eq K (Bind b) k) \to (\forall (P:
  90 Prop).P)))) (\lambda (b0: B).(let H_x \def (terms_props__bind_dec b b0) in
  91 (let H \def H_x in (or_ind (eq B b b0) ((eq B b b0) \to (\forall (P:
  92 Prop).P)) (or (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq K (Bind b) (Bind b0)) \to
  93 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq B b b0)).(eq_ind B b (\lambda (b1:
  94 B).(or (eq K (Bind b) (Bind b1)) ((eq K (Bind b) (Bind b1)) \to (\forall (P:
  95 Prop).P)))) (or_introl (eq K (Bind b) (Bind b)) ((eq K (Bind b) (Bind b)) \to
  96 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Bind b))) b0 H0)) (\lambda (H0: (((eq B
  97 b b0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq
  98 K (Bind b) (Bind b0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq K (Bind b)
  99 (Bind b0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal K B (\lambda (e:
 100 K).(match e in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b) \Rightarrow b |
 101 (Flat _) \Rightarrow b])) (Bind b) (Bind b0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r B
 102 b0 (\lambda (b0: B).((eq B b b0) \to (\forall (P: Prop).P))) H0 b H2) in (H3
 103 (refl_equal B b) P))))))) H)))) (\lambda (f: F).(or_intror (eq K (Bind b)
 104 (Flat f)) ((eq K (Bind b) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H:
 105 (eq K (Bind b) (Flat f))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Bind b)
 106 (\lambda (ee: K).(match ee in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 107 \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])) I (Flat f) H) in (False_ind
 108 P H0)))))) k2))) (\lambda (f: F).(\lambda (k2: K).(K_ind (\lambda (k: K).(or
 109 (eq K (Flat f) k) ((eq K (Flat f) k) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 110 (b: B).(or_intror (eq K (Flat f) (Bind b)) ((eq K (Flat f) (Bind b)) \to
 111 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq K (Flat f) (Bind b))).(\lambda (P:
 112 Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee in K return
 113 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 114 True])) I (Bind b) H) in (False_ind P H0)))))) (\lambda (f0: F).(let H_x \def
 115 (terms_props__flat_dec f f0) in (let H \def H_x in (or_ind (eq F f f0) ((eq F
 116 f f0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq K (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat
 117 f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq F f f0)).(eq_ind
 118 F f (\lambda (f1: F).(or (eq K (Flat f) (Flat f1)) ((eq K (Flat f) (Flat f1))
 119 \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq K (Flat f) (Flat f)) ((eq K (Flat
 120 f) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Flat f))) f0 H0))
 121 (\lambda (H0: (((eq F f f0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K
 122 (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 123 (\lambda (H1: (eq K (Flat f) (Flat f0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 124 (f_equal K F (\lambda (e: K).(match e in K return (\lambda (_: K).F) with
 125 [(Bind _) \Rightarrow f | (Flat f) \Rightarrow f])) (Flat f) (Flat f0) H1) in
 126 (let H3 \def (eq_ind_r F f0 (\lambda (f0: F).((eq F f f0) \to (\forall (P:
 127 Prop).P))) H0 f H2) in (H3 (refl_equal F f) P))))))) H)))) k2))) k1).
 128
 129 theorem term_dec:
 130  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t1 t2) ((eq T t1 t2) \to (\forall
 131 (P: Prop).P))))
 132 \def
 133  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq
 134 T t t2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t2:
 135 T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TSort n) t) ((eq T (TSort n) t) \to
 136 (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in
 137 (let H \def H_x in (or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
 138 Prop).P)) (or (eq T (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to
 139 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda
 140 (n1: nat).(or (eq T (TSort n) (TSort n1)) ((eq T (TSort n) (TSort n1)) \to
 141 (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq T (TSort n) (TSort n)) ((eq T (TSort
 142 n) (TSort n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TSort n))) n0 H0))
 143 (\lambda (H0: (((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T
 144 (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 145 (\lambda (H1: (eq T (TSort n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 146 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 147 [(TSort n) \Rightarrow n | (TLRef _) \Rightarrow n | (THead _ _ _)
 148 \Rightarrow n])) (TSort n) (TSort n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0
 149 (\lambda (n0: nat).((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P))) H0 n H2) in (H3
 150 (refl_equal nat n) P))))))) H)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T (TSort
 151 n) (TLRef n0)) ((eq T (TSort n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 152 (\lambda (H: (eq T (TSort n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 153 (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 154 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 155 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0) H) in (False_ind P H0))))))
 156 (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T (TSort n) t) ((eq T
 157 (TSort n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or
 158 (eq T (TSort n) t0) ((eq T (TSort n) t0) \to (\forall (P:
 159 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TSort n) (THead k t t0)) ((eq T (TSort n)
 160 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TSort n)
 161 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda
 162 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 163 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 164 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (n:
 165 nat).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TLRef n) t) ((eq T
 166 (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T
 167 (TLRef n) (TSort n0)) ((eq T (TLRef n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 168 (\lambda (H: (eq T (TLRef n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 169 (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 170 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 171 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TSort n0) H) in (False_ind P H0))))))
 172 (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in (let H \def H_x in (or_ind
 173 (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (TLRef n)
 174 (TLRef n0)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 175 (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(or (eq T (TLRef n)
 176 (TLRef n1)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n1)) \to (\forall (P: Prop).P))))
 177 (or_introl (eq T (TLRef n) (TLRef n)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n)) \to
 178 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TLRef n))) n0 H0)) (\lambda (H0: (((eq
 179 nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (TLRef n0))
 180 ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T
 181 (TLRef n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T nat
 182 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _)
 183 \Rightarrow n | (TLRef n) \Rightarrow n | (THead _ _ _) \Rightarrow n]))
 184 (TLRef n) (TLRef n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n0:
 185 nat).((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P))) H0 n H2) in (H3 (refl_equal
 186 nat n) P))))))) H)))) (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T
 187 (TLRef n) t) ((eq T (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0:
 188 T).(\lambda (_: (or (eq T (TLRef n) t0) ((eq T (TLRef n) t0) \to (\forall (P:
 189 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (THead k t t0)) ((eq T (TLRef n)
 190 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TLRef n)
 191 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda
 192 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 193 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 194 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (k:
 195 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq T t
 196 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall
 197 (t2: T).(or (eq T t0 t2) ((eq T t0 t2) \to (\forall (P:
 198 Prop).P)))))).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t3: T).(or (eq T (THead k t
 199 t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 200 nat).(or_intror (eq T (THead k t t0) (TSort n)) ((eq T (THead k t t0) (TSort
 201 n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TSort
 202 n))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee:
 203 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 204 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 205 (TSort n) H1) in (False_ind P H2)))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (eq T
 206 (THead k t t0) (TLRef n)) ((eq T (THead k t t0) (TLRef n)) \to (\forall (P:
 207 Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TLRef n))).(\lambda (P:
 208 Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 209 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 210 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H1) in
 211 (False_ind P H2)))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (or (eq
 212 T (THead k t t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P:
 213 Prop).P)))).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (or (eq T (THead k t t0) t4) ((eq
 214 T (THead k t t0) t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(let H_x \def (H t3) in
 215 (let H3 \def H_x in (or_ind (eq T t t3) ((eq T t t3) \to (\forall (P:
 216 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k t t0)
 217 (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H4: (eq T t t3)).(let
 218 H5 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t1: T).(or (eq T (THead k t t0) t1) ((eq T
 219 (THead k t t0) t1) \to (\forall (P: Prop).P)))) H1 t H4) in (eq_ind T t
 220 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t5 t4)) ((eq T (THead k t
 221 t0) (THead k0 t5 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x0 \def (H0 t4) in
 222 (let H6 \def H_x0 in (or_ind (eq T t0 t4) ((eq T t0 t4) \to (\forall (P:
 223 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0)
 224 (THead k0 t t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H7: (eq T t0 t4)).(let
 225 H8 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t1: T).(or (eq T (THead k t t0) t1) ((eq T
 226 (THead k t t0) t1) \to (\forall (P: Prop).P)))) H2 t0 H7) in (eq_ind T t0
 227 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t5)) ((eq T (THead k t
 228 t0) (THead k0 t t5)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x1 \def
 229 (terms_props__kind_dec k k0) in (let H9 \def H_x1 in (or_ind (eq K k k0) ((eq
 230 K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 231 ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 232 (H10: (eq K k k0)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).(or (eq T (THead k t t0)
 233 (THead k1 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k1 t t0)) \to (\forall (P:
 234 Prop).P)))) (or_introl (eq T (THead k t t0) (THead k t t0)) ((eq T (THead k t
 235 t0) (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (THead k t t0)))
 236 k0 H10)) (\lambda (H10: (((eq K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 237 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 238 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H11: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 239 t0))).(\lambda (P: Prop).(let H12 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 240 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 241 \Rightarrow k | (THead k _ _) \Rightarrow k])) (THead k t t0) (THead k0 t t0)
 242 H11) in (let H13 \def (eq_ind_r K k0 (\lambda (k0: K).((eq K k k0) \to
 243 (\forall (P: Prop).P))) H10 k H12) in (H13 (refl_equal K k) P))))))) H9))) t4
 244 H7))) (\lambda (H7: (((eq T t0 t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 245 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4))
 246 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H8: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 247 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 248 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 249 \Rightarrow k | (THead k _ _) \Rightarrow k])) (THead k t t0) (THead k0 t t4)
 250 H8) in ((let H10 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 251 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0
 252 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k t t0) (THead k0 t t4) H8) in
 253 (\lambda (_: (eq K k k0)).(let H12 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t: T).((eq T
 254 t0 t) \to (\forall (P: Prop).P))) H7 t0 H10) in (let H13 \def (eq_ind_r T t4
 255 (\lambda (t1: T).(or (eq T (THead k t t0) t1) ((eq T (THead k t t0) t1) \to
 256 (\forall (P: Prop).P)))) H2 t0 H10) in (H12 (refl_equal T t0) P))))) H9))))))
 257 H6))) t3 H4))) (\lambda (H4: (((eq T t t3) \to (\forall (P:
 258 Prop).P)))).(or_intror (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k
 259 t t0) (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H5: (eq T (THead
 260 k t t0) (THead k0 t3 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H6 \def (f_equal T K
 261 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
 262 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k _ _) \Rightarrow k]))
 263 (THead k t t0) (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda
 264 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t
 265 | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead k t t0)
 266 (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H8 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 267 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _)
 268 \Rightarrow t0 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k t t0) (THead k0 t3
 269 t4) H5) in (\lambda (H9: (eq T t t3)).(\lambda (_: (eq K k k0)).(let H11 \def
 270 (eq_ind_r T t4 (\lambda (t1: T).(or (eq T (THead k t t0) t1) ((eq T (THead k
 271 t t0) t1) \to (\forall (P: Prop).P)))) H2 t0 H8) in (let H12 \def (eq_ind_r T
 272 t3 (\lambda (t0: T).((eq T t t0) \to (\forall (P: Prop).P))) H4 t H9) in (let
 273 H13 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t1: T).(or (eq T (THead k t t0) t1) ((eq T
 274 (THead k t t0) t1) \to (\forall (P: Prop).P)))) H1 t H9) in (H12 (refl_equal
 275 T t) P))))))) H7)) H6)))))) H3)))))))) t2))))))) t1).
 276
 277 theorem binder_dec:
 278  \forall (t: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 279 T).(eq T t (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall
 280 (u: T).((eq T t (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))
 281 \def
 282  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b:
 283 B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w u))))))
 284 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b) w
 285 u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (ex_3 B T T
 286 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind
 287 b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (TSort n)
 288 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 289 (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (THead (Bind b) w
 290 u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee:
 291 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 292 True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 293 (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0))))))))) (\lambda (n:
 294 nat).(or_intror (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 295 T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 296 T).(\forall (u: T).((eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 297 Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq
 298 T (TLRef n) (THead (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T
 299 (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 300 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _)
 301 \Rightarrow False])) I (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0)))))))))
 302 (\lambda (k: K).(match k in K return (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).((or
 303 (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead
 304 (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0
 305 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (\forall (t1:
 306 T).((or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1
 307 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 308 T).((eq T t1 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (or
 309 (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead k0
 310 t0 t1) (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 311 T).((eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 312 Prop).P))))))))))) with [(Bind b) \Rightarrow (\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 313 (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0
 314 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 315 T).((eq T t0 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda
 316 (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda
 317 (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 318 T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 319 Prop).P))))))).(or_introl (ex_3 B T T (\lambda (b0: B).(\lambda (w:
 320 T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b0) w u))))))
 321 (\forall (b0: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (THead (Bind b) t0
 322 t1) (THead (Bind b0) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (ex_3_intro B T T
 323 (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1)
 324 (THead (Bind b0) w u))))) b t0 t1 (refl_equal T (THead (Bind b) t0 t1))))))))
 325 | (Flat f) \Rightarrow (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda
 326 (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w u))))))
 327 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b) w
 328 u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B
 329 T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b)
 330 w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead
 331 (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(or_intror (ex_3 B T T
 332 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Flat f) t0 t1)
 333 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 334 T).((eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 335 Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H1:
 336 (eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let
 337 H2 \def (eq_ind T (THead (Flat f) t0 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 338 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 339 \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 340 (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 341 True])])) I (THead (Bind b) w u) H1) in (False_ind P H2))))))))))))])) t).
 342
 343 theorem abst_dec:
 344  \forall (u: T).(\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t: T).(eq T u (THead
 345 (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T u (THead (Bind Abst) v t)) \to
 346 (\forall (P: Prop).P)))))
 347 \def
 348  \lambda (u: T).(match u in T return (\lambda (t: T).(\forall (v: T).(or (ex
 349 T (\lambda (t0: T).(eq T t (THead (Bind Abst) v t0)))) (\forall (t0: T).((eq
 350 T t (THead (Bind Abst) v t0)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) with [(TSort n)
 351 \Rightarrow (\lambda (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T (TSort n)
 352 (THead (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T (TSort n) (THead (Bind
 353 Abst) v t)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H: (eq T
 354 (TSort n) (THead (Bind Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T
 355 (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 356 [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 357 \Rightarrow False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind P H0))))))) |
 358 (TLRef n) \Rightarrow (\lambda (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T
 359 (TLRef n) (THead (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (THead
 360 (Bind Abst) v t)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H:
 361 (eq T (TLRef n) (THead (Bind Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 362 (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 363 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 364 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind
 365 P H0))))))) | (THead k t t0) \Rightarrow (\lambda (v: T).(let H_x \def
 366 (terms_props__kind_dec k (Bind Abst)) in (let H \def H_x in (or_ind (eq K k
 367 (Bind Abst)) ((eq K k (Bind Abst)) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (ex T
 368 (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall
 369 (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P:
 370 Prop).P)))) (\lambda (H0: (eq K k (Bind Abst))).(eq_ind_r K (Bind Abst)
 371 (\lambda (k0: K).(or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k0 t t0) (THead
 372 (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k0 t t0) (THead (Bind
 373 Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (let H_x0 \def (term_dec t v) in
 374 (let H1 \def H_x0 in (or_ind (eq T t v) ((eq T t v) \to (\forall (P:
 375 Prop).P)) (or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead
 376 (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead
 377 (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (H2: (eq T t
 378 v)).(eq_ind T t (\lambda (t1: T).(or (ex T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 379 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)))) (\forall (t2: T).((eq T (THead
 380 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 381 (or_introl (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind
 382 Abst) t t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind
 383 Abst) t t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (ex_intro T (\lambda (t1: T).(eq T
 384 (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t t1))) t0 (refl_equal T (THead
 385 (Bind Abst) t t0)))) v H2)) (\lambda (H2: (((eq T t v) \to (\forall (P:
 386 Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 387 (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 388 (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t1:
 389 T).(\lambda (H3: (eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v
 390 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 391 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _)
 392 \Rightarrow t | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst) t t0)
 393 (THead (Bind Abst) v t1) H3) in ((let H5 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 394 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 |
 395 (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst)
 396 t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in (\lambda (H6: (eq T t v)).(H2 H6 P)))
 397 H4))))))) H1))) k H0)) (\lambda (H0: (((eq K k (Bind Abst)) \to (\forall (P:
 398 Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t t0) (THead
 399 (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead (Bind
 400 Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t1: T).(\lambda (H1: (eq T
 401 (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 402 (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with
 403 [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k _ _)
 404 \Rightarrow k])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H1) in ((let H3 \def
 405 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
 406 [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t _)
 407 \Rightarrow t])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H1) in ((let H4 \def
 408 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
 409 [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t)
 410 \Rightarrow t])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H1) in (\lambda (_:
 411 (eq T t v)).(\lambda (H6: (eq K k (Bind Abst))).(H0 H6 P)))) H3)) H2)))))))
 412 H))))]).
 413