matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/iso/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/iso/fwd".
  18
  19 include "iso/defs.ma".
  20
  21 theorem iso_flats_lref_bind_false:
  22  \forall (f: F).(\forall (b: B).(\forall (i: nat).(\forall (v: T).(\forall
  23 (t: T).(\forall (vs: TList).((iso (THeads (Flat f) vs (TLRef i)) (THead (Bind
  24 b) v t)) \to (\forall (P: Prop).P)))))))
  25 \def
  26  \lambda (f: F).(\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(\lambda (v: T).(\lambda
  27 (t: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t0: TList).((iso (THeads
  28 (Flat f) t0 (TLRef i)) (THead (Bind b) v t)) \to (\forall (P: Prop).P)))
  29 (\lambda (H: (iso (TLRef i) (THead (Bind b) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0
  30 \def (match H in iso return (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (_:
  31 (iso t0 t1)).((eq T t0 (TLRef i)) \to ((eq T t1 (THead (Bind b) v t)) \to
  32 P))))) with [(iso_sort n1 n2) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (TSort n1)
  33 (TLRef i))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t))).((let H2
  34 \def (eq_ind T (TSort n1) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
  35 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  36 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef i) H0) in (False_ind ((eq T
  37 (TSort n2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H2)) H1))) | (iso_lref i1 i2)
  38 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (TLRef i1) (TLRef i))).(\lambda (H1: (eq T
  39 (TLRef i2) (THead (Bind b) v t))).((let H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
  40 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow i1 |
  41 (TLRef n) \Rightarrow n | (THead _ _ _) \Rightarrow i1])) (TLRef i1) (TLRef
  42 i) H0) in (eq_ind nat i (\lambda (_: nat).((eq T (TLRef i2) (THead (Bind b) v
  43 t)) \to P)) (\lambda (H3: (eq T (TLRef i2) (THead (Bind b) v t))).(let H4
  44 \def (eq_ind T (TLRef i2) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
  45 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
  46 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Bind b) v t) H3) in (False_ind P
  47 H4))) i1 (sym_eq nat i1 i H2))) H1))) | (iso_head v1 v2 t1 t2 k) \Rightarrow
  48 (\lambda (H0: (eq T (THead k v1 t1) (TLRef i))).(\lambda (H1: (eq T (THead k
  49 v2 t2) (THead (Bind b) v t))).((let H2 \def (eq_ind T (THead k v1 t1)
  50 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
  51 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
  52 True])) I (TLRef i) H0) in (False_ind ((eq T (THead k v2 t2) (THead (Bind b)
  53 v t)) \to P) H2)) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (TLRef i)) (refl_equal T
  54 (THead (Bind b) v t)))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (_:
  55 (((iso (THeads (Flat f) t1 (TLRef i)) (THead (Bind b) v t)) \to (\forall (P:
  56 Prop).P)))).(\lambda (H0: (iso (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef
  57 i))) (THead (Bind b) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (match H0 in iso
  58 return (\lambda (t2: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (iso t2 t3)).((eq T t2
  59 (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i)))) \to ((eq T t3 (THead
  60 (Bind b) v t)) \to P))))) with [(iso_sort n1 n2) \Rightarrow (\lambda (H1:
  61 (eq T (TSort n1) (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef
  62 i))))).(\lambda (H2: (eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t))).((let H3 \def
  63 (eq_ind T (TSort n1) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
  64 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  65 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1
  66 (TLRef i))) H1) in (False_ind ((eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t)) \to P)
  67 H3)) H2))) | (iso_lref i1 i2) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq T (TLRef i1)
  68 (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i))))).(\lambda (H2: (eq T
  69 (TLRef i2) (THead (Bind b) v t))).((let H3 \def (eq_ind T (TLRef i1) (\lambda
  70 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
  71 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
  72 (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i))) H1) in (False_ind ((eq T
  73 (TLRef i2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H3)) H2))) | (iso_head v1 v2 t2 t3 k)
  74 \Rightarrow (\lambda (H1: (eq T (THead k v1 t2) (THead (Flat f) t0 (THeads
  75 (Flat f) t1 (TLRef i))))).(\lambda (H2: (eq T (THead k v2 t3) (THead (Bind b)
  76 v t))).((let H3 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  77 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t2 | (TLRef _) \Rightarrow t2
  78 | (THead _ _ t4) \Rightarrow t4])) (THead k v1 t2) (THead (Flat f) t0 (THeads
  79 (Flat f) t1 (TLRef i))) H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  80 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow v1 |
  81 (TLRef _) \Rightarrow v1 | (THead _ t4 _) \Rightarrow t4])) (THead k v1 t2)
  82 (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i))) H1) in ((let H5 \def
  83 (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with
  84 [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k0 _ _)
  85 \Rightarrow k0])) (THead k v1 t2) (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1
  86 (TLRef i))) H1) in (eq_ind K (Flat f) (\lambda (k0: K).((eq T v1 t0) \to ((eq
  87 T t2 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i))) \to ((eq T (THead k0 v2 t3) (THead (Bind
  88 b) v t)) \to P)))) (\lambda (H6: (eq T v1 t0)).(eq_ind T t0 (\lambda (_:
  89 T).((eq T t2 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i))) \to ((eq T (THead (Flat f) v2
  90 t3) (THead (Bind b) v t)) \to P))) (\lambda (H7: (eq T t2 (THeads (Flat f) t1
  91 (TLRef i)))).(eq_ind T (THeads (Flat f) t1 (TLRef i)) (\lambda (_: T).((eq T
  92 (THead (Flat f) v2 t3) (THead (Bind b) v t)) \to P)) (\lambda (H8: (eq T
  93 (THead (Flat f) v2 t3) (THead (Bind b) v t))).(let H9 \def (eq_ind T (THead
  94 (Flat f) v2 t3) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop)
  95 with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k0 _
  96 _) \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
  97 \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind b) v t) H8)
  98 in (False_ind P H9))) t2 (sym_eq T t2 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i)) H7))) v1
  99 (sym_eq T v1 t0 H6))) k (sym_eq K k (Flat f) H5))) H4)) H3)) H2)))]) in (H1
 100 (refl_equal T (THead (Flat f) t0 (THeads (Flat f) t1 (TLRef i)))) (refl_equal
 101 T (THead (Bind b) v t))))))))) vs)))))).
 102
 103 theorem iso_flats_flat_bind_false:
 104  \forall (f1: F).(\forall (f2: F).(\forall (b: B).(\forall (v: T).(\forall
 105 (v2: T).(\forall (t: T).(\forall (t2: T).(\forall (vs: TList).((iso (THeads
 106 (Flat f1) vs (THead (Flat f2) v2 t2)) (THead (Bind b) v t)) \to (\forall (P:
 107 Prop).P)))))))))
 108 \def
 109  \lambda (f1: F).(\lambda (f2: F).(\lambda (b: B).(\lambda (v: T).(\lambda
 110 (v2: T).(\lambda (t: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind
 111 (\lambda (t0: TList).((iso (THeads (Flat f1) t0 (THead (Flat f2) v2 t2))
 112 (THead (Bind b) v t)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H: (iso (THead
 113 (Flat f2) v2 t2) (THead (Bind b) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 114 (match H in iso return (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (iso t0
 115 t1)).((eq T t0 (THead (Flat f2) v2 t2)) \to ((eq T t1 (THead (Bind b) v t))
 116 \to P))))) with [(iso_sort n1 n2) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (TSort n1)
 117 (THead (Flat f2) v2 t2))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v
 118 t))).((let H2 \def (eq_ind T (TSort n1) (\lambda (e: T).(match e in T return
 119 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
 120 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Flat f2) v2
 121 t2) H0) in (False_ind ((eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H2))
 122 H1))) | (iso_lref i1 i2) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (TLRef i1) (THead
 123 (Flat f2) v2 t2))).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i2) (THead (Bind b) v
 124 t))).((let H2 \def (eq_ind T (TLRef i1) (\lambda (e: T).(match e in T return
 125 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 126 \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Flat f2) v2
 127 t2) H0) in (False_ind ((eq T (TLRef i2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H2))
 128 H1))) | (iso_head v1 v0 t1 t0 k) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (THead k v1
 129 t1) (THead (Flat f2) v2 t2))).(\lambda (H1: (eq T (THead k v0 t0) (THead
 130 (Bind b) v t))).((let H2 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T
 131 return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _)
 132 \Rightarrow t1 | (THead _ _ t3) \Rightarrow t3])) (THead k v1 t1) (THead
 133 (Flat f2) v2 t2) H0) in ((let H3 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 134 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow v1 | (TLRef _)
 135 \Rightarrow v1 | (THead _ t3 _) \Rightarrow t3])) (THead k v1 t1) (THead
 136 (Flat f2) v2 t2) H0) in ((let H4 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 137 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 138 \Rightarrow k | (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead k v1 t1) (THead (Flat
 139 f2) v2 t2) H0) in (eq_ind K (Flat f2) (\lambda (k0: K).((eq T v1 v2) \to ((eq
 140 T t1 t2) \to ((eq T (THead k0 v0 t0) (THead (Bind b) v t)) \to P)))) (\lambda
 141 (H5: (eq T v1 v2)).(eq_ind T v2 (\lambda (_: T).((eq T t1 t2) \to ((eq T
 142 (THead (Flat f2) v0 t0) (THead (Bind b) v t)) \to P))) (\lambda (H6: (eq T t1
 143 t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (_: T).((eq T (THead (Flat f2) v0 t0) (THead (Bind
 144 b) v t)) \to P)) (\lambda (H7: (eq T (THead (Flat f2) v0 t0) (THead (Bind b)
 145 v t))).(let H8 \def (eq_ind T (THead (Flat f2) v0 t0) (\lambda (e: T).(match
 146 e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False |
 147 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k0 _ _) \Rightarrow (match k0 in K
 148 return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _)
 149 \Rightarrow True])])) I (THead (Bind b) v t) H7) in (False_ind P H8))) t1
 150 (sym_eq T t1 t2 H6))) v1 (sym_eq T v1 v2 H5))) k (sym_eq K k (Flat f2) H4)))
 151 H3)) H2)) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (THead (Flat f2) v2 t2)) (refl_equal T
 152 (THead (Bind b) v t)))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (_:
 153 (((iso (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2)) (THead (Bind b) v t))
 154 \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H0: (iso (THead (Flat f1) t0 (THeads
 155 (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))) (THead (Bind b) v t))).(\lambda (P:
 156 Prop).(let H1 \def (match H0 in iso return (\lambda (t3: T).(\lambda (t4:
 157 T).(\lambda (_: (iso t3 t4)).((eq T t3 (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1)
 158 t1 (THead (Flat f2) v2 t2)))) \to ((eq T t4 (THead (Bind b) v t)) \to P)))))
 159 with [(iso_sort n1 n2) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq T (TSort n1) (THead
 160 (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))))).(\lambda (H2:
 161 (eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t))).((let H3 \def (eq_ind T (TSort n1)
 162 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 163 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 164 False])) I (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2)))
 165 H1) in (False_ind ((eq T (TSort n2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H3)) H2))) |
 166 (iso_lref i1 i2) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq T (TLRef i1) (THead (Flat f1)
 167 t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))))).(\lambda (H2: (eq T
 168 (TLRef i2) (THead (Bind b) v t))).((let H3 \def (eq_ind T (TLRef i1) (\lambda
 169 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 170 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 171 (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))) H1) in
 172 (False_ind ((eq T (TLRef i2) (THead (Bind b) v t)) \to P) H3)) H2))) |
 173 (iso_head v1 v0 t3 t4 k) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq T (THead k v1 t3)
 174 (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))))).(\lambda
 175 (H2: (eq T (THead k v0 t4) (THead (Bind b) v t))).((let H3 \def (f_equal T T
 176 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 177 \Rightarrow t3 | (TLRef _) \Rightarrow t3 | (THead _ _ t5) \Rightarrow t5]))
 178 (THead k v1 t3) (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2
 179 t2))) H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 180 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow v1 | (TLRef _) \Rightarrow v1
 181 | (THead _ t5 _) \Rightarrow t5])) (THead k v1 t3) (THead (Flat f1) t0
 182 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))) H1) in ((let H5 \def (f_equal
 183 T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
 184 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k0 _ _) \Rightarrow k0]))
 185 (THead k v1 t3) (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2
 186 t2))) H1) in (eq_ind K (Flat f1) (\lambda (k0: K).((eq T v1 t0) \to ((eq T t3
 187 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))) \to ((eq T (THead k0 v0 t4)
 188 (THead (Bind b) v t)) \to P)))) (\lambda (H6: (eq T v1 t0)).(eq_ind T t0
 189 (\lambda (_: T).((eq T t3 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2))) \to
 190 ((eq T (THead (Flat f1) v0 t4) (THead (Bind b) v t)) \to P))) (\lambda (H7:
 191 (eq T t3 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2)))).(eq_ind T (THeads
 192 (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2)) (\lambda (_: T).((eq T (THead (Flat f1)
 193 v0 t4) (THead (Bind b) v t)) \to P)) (\lambda (H8: (eq T (THead (Flat f1) v0
 194 t4) (THead (Bind b) v t))).(let H9 \def (eq_ind T (THead (Flat f1) v0 t4)
 195 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 196 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k0 _ _) \Rightarrow
 197 (match k0 in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False
 198 | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind b) v t) H8) in (False_ind P
 199 H9))) t3 (sym_eq T t3 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2 t2)) H7))) v1
 200 (sym_eq T v1 t0 H6))) k (sym_eq K k (Flat f1) H5))) H4)) H3)) H2)))]) in (H1
 201 (refl_equal T (THead (Flat f1) t0 (THeads (Flat f1) t1 (THead (Flat f2) v2
 202 t2)))) (refl_equal T (THead (Bind b) v t))))))))) vs)))))))).
 203
 204 theorem iso_gen_sort:
 205  \forall (u2: T).(\forall (n1: nat).((iso (TSort n1) u2) \to (ex nat (\lambda
 206 (n2: nat).(eq T u2 (TSort n2))))))
 207 \def
 208  \lambda (u2: T).(\lambda (n1: nat).(\lambda (H: (iso (TSort n1) u2)).(let H0
 209 \def (match H in iso return (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 210 (iso t t0)).((eq T t (TSort n1)) \to ((eq T t0 u2) \to (ex nat (\lambda (n2:
 211 nat).(eq T u2 (TSort n2))))))))) with [(iso_sort n0 n2) \Rightarrow (\lambda
 212 (H0: (eq T (TSort n0) (TSort n1))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n2) u2)).((let
 213 H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 214 T).nat) with [(TSort n) \Rightarrow n | (TLRef _) \Rightarrow n0 | (THead _ _
 215 _) \Rightarrow n0])) (TSort n0) (TSort n1) H0) in (eq_ind nat n1 (\lambda (_:
 216 nat).((eq T (TSort n2) u2) \to (ex nat (\lambda (n3: nat).(eq T u2 (TSort
 217 n3)))))) (\lambda (H3: (eq T (TSort n2) u2)).(eq_ind T (TSort n2) (\lambda
 218 (t: T).(ex nat (\lambda (n3: nat).(eq T t (TSort n3))))) (ex_intro nat
 219 (\lambda (n3: nat).(eq T (TSort n2) (TSort n3))) n2 (refl_equal T (TSort
 220 n2))) u2 H3)) n0 (sym_eq nat n0 n1 H2))) H1))) | (iso_lref i1 i2) \Rightarrow
 221 (\lambda (H0: (eq T (TLRef i1) (TSort n1))).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i2)
 222 u2)).((let H2 \def (eq_ind T (TLRef i1) (\lambda (e: T).(match e in T return
 223 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 224 \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TSort n1) H0) in
 225 (False_ind ((eq T (TLRef i2) u2) \to (ex nat (\lambda (n2: nat).(eq T u2
 226 (TSort n2))))) H2)) H1))) | (iso_head v1 v2 t1 t2 k) \Rightarrow (\lambda
 227 (H0: (eq T (THead k v1 t1) (TSort n1))).(\lambda (H1: (eq T (THead k v2 t2)
 228 u2)).((let H2 \def (eq_ind T (THead k v1 t1) (\lambda (e: T).(match e in T
 229 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 230 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TSort n1) H0) in
 231 (False_ind ((eq T (THead k v2 t2) u2) \to (ex nat (\lambda (n2: nat).(eq T u2
 232 (TSort n2))))) H2)) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (TSort n1)) (refl_equal T
 233 u2))))).
 234
 235 theorem iso_gen_lref:
 236  \forall (u2: T).(\forall (n1: nat).((iso (TLRef n1) u2) \to (ex nat (\lambda
 237 (n2: nat).(eq T u2 (TLRef n2))))))
 238 \def
 239  \lambda (u2: T).(\lambda (n1: nat).(\lambda (H: (iso (TLRef n1) u2)).(let H0
 240 \def (match H in iso return (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 241 (iso t t0)).((eq T t (TLRef n1)) \to ((eq T t0 u2) \to (ex nat (\lambda (n2:
 242 nat).(eq T u2 (TLRef n2))))))))) with [(iso_sort n0 n2) \Rightarrow (\lambda
 243 (H0: (eq T (TSort n0) (TLRef n1))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n2) u2)).((let
 244 H2 \def (eq_ind T (TSort n0) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 245 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 246 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n1) H0) in (False_ind ((eq T
 247 (TSort n2) u2) \to (ex nat (\lambda (n3: nat).(eq T u2 (TLRef n3))))) H2))
 248 H1))) | (iso_lref i1 i2) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (TLRef i1) (TLRef
 249 n1))).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i2) u2)).((let H2 \def (f_equal T nat
 250 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _)
 251 \Rightarrow i1 | (TLRef n) \Rightarrow n | (THead _ _ _) \Rightarrow i1]))
 252 (TLRef i1) (TLRef n1) H0) in (eq_ind nat n1 (\lambda (_: nat).((eq T (TLRef
 253 i2) u2) \to (ex nat (\lambda (n2: nat).(eq T u2 (TLRef n2)))))) (\lambda (H3:
 254 (eq T (TLRef i2) u2)).(eq_ind T (TLRef i2) (\lambda (t: T).(ex nat (\lambda
 255 (n2: nat).(eq T t (TLRef n2))))) (ex_intro nat (\lambda (n2: nat).(eq T
 256 (TLRef i2) (TLRef n2))) i2 (refl_equal T (TLRef i2))) u2 H3)) i1 (sym_eq nat
 257 i1 n1 H2))) H1))) | (iso_head v1 v2 t1 t2 k) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T
 258 (THead k v1 t1) (TLRef n1))).(\lambda (H1: (eq T (THead k v2 t2) u2)).((let
 259 H2 \def (eq_ind T (THead k v1 t1) (\lambda (e: T).(match e in T return
 260 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 261 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n1) H0) in
 262 (False_ind ((eq T (THead k v2 t2) u2) \to (ex nat (\lambda (n2: nat).(eq T u2
 263 (TLRef n2))))) H2)) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (TLRef n1)) (refl_equal T
 264 u2))))).
 265
 266 theorem iso_gen_head:
 267  \forall (k: K).(\forall (v1: T).(\forall (t1: T).(\forall (u2: T).((iso
 268 (THead k v1 t1) u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v2: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2
 269 (THead k v2 t2)))))))))
 270 \def
 271  \lambda (k: K).(\lambda (v1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 272 (H: (iso (THead k v1 t1) u2)).(let H0 \def (match H in iso return (\lambda
 273 (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (iso t t0)).((eq T t (THead k v1 t1))
 274 \to ((eq T t0 u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v2: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2
 275 (THead k v2 t2)))))))))) with [(iso_sort n1 n2) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq
 276 T (TSort n1) (THead k v1 t1))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n2) u2)).((let H2
 277 \def (eq_ind T (TSort n1) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 278 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 279 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k v1 t1) H0) in (False_ind ((eq T
 280 (TSort n2) u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v2: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2
 281 (THead k v2 t2)))))) H2)) H1))) | (iso_lref i1 i2) \Rightarrow (\lambda (H0:
 282 (eq T (TLRef i1) (THead k v1 t1))).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i2) u2)).((let
 283 H2 \def (eq_ind T (TLRef i1) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 284 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 285 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k v1 t1) H0) in (False_ind ((eq T
 286 (TLRef i2) u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v2: T).(\lambda (t2: T).(eq T u2
 287 (THead k v2 t2)))))) H2)) H1))) | (iso_head v0 v2 t0 t2 k0) \Rightarrow
 288 (\lambda (H0: (eq T (THead k0 v0 t0) (THead k v1 t1))).(\lambda (H1: (eq T
 289 (THead k0 v2 t2) u2)).((let H2 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in
 290 T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _)
 291 \Rightarrow t0 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k0 v0 t0) (THead k v1
 292 t1) H0) in ((let H3 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 293 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow v0 | (TLRef _) \Rightarrow v0
 294 | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead k0 v0 t0) (THead k v1 t1) H0) in
 295 ((let H4 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 296 T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k0 | (TLRef _) \Rightarrow k0 | (THead k1 _
 297 _) \Rightarrow k1])) (THead k0 v0 t0) (THead k v1 t1) H0) in (eq_ind K k
 298 (\lambda (k1: K).((eq T v0 v1) \to ((eq T t0 t1) \to ((eq T (THead k1 v2 t2)
 299 u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v3: T).(\lambda (t3: T).(eq T u2 (THead k v3
 300 t3))))))))) (\lambda (H5: (eq T v0 v1)).(eq_ind T v1 (\lambda (_: T).((eq T
 301 t0 t1) \to ((eq T (THead k v2 t2) u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v3: T).(\lambda
 302 (t3: T).(eq T u2 (THead k v3 t3)))))))) (\lambda (H6: (eq T t0 t1)).(eq_ind T
 303 t1 (\lambda (_: T).((eq T (THead k v2 t2) u2) \to (ex_2 T T (\lambda (v3:
 304 T).(\lambda (t3: T).(eq T u2 (THead k v3 t3))))))) (\lambda (H7: (eq T (THead
 305 k v2 t2) u2)).(eq_ind T (THead k v2 t2) (\lambda (t: T).(ex_2 T T (\lambda
 306 (v3: T).(\lambda (t3: T).(eq T t (THead k v3 t3)))))) (ex_2_intro T T
 307 (\lambda (v3: T).(\lambda (t3: T).(eq T (THead k v2 t2) (THead k v3 t3)))) v2
 308 t2 (refl_equal T (THead k v2 t2))) u2 H7)) t0 (sym_eq T t0 t1 H6))) v0
 309 (sym_eq T v0 v1 H5))) k0 (sym_eq K k0 k H4))) H3)) H2)) H1)))]) in (H0
 310 (refl_equal T (THead k v1 t1)) (refl_equal T u2))))))).
 311