matita/contribs/formal_topology/formal_topology.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/formal_topology/".
  16 include "logic/equality.ma".
  17
  18 axiom S: Type.
  19
  20 axiom leq: S → S → Prop.
  21
  22 notation "hvbox(A break ⊆ B)" with precedence 59
  23 for @{ 'subseteq $A $B}.
  24
  25 interpretation "Subseteq" 'subseteq A B =
  26  (cic:/matita/formal_topology/leq.con A B).
  27
  28 axiom leq_refl: ∀A. A ⊆ A.
  29 axiom leq_antisym: ∀A,B. A ⊆ B → B ⊆ A → A=B.
  30 axiom leq_tran: ∀A,B,C. A ⊆ B → B ⊆ C → A ⊆ C.
  31
  32 axiom i: S → S.
  33
  34 axiom i_contrattivita: ∀A. i A ⊆ A.
  35 axiom i_idempotenza: ∀A. i (i A) = i A.
  36 axiom i_monotonia: ∀A,B. A ⊆ B → i A ⊆ i B.
  37
  38 axiom c: S → S.
  39
  40 axiom c_espansivita: ∀A. A ⊆ c A.
  41 axiom c_idempotenza: ∀A. c (c A) = c A.
  42 axiom c_monotonia: ∀A,B. A ⊆ B → c A ⊆ c B.
  43
  44 axiom m: S → S.
  45
  46 axiom m_antimonotonia: ∀A,B. A ⊆ B → m B ⊆ m A.
  47 axiom m_saturazione: ∀A. A ⊆ m (m A).
  48 axiom m_puntofisso: ∀A. m A = m (m (m A)).
  49
  50 lemma l1: ∀A,B. i A ⊆ B → i A ⊆ i B. intros; rewrite < i_idempotenza; auto. qed.
  51 lemma l2: ∀A,B. A ⊆ c B → c A ⊆ c B. intros; rewrite < c_idempotenza in ⊢ (? ? %); auto. qed.
  52
  53 theorem geq1: ∀A. i (i A) = i A. intros. auto. qed.
  54 theorem geq2: ∀A. c (c A) = c A. intros. auto. qed.
  55 theorem geq3: ∀A. i (i (c A)) = i (c A). intros. auto. qed.
  56 theorem geq4: ∀A. c (c (i A)) = c (i A). intros. auto. qed.
  57 theorem geq5: ∀A. i (c (i (c A))) = i (c A). intros. auto depth=4. qed.
  58 theorem geq6: ∀A. c (i (c (i A))) = c (i A). intros. auto depth=4. qed.
  59 theorem gse1: ∀A. i A ⊆ A. intros. auto. qed.
  60 theorem gse2: ∀A. A ⊆ c A. intros. auto. qed.
  61 theorem gse3: ∀A. i A ⊆ i (c (i A)). intros. auto. qed.
  62 theorem gse4: ∀A. i (c (i A)) ⊆ i (c A). intros. auto. qed.
  63 theorem gse5: ∀A. i (c (i A)) ⊆ c (i A). intros. auto. qed.
  64 theorem gse6: ∀A. i (c A) ⊆ c (i (c A)). intros. auto. qed.
  65 theorem gse7: ∀A. c (i A) ⊆ c (i (c A)). intros. auto. qed.
  66 theorem gse8: ∀A. c (i (c A)) ⊆ c A. intros. auto. qed.
  67
  68 axiom th1: ∀A. c (m A) ⊆ m (i A).
  69 axiom th2: ∀A. i (m A) ⊆ m (c A).
  70
  71 theorem se1: ∀A. i (c (m (c A))) ⊆ i (m (i (c A))). intros; auto. qed.
  72 theorem se2: ∀A. i (m (i (c A))) ⊆ m (c (i (c A))). intros; auto. qed.
  73 theorem se3: ∀A. c (i (m A)) ⊆ c (i (c (m (c A)))). intros; auto depth=4. qed.
  74 theorem se4: ∀A. c (i (c (m (c A)))) ⊆ c (i (m (i (c A)))). intros; auto. qed.
  75 theorem se5: ∀A. i (c (m (c A))) ⊆ c (i (c (m (c A)))). intros; auto. qed.
  76 theorem se6: ∀A. i (m (i (c A))) ⊆ c (i (m (i (c A)))). intros; auto. qed.
  77 theorem se7: ∀A. m (c A) ⊆ m A. intros; auto. qed.
  78 theorem se8: ∀A. i (c (m (c A))) ⊆ i (c (m A)). intros; auto. qed.
  79 theorem se9: ∀A. i (c (m A)) ⊆ i (m (i A)). intros; auto. qed.
  80 theorem se10: ∀A. i (m (i (c A))) ⊆ i (m (i A)). intros; auto depth=4. qed.
  81 theorem se11: ∀A. i (m (i A)) ⊆ m (c (i A)). intros; auto. qed.
  82 theorem se12: ∀A. m (c (i (c A))) ⊆ m (c (i A)). intros; auto. qed.
  83 theorem se13: ∀A. m (c A) ⊆ m (c (i (c A))). intros; auto. qed.
  84 theorem se14: ∀A. i (c (m A)) ⊆ c (i (c (m A))). intros; auto. qed.
  85 theorem se15: ∀A. c (i (c (m A))) ⊆ c (m A). intros; auto. qed.
  86 theorem se16: ∀A. c (i (m (i A))) ⊆ c (m (c (i A))). intros; auto depth=4. qed.
  87 theorem se17: ∀A. c (m (c (i A))) ⊆ m (i (c (i A))). intros; auto. qed.
  88 theorem se18: ∀A. m (i (c A)) ⊆ m (i (c (i A))). intros; auto. qed.
  89 theorem se19: ∀A. m (i (c (i A))) ⊆ m (i A). intros; auto. qed.
  90 theorem se20: ∀A. c (m (c A)) ⊆ c (m A). intros; auto. qed.
  91 theorem se21: ∀A. c (m (c A)) ⊆ c (m (c (i (c A)))). intros; auto. qed.
  92 theorem se22: ∀A. c (m (c (i (c A)))) ⊆ m (i (c A)). intros; auto. qed.
  93 theorem se23: ∀A. c (i (c (m (c A)))) ⊆ c (i (c (m A))). intros; auto. qed.
  94 theorem se24: ∀A. c (i (c (m (c A)))) ⊆ c (m (c A)). intros; auto. qed.
  95 theorem se25: ∀A. m (c A) ⊆ c (m (c A)). intros; auto. qed.
  96 theorem se26: ∀A. c (i (m (i (c A)))) ⊆ c (i (m (c (i (c A))))). intros; auto. qed.
  97 theorem se27: ∀A. m (c (i (c A))) ⊆ c (m (c (i (c A)))). intros; auto. qed.
  98 theorem se28: ∀A. m (c (i A)) ⊆ c (m (c (i A))). intros; auto. qed.
  99 theorem se29: ∀A. m A ⊆ c (m A). intros; auto. qed.
 100 theorem se30: ∀A. i (m A) ⊆ i (c (i (m A))). intros; auto. qed.
 101 theorem se31: ∀A. i (c (i (m A))) ⊆ c (i (m A)). intros; auto. qed.
 102 theorem se32: ∀A. i (c (i (m A))) ⊆ i (c (m (c A))). intros; auto. qed.
 103 theorem se33: ∀A. c (i (c (m A))) ⊆ c (i (m (i A))). intros; auto. qed.
 104 theorem se34: ∀A. i (m (i A)) ⊆ c (i (m (i A))). intros; auto. qed.
 105 theorem se35: ∀A. c (i (m (i (c A)))) ⊆ c (i (m (i A))). intros; auto. qed.
 106 theorem se36: ∀A. c (m (c (i (c A)))) ⊆ c (m (c (i A))). intros; auto. qed.
 107
 108 theorem th5: ∀A. i (m (c A)) = i (m A). intros; auto depth=4. qed.
 109 theorem th6: ∀A. c (m (i A)) = m (i A). intros; auto width=2 depth=5. qed.
 110 theorem th7: ∀A. i (m (i A)) = i (c (i (m (i A)))). intros; auto. qed.
 111 theorem th8: ∀A. i (m (i A)) = i (m (i (c (i A)))). intros; auto. qed.
 112 theorem th9: ∀A. i (c (m (c (i A)))) = i (m (i A)). intros; auto depth=4. qed.
 113
 114 (* theorem th7: ∀A. i (m (i A)) = i (s (i A)). *)