matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18
  19 record is_vector_space (K: field) (G:abelian_group) (emult:K→G→G) : Prop
  20 ≝
  21  { vs_nilpotent: ∀v. emult 0 v = 0;
  22    vs_neutral: ∀v. emult 1 v = v;
  23    vs_distributive: ∀a,b,v. emult (a + b) v = (emult a v) + (emult b v);
  24    vs_associative: ∀a,b,v. emult (a * b) v = emult a (emult b v)
  25  }.
  26
  27 record vector_space (K:field): Type \def
  28 { vs_abelian_group :> abelian_group;
  29   emult: K → vs_abelian_group → vs_abelian_group;
  30   vs_vector_space_properties :> is_vector_space ? vs_abelian_group emult
  31 }.
  32
  33 interpretation "Vector space external product" 'times a b =
  34  (cic:/matita/integration_algebras/emult.con _ _ a b).
  35
  36 record is_semi_norm (R:real) (V: vector_space R) (semi_norm:V→R) : Prop \def
  37  { sn_positive: ∀x:V. 0 ≤ semi_norm x;
  38    sn_omogeneous: ∀a:R.∀x:V. semi_norm (a*x) = (abs ? a) * semi_norm x;
  39    sn_triangle_inequality: ∀x,y:V. semi_norm (x + y) ≤ semi_norm x + semi_norm y
  40  }.
  41
  42 record is_norm (R:real) (V:vector_space R) (norm:V → R) : Prop \def
  43  { n_semi_norm:> is_semi_norm ? ? norm;
  44    n_properness: ∀x:V. norm x = 0 → x = 0
  45  }.
  46
  47 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  48  { (* abelian semigroup properties *)
  49    l_comm_j: symmetric ? join;
  50    l_associative_j: associative ? join;
  51    l_comm_m: symmetric ? meet;
  52    l_associative_m: associative ? meet;
  53    (* other properties *)
  54    l_adsorb_j_m: ∀f,g. join f (meet f g) = f;
  55    l_adsorb_m_j: ∀f,g. meet f (join f g) = f
  56  }.
  57
  58 record lattice (C:Type) : Type \def
  59  { join: C → C → C;
  60    meet: C → C → C;
  61    l_lattice_properties: is_lattice ? join meet
  62  }.
  63
  64 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. meet ? L f g = f.
  65
  66 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
  67  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
  68
  69 definition carrier_of_lattice ≝
  70  λC:Type.λL:lattice C.C.
  71
  72 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:vector_space K)
  73  (L:lattice (Type_OF_vector_space ? V))
  74 : Prop
  75 \def
  76  { rs_compat_le_plus: ∀f,g,h. le ? L f g → le ? L (f+h) (g+h);
  77    rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f. of_le ? 0 a → le ? L 0 f → le ? L 0 (a*f)
  78  }.
  79
  80 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  81  { rs_vector_space:> vector_space K;
  82    rs_lattice:> lattice rs_vector_space;
  83    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_vector_space rs_lattice
  84  }.
  85
  86 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.join ? S f (-f).
  87
  88 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
  89 \def
  90   { ars_archimedean: ∃u.∀n.∀a.∀p:n > O.
  91      le ? S
  92       (absolute_value ? S a)
  93       ((inv ? (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero ? n p))* u) →
  94      a = 0
  95   }.
  96
  97 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  98  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
  99    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
 100  }.
 101
 102 record is_integral (K) (R:archimedean_riesz_space K) (I:R→K) : Prop
 103 \def
 104  { i_positive: ∀f:R. le ? R 0 f → of_le K 0 (I f);
 105    i_linear1: ∀f,g:R. I (f + g) = I f + I g;
 106    i_linear2: ∀f:R.∀k:K. I (k*f) = k*(I f)
 107  }.
 108
 109 definition is_weak_unit ≝
 110 (* This definition is by Spitters. He cites Fremlin 353P, but:
 111    1. that theorem holds only in f-algebras (as in Spitters, but we are
 112       defining it on Riesz spaces)
 113    2. Fremlin proves |x|/\u=0 \to u=0. How do we remove the absolute value?
 114  λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λunit: V.
 115   ∀x:V. meet x unit = 0 → u = 0.
 116 *) λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λe:V.True.
 117
 118 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 119    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 120 record integration_riesz_space (R:real) : Type \def
 121  { irs_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space R;
 122    irs_unit: irs_archimedean_riesz_space;
 123    irs_weak_unit: is_weak_unit ? ? irs_unit;
 124    integral: irs_archimedean_riesz_space → R;
 125    irs_integral_properties: is_integral ? ? integral;
 126    irs_limit1:
 127     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 128      tends_to ?
 129       (λn.integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 130        ((sum_field R n)*irs_unit)))
 131        (integral f);
 132    irs_limit2:
 133     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 134      tends_to ?
 135       (λn.
 136         integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 137          ((inv ? (sum_field R (S n))
 138            (not_eq_sum_field_zero R (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 139          ) * irs_unit))) 0;
 140    irs_quotient_space1:
 141     ∀f,g:irs_archimedean_riesz_space.
 142      f=g → integral (absolute_value ? irs_archimedean_riesz_space (f - g)) = 0
 143  }.
 144
 145 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
 146 ≝
 147  { (* ring properties *)
 148    a_ring: is_ring V mult one;
 149    (* algebra properties *)
 150    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
 151    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 152  }.
 153
 154 record algebra (K: field) (V:vector_space K) (a_one:V) : Type \def
 155  { a_mult: V → V → V;
 156    a_algebra_properties: is_algebra ? ? a_mult a_one
 157  }.
 158
 159 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 160  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ _ _ a b).
 161
 162 definition ring_of_algebra ≝
 163  λK.λV:vector_space K.λone:V.λA:algebra ? V one.
 164   mk_ring V (a_mult ? ? ? A) one
 165    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? ? ? A)).
 166
 167 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 168
 169 record is_f_algebra (K) (S:archimedean_riesz_space K) (one: S)
 170  (A:algebra ? S one) : Prop
 171 \def
 172 { compat_mult_le:
 173    ∀f,g:S.
 174     le ? S 0 f → le ? S 0 g → le ? S 0 (a_mult ? ? ? A f g);
 175   compat_mult_meet:
 176    ∀f,g,h:S.
 177     meet ? S f g = 0 → meet ? S (a_mult ? ? ? A h f) g = 0
 178 }.
 179
 180 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) (R:archimedean_riesz_space K) (one:R) :
 181 Type \def
 182 { fa_algebra:> algebra ? R one;
 183   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? ? ? fa_algebra
 184 }.
 185
 186 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 187 axiom symmetric_a_mult:
 188  ∀K,R,one.∀A:f_algebra K R one. symmetric ? (a_mult ? ? ? A).
 189
 190 record integration_f_algebra (R:real) : Type \def
 191  { ifa_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 192    ifa_f_algebra:>
 193     f_algebra ? ifa_integration_riesz_space
 194      (irs_unit ? ifa_integration_riesz_space)
 195  }.