matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "vector_spaces.ma".
  18
  19 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  20  { (* abelian semigroup properties *)
  21    l_comm_j: symmetric ? join;
  22    l_associative_j: associative ? join;
  23    l_comm_m: symmetric ? meet;
  24    l_associative_m: associative ? meet;
  25    (* other properties *)
  26    l_adsorb_j_m: ∀f,g. join f (meet f g) = f;
  27    l_adsorb_m_j: ∀f,g. meet f (join f g) = f
  28  }.
  29
  30 record lattice (C:Type) : Type \def
  31  { join: C → C → C;
  32    meet: C → C → C;
  33    l_lattice_properties: is_lattice ? join meet
  34  }.
  35
  36 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. meet ? L f g = f.
  37
  38 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
  39  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
  40
  41 definition lt \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. le ? L f g ∧ f ≠ g.
  42
  43 interpretation "Lattice lt" 'lt a b =
  44  (cic:/matita/integration_algebras/lt.con _ _ a b).
  45
  46 definition carrier_of_lattice ≝
  47  λC:Type.λL:lattice C.C.
  48
  49 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:vector_space K)
  50  (L:lattice (Type_OF_vector_space ? V))
  51 : Prop
  52 \def
  53  { rs_compat_le_plus: ∀f,g,h. le ? L f g → le ? L (f+h) (g+h);
  54    rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f. of_le ? 0 a → le ? L 0 f → le ? L 0 (a*f)
  55  }.
  56
  57 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  58  { rs_vector_space:> vector_space K;
  59    rs_lattice:> lattice rs_vector_space;
  60    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_vector_space rs_lattice
  61  }.
  62
  63 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.join ? S f (-f).
  64
  65 (*CSC: qui la notazione non fa capire!!! *)
  66 definition is_riesz_norm ≝
  67  λR:real.λV:riesz_space R.λnorm:norm ? V.
  68   ∀f,g:V. le ? V (absolute_value ? V f) (absolute_value ? V g) →
  69    of_le R (norm f) (norm g).
  70
  71 record riesz_norm (R:real) (V:riesz_space R) : Type ≝
  72  { rn_norm:> norm ? V;
  73    rn_riesz_norm_property: is_riesz_norm ? ? rn_norm
  74  }.
  75
  76 (*CSC: non fa la chiusura delle coercion verso funclass *)
  77 definition rn_function ≝
  78  λR:real.λV:riesz_space R.λnorm:riesz_norm ? V.
  79   n_function ? ? (rn_norm ? ? norm).
  80
  81 coercion cic:/matita/integration_algebras/rn_function.con 1.
  82
  83 (************************** L-SPACES *************************************)
  84
  85 record is_l_space (R:real) (V:riesz_space R) (norm:riesz_norm ? V) : Prop ≝
  86  { ls_banach: is_complete ? V (induced_distance ? ? norm);
  87    ls_linear: ∀f,g:V. le ? V 0 f → le ? V 0 g → norm (f+g) = norm f + norm g
  88  }.
  89
  90 (******************** ARCHIMEDEAN RIESZ SPACES ***************************)
  91
  92 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
  93 \def
  94   { ars_archimedean: ∃u.∀n.∀a.∀p:n > O.
  95      le ? S
  96       (absolute_value ? S a)
  97       ((inv ? (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero ? n p))* u) →
  98      a = 0
  99   }.
 100
 101 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 102  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
 103    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
 104  }.
 105
 106 record is_integral (K) (R:archimedean_riesz_space K) (I:R→K) : Prop
 107 \def
 108  { i_positive: ∀f:R. le ? R 0 f → of_le K 0 (I f);
 109    i_linear1: ∀f,g:R. I (f + g) = I f + I g;
 110    i_linear2: ∀f:R.∀k:K. I (k*f) = k*(I f)
 111  }.
 112
 113 definition is_weak_unit ≝
 114 (* This definition is by Spitters. He cites Fremlin 353P, but:
 115    1. that theorem holds only in f-algebras (as in Spitters, but we are
 116       defining it on Riesz spaces)
 117    2. Fremlin proves |x|/\u=0 \to u=0. How do we remove the absolute value?
 118  λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λunit: V.
 119   ∀x:V. meet x unit = 0 → u = 0.
 120   3. Fremlin proves u > 0 implies x /\ u > 0  > 0 for Archimedean spaces
 121    only. We pick this definition for now.
 122 *) λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λe:V.
 123     ∀v:V. lt ? V 0 v → lt ? V 0 (meet ? V v e).
 124
 125 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 126    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 127 record integration_riesz_space (R:real) : Type \def
 128  { irs_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space R;
 129    irs_unit: irs_archimedean_riesz_space;
 130    irs_weak_unit: is_weak_unit ? ? irs_unit;
 131    integral: irs_archimedean_riesz_space → R;
 132    irs_integral_properties: is_integral ? ? integral;
 133    irs_limit1:
 134     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 135      tends_to ?
 136       (λn.integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 137        ((sum_field R n)*irs_unit)))
 138        (integral f);
 139    irs_limit2:
 140     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 141      tends_to ?
 142       (λn.
 143         integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 144          ((inv ? (sum_field R (S n))
 145            (not_eq_sum_field_zero R (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 146          ) * irs_unit))) 0;
 147    irs_quotient_space1:
 148     ∀f,g:irs_archimedean_riesz_space.
 149      integral (absolute_value ? irs_archimedean_riesz_space (f - g)) = 0 → f=g
 150  }.
 151
 152 definition induced_norm_fun ≝
 153  λR:real.λV:integration_riesz_space R.λf:V.
 154   integral ? ? (absolute_value ? ? f).
 155
 156 lemma induced_norm_is_norm:
 157  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.is_norm ? V (induced_norm_fun ? V).
 158  intros;
 159  apply mk_is_norm;
 160   [ apply mk_is_semi_norm;
 161      [ unfold induced_norm_fun;
 162        intros;
 163        apply i_positive;
 164        [ apply (irs_integral_properties ? V)
 165        | (* difficile *)
 166          elim daemon
 167        ]
 168      | intros;
 169        unfold induced_norm_fun;
 170        (* facile *)
 171        elim daemon
 172      | intros;
 173        unfold induced_norm_fun;
 174        (* difficile *)
 175        elim daemon
 176      ]
 177   | intros;
 178     unfold induced_norm_fun in H;
 179     apply irs_quotient_space1;
 180     unfold minus;
 181     rewrite < plus_comm;
 182     rewrite < eq_zero_opp_zero;
 183     rewrite > zero_neutral;
 184     assumption
 185   ].
 186 qed.
 187
 188 definition induced_norm ≝
 189  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 190   mk_norm ? ? (induced_norm_fun ? V) (induced_norm_is_norm ? V).
 191
 192 lemma is_riesz_norm_induced_norm:
 193  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.
 194   is_riesz_norm ? ? (induced_norm ? V).
 195  intros;
 196  unfold is_riesz_norm;
 197  intros;
 198  unfold induced_norm;
 199  simplify;
 200  unfold induced_norm_fun;
 201  (* difficile *)
 202  elim daemon.
 203 qed.
 204
 205 definition induced_riesz_norm ≝
 206  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 207   mk_riesz_norm ? ? (induced_norm ? V) (is_riesz_norm_induced_norm ? V).
 208
 209 definition distance_induced_by_integral ≝
 210  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 211   induced_distance ? ? (induced_norm R V).
 212
 213 definition is_complete_integration_riesz_space ≝
 214  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 215   is_complete ? ? (distance_induced_by_integral ? V).
 216
 217 record complete_integration_riesz_space (R:real) : Type ≝
 218  { cirz_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 219    cirz_complete_integration_riesz_space_property:
 220     is_complete_integration_riesz_space ? cirz_integration_riesz_space
 221  }.
 222
 223 (* now we prove that any complete integration riesz space is an L-space *)
 224
 225 theorem is_l_space_l_space_induced_by_integral:
 226  ∀R:real.∀V:complete_integration_riesz_space R.
 227   is_l_space ? ? (induced_riesz_norm ? V).
 228  intros;
 229  constructor 1;
 230   [ apply cirz_complete_integration_riesz_space_property
 231   | intros;
 232     unfold induced_riesz_norm;
 233     simplify;
 234     unfold induced_norm;
 235     simplify;
 236     unfold induced_norm_fun;
 237     (* difficile *)
 238     elim daemon
 239   ].
 240 qed.
 241
 242 (**************************** f-ALGEBRAS ********************************)
 243
 244 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
 245 ≝
 246  { (* ring properties *)
 247    a_ring: is_ring V mult one;
 248    (* algebra properties *)
 249    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
 250    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 251  }.
 252
 253 record algebra (K: field) (V:vector_space K) (a_one:V) : Type \def
 254  { a_mult: V → V → V;
 255    a_algebra_properties: is_algebra ? ? a_mult a_one
 256  }.
 257
 258 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 259  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ _ _ a b).
 260
 261 definition ring_of_algebra ≝
 262  λK.λV:vector_space K.λone:V.λA:algebra ? V one.
 263   mk_ring V (a_mult ? ? ? A) one
 264    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? ? ? A)).
 265
 266 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 267
 268 record is_f_algebra (K) (S:archimedean_riesz_space K) (one: S)
 269  (A:algebra ? S one) : Prop
 270 \def
 271 { compat_mult_le:
 272    ∀f,g:S.
 273     le ? S 0 f → le ? S 0 g → le ? S 0 (a_mult ? ? ? A f g);
 274   compat_mult_meet:
 275    ∀f,g,h:S.
 276     meet ? S f g = 0 → meet ? S (a_mult ? ? ? A h f) g = 0
 277 }.
 278
 279 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) (R:archimedean_riesz_space K) (one:R) :
 280 Type \def
 281 { fa_algebra:> algebra ? R one;
 282   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? ? ? fa_algebra
 283 }.
 284
 285 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 286 axiom symmetric_a_mult:
 287  ∀K,R,one.∀A:f_algebra K R one. symmetric ? (a_mult ? ? ? A).
 288
 289 record integration_f_algebra (R:real) : Type \def
 290  { ifa_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 291    ifa_f_algebra:>
 292     f_algebra ? ifa_integration_riesz_space
 293      (irs_unit ? ifa_integration_riesz_space)
 294  }.