matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18
  19 record is_vector_space (K: field) (G:abelian_group) (emult:K→G→G) : Prop
  20 ≝
  21  { vs_nilpotent: ∀v. emult 0 v = 0;
  22    vs_neutral: ∀v. emult 1 v = v;
  23    vs_distributive: ∀a,b,v. emult (a + b) v = (emult a v) + (emult b v);
  24    vs_associative: ∀a,b,v. emult (a * b) v = emult a (emult b v)
  25  }.
  26
  27 record vector_space (K:field): Type \def
  28 { vs_abelian_group :> abelian_group;
  29   emult: K → vs_abelian_group → vs_abelian_group;
  30   vs_vector_space_properties :> is_vector_space ? vs_abelian_group emult
  31 }.
  32
  33 interpretation "Vector space external product" 'times a b =
  34  (cic:/matita/integration_algebras/emult.con _ _ a b).
  35
  36 record is_semi_norm (R:real) (V: vector_space R) (semi_norm:V→R) : Prop \def
  37  { sn_positive: ∀x:V. 0 ≤ semi_norm x;
  38    sn_omogeneous: ∀a:R.∀x:V. semi_norm (a*x) = (abs ? a) * semi_norm x;
  39    sn_triangle_inequality: ∀x,y:V. semi_norm (x + y) ≤ semi_norm x + semi_norm y
  40  }.
  41
  42 theorem eq_semi_norm_zero_zero:
  43  ∀R:real.∀V:vector_space R.∀semi_norm:V→R.
  44   is_semi_norm ? ? semi_norm →
  45    semi_norm 0 = 0.
  46  intros;
  47  (* facile *)
  48  elim daemon.
  49 qed.
  50
  51 record is_norm (R:real) (V:vector_space R) (norm:V → R) : Prop \def
  52  { n_semi_norm:> is_semi_norm ? ? norm;
  53    n_properness: ∀x:V. norm x = 0 → x = 0
  54  }.
  55
  56 record is_semi_distance (R:real) (C:Type) (semi_d: C→C→R) : Prop \def
  57  { sd_positive: ∀x,y:C. 0 ≤ semi_d x y;
  58    sd_properness: \forall x:C. semi_d x x = 0;
  59    sd_triangle_inequality: ∀x,y,z:C. semi_d x z ≤ semi_d x y + semi_d z y
  60  }.
  61
  62 record is_distance (R:real) (C:Type) (d:C→C→R) : Prop \def
  63  { d_semi_distance:> is_semi_distance ? ? d;
  64    d_properness: ∀x,y:C. d x y = 0 → x=y
  65  }.
  66
  67 definition induced_distance ≝
  68  λR:real.λV:vector_space R.λnorm:V→R.
  69   λf,g:V.norm (f - g).
  70
  71 theorem induced_distance_is_distance:
  72  ∀R:real.∀V:vector_space R.∀norm:V→R.
  73   is_norm ? ? norm → is_distance ? ? (induced_distance ? ? norm).
  74  intros;
  75  apply mk_is_distance;
  76   [ apply mk_is_semi_distance;
  77     [ unfold induced_distance;
  78       intros;
  79       apply sn_positive;
  80       apply n_semi_norm;
  81       assumption
  82     | unfold induced_distance;
  83       intros;
  84       unfold minus;
  85       rewrite < plus_comm;
  86       rewrite > opp_inverse;
  87       apply eq_semi_norm_zero_zero;
  88       apply n_semi_norm;
  89       assumption
  90     | unfold induced_distance;
  91       intros;
  92       (* ??? *)
  93       elim daemon
  94     ]
  95   | unfold induced_distance;
  96     intros;
  97     generalize in match (n_properness ? ? ? H ? H1);
  98     intro;
  99     (* facile *)
 100     elim daemon
 101   ].
 102 qed.
 103
 104 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
 105  { (* abelian semigroup properties *)
 106    l_comm_j: symmetric ? join;
 107    l_associative_j: associative ? join;
 108    l_comm_m: symmetric ? meet;
 109    l_associative_m: associative ? meet;
 110    (* other properties *)
 111    l_adsorb_j_m: ∀f,g. join f (meet f g) = f;
 112    l_adsorb_m_j: ∀f,g. meet f (join f g) = f
 113  }.
 114
 115 record lattice (C:Type) : Type \def
 116  { join: C → C → C;
 117    meet: C → C → C;
 118    l_lattice_properties: is_lattice ? join meet
 119  }.
 120
 121 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. meet ? L f g = f.
 122
 123 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
 124  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
 125
 126 definition lt \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. le ? L f g ∧ f ≠ g.
 127
 128 interpretation "Lattice lt" 'lt a b =
 129  (cic:/matita/integration_algebras/lt.con _ _ a b).
 130
 131 definition carrier_of_lattice ≝
 132  λC:Type.λL:lattice C.C.
 133
 134 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:vector_space K)
 135  (L:lattice (Type_OF_vector_space ? V))
 136 : Prop
 137 \def
 138  { rs_compat_le_plus: ∀f,g,h. le ? L f g → le ? L (f+h) (g+h);
 139    rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f. of_le ? 0 a → le ? L 0 f → le ? L 0 (a*f)
 140  }.
 141
 142 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 143  { rs_vector_space:> vector_space K;
 144    rs_lattice:> lattice rs_vector_space;
 145    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_vector_space rs_lattice
 146  }.
 147
 148 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.join ? S f (-f).
 149
 150 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
 151 \def
 152   { ars_archimedean: ∃u.∀n.∀a.∀p:n > O.
 153      le ? S
 154       (absolute_value ? S a)
 155       ((inv ? (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero ? n p))* u) →
 156      a = 0
 157   }.
 158
 159 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 160  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
 161    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
 162  }.
 163
 164 record is_integral (K) (R:archimedean_riesz_space K) (I:R→K) : Prop
 165 \def
 166  { i_positive: ∀f:R. le ? R 0 f → of_le K 0 (I f);
 167    i_linear1: ∀f,g:R. I (f + g) = I f + I g;
 168    i_linear2: ∀f:R.∀k:K. I (k*f) = k*(I f)
 169  }.
 170
 171 definition is_weak_unit ≝
 172 (* This definition is by Spitters. He cites Fremlin 353P, but:
 173    1. that theorem holds only in f-algebras (as in Spitters, but we are
 174       defining it on Riesz spaces)
 175    2. Fremlin proves |x|/\u=0 \to u=0. How do we remove the absolute value?
 176  λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λunit: V.
 177   ∀x:V. meet x unit = 0 → u = 0.
 178   3. Fremlin proves u > 0 implies x /\ u > 0  > 0 for Archimedean spaces
 179    only. We pick this definition for now.
 180 *) λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λe:V.
 181     ∀v:V. lt ? V 0 v → lt ? V 0 (meet ? V v e).
 182
 183 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 184    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 185 record integration_riesz_space (R:real) : Type \def
 186  { irs_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space R;
 187    irs_unit: irs_archimedean_riesz_space;
 188    irs_weak_unit: is_weak_unit ? ? irs_unit;
 189    integral: irs_archimedean_riesz_space → R;
 190    irs_integral_properties: is_integral ? ? integral;
 191    irs_limit1:
 192     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 193      tends_to ?
 194       (λn.integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 195        ((sum_field R n)*irs_unit)))
 196        (integral f);
 197    irs_limit2:
 198     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 199      tends_to ?
 200       (λn.
 201         integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 202          ((inv ? (sum_field R (S n))
 203            (not_eq_sum_field_zero R (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 204          ) * irs_unit))) 0;
 205    irs_quotient_space1:
 206     ∀f,g:irs_archimedean_riesz_space.
 207      integral (absolute_value ? irs_archimedean_riesz_space (f - g)) = 0 → f=g
 208  }.
 209
 210 definition induced_norm ≝
 211  λR:real.λV:integration_riesz_space R.λf:V.
 212   integral ? ? (absolute_value ? ? f).
 213
 214 lemma induced_norm_is_norm:
 215  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.is_norm ? V (induced_norm ? V).
 216  intros;
 217  apply mk_is_norm;
 218   [ apply mk_is_semi_norm;
 219      [ unfold induced_norm;
 220        intros;
 221        apply i_positive;
 222        [ apply (irs_integral_properties ? V)
 223        | (* difficile *)
 224          elim daemon
 225        ]
 226      | intros;
 227        unfold induced_norm;
 228        (* facile *)
 229        elim daemon
 230      | intros;
 231        unfold induced_norm;
 232        (* difficile *)
 233        elim daemon
 234      ]
 235   | intros;
 236     unfold induced_norm in H;
 237     apply irs_quotient_space1;
 238     unfold minus;
 239     rewrite < plus_comm;
 240     rewrite < eq_zero_opp_zero;
 241     rewrite > zero_neutral;
 242     assumption
 243   ].
 244 qed.
 245
 246 definition distance_induced_by_integral ≝
 247  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 248   induced_distance ? ? (induced_norm R V).
 249
 250 theorem distance_induced_by_integral_is_distance:
 251  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.
 252   is_distance ? ? (distance_induced_by_integral ? V).
 253  intros;
 254  unfold distance_induced_by_integral;
 255  apply induced_distance_is_distance;
 256  apply induced_norm_is_norm.
 257 qed.
 258
 259 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
 260 ≝
 261  { (* ring properties *)
 262    a_ring: is_ring V mult one;
 263    (* algebra properties *)
 264    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
 265    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 266  }.
 267
 268 record algebra (K: field) (V:vector_space K) (a_one:V) : Type \def
 269  { a_mult: V → V → V;
 270    a_algebra_properties: is_algebra ? ? a_mult a_one
 271  }.
 272
 273 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 274  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ _ _ a b).
 275
 276 definition ring_of_algebra ≝
 277  λK.λV:vector_space K.λone:V.λA:algebra ? V one.
 278   mk_ring V (a_mult ? ? ? A) one
 279    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? ? ? A)).
 280
 281 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 282
 283 record is_f_algebra (K) (S:archimedean_riesz_space K) (one: S)
 284  (A:algebra ? S one) : Prop
 285 \def
 286 { compat_mult_le:
 287    ∀f,g:S.
 288     le ? S 0 f → le ? S 0 g → le ? S 0 (a_mult ? ? ? A f g);
 289   compat_mult_meet:
 290    ∀f,g,h:S.
 291     meet ? S f g = 0 → meet ? S (a_mult ? ? ? A h f) g = 0
 292 }.
 293
 294 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) (R:archimedean_riesz_space K) (one:R) :
 295 Type \def
 296 { fa_algebra:> algebra ? R one;
 297   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? ? ? fa_algebra
 298 }.
 299
 300 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 301 axiom symmetric_a_mult:
 302  ∀K,R,one.∀A:f_algebra K R one. symmetric ? (a_mult ? ? ? A).
 303
 304 record integration_f_algebra (R:real) : Type \def
 305  { ifa_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 306    ifa_f_algebra:>
 307     f_algebra ? ifa_integration_riesz_space
 308      (irs_unit ? ifa_integration_riesz_space)
 309  }.