matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "vector_spaces.ma".
  18 include "lattices.ma".
  19
  20 (**************** Riesz Spaces ********************)
  21
  22 record pre_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  23  { rs_vector_space:> vector_space K;
  24    rs_lattice_: lattice;
  25    rs_ordered_abelian_group_: ordered_abelian_group;
  26    rs_with1:
  27     og_abelian_group rs_ordered_abelian_group_ = vs_abelian_group ? rs_vector_space;
  28    rs_with2:
  29     og_ordered_set rs_ordered_abelian_group_ = ordered_set_of_lattice rs_lattice_
  30  }.
  31
  32 lemma rs_lattice: ∀K.pre_riesz_space K → lattice.
  33  intros (K V);
  34  cut (os_carrier (rs_lattice_ ? V) = V);
  35   [ apply mk_lattice;
  36      [ apply (carrier V)
  37      | apply (eq_rect ? ? (λC:Type.C→C→C) ? ? Hcut);
  38        apply l_join
  39      | apply (eq_rect ? ? (λC:Type.C→C→C) ? ? Hcut);
  40        apply l_meet
  41      | apply
  42         (eq_rect' ? ?
  43          (λa:Type.λH:os_carrier (rs_lattice_ ? V)=a.
  44           is_lattice a
  45            (eq_rect Type (rs_lattice_ K V) (λC:Type.C→C→C)
  46              (l_join (rs_lattice_ K V)) a H)
  47            (eq_rect Type (rs_lattice_ K V) (λC:Type.C→C→C)
  48              (l_meet (rs_lattice_ K V)) a H))
  49          ? ? Hcut);
  50        simplify;
  51        apply l_lattice_properties
  52      ]
  53   | transitivity (os_carrier (rs_ordered_abelian_group_ ? V));
  54     [ apply (eq_f ? ? os_carrier);
  55       symmetry;
  56       apply rs_with2
  57     | apply (eq_f ? ? carrier);
  58       apply rs_with1
  59     ]
  60   ].
  61 qed.
  62
  63 coercion cic:/matita/integration_algebras/rs_lattice.con.
  64
  65 lemma rs_ordered_abelian_group: ∀K.pre_riesz_space K → ordered_abelian_group.
  66  intros (K V);
  67  apply mk_ordered_abelian_group;
  68   [ apply mk_pre_ordered_abelian_group;
  69      [ apply (vs_abelian_group ? (rs_vector_space ? V))
  70      | apply (ordered_set_of_lattice (rs_lattice ? V))
  71      | reflexivity
  72      ]
  73   | simplify;
  74     generalize in match
  75      (og_ordered_abelian_group_properties (rs_ordered_abelian_group_ ? V));
  76     intro P;
  77     unfold in P;
  78     elim daemon(*
  79     apply
  80      (eq_rect ? ?
  81       (λO:ordered_set.
  82         ∀f,g,h.
  83          os_le O f g →
  84           os_le O
  85            (plus (abelian_group_OF_pre_riesz_space K V) f h)
  86            (plus (abelian_group_OF_pre_riesz_space K V) g h))
  87       ? ? (rs_with2 ? V));
  88     apply
  89      (eq_rect ? ?
  90       (λG:abelian_group.
  91         ∀f,g,h.
  92          os_le (ordered_set_OF_pre_riesz_space K V) f g →
  93           os_le (ordered_set_OF_pre_riesz_space K V)
  94            (plus (abelian_group_OF_pre_riesz_space K V) f h)
  95            (plus (abelian_group_OF_pre_riesz_space K V) g h))
  96       ? ? (rs_with1 ? V));
  97     simplify;
  98     apply og_ordered_abelian_group_properties*)
  99   ]
 100 qed.
 101
 102 coercion cic:/matita/integration_algebras/rs_ordered_abelian_group.con.
 103
 104 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:pre_riesz_space K) : Prop ≝
 105  { rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f:V. zero K≤a → zero V≤f → zero V≤a*f
 106  }.
 107
 108 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 109  { rs_pre_riesz_space:> pre_riesz_space K;
 110    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_pre_riesz_space
 111  }.
 112
 113 record is_positive_linear (K) (V:riesz_space K) (T:V→K) : Prop ≝
 114  { positive: ∀u:V. 0≤u → 0≤T u;
 115    linear1: ∀u,v:V. T (u+v) = T u + T v;
 116    linear2: ∀u:V.∀k:K. T (k*u) = k*(T u)
 117  }.
 118
 119 record sequentially_order_continuous (K) (V:riesz_space K) (T:V→K) : Prop ≝
 120  { soc_incr:
 121     ∀a:nat→V.∀l:V.is_increasing ? a → is_sup V a l →
 122      is_increasing K (λn.T (a n)) ∧ tends_to ? (λn.T (a n)) (T l)
 123  }.
 124
 125 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.l_join S f (-f).
 126
 127 (**************** Normed Riesz spaces ****************************)
 128
 129 definition is_riesz_norm ≝
 130  λR:real.λV:riesz_space R.λnorm:norm R V.
 131   ∀f,g:V. absolute_value ? V f ≤ absolute_value ? V g →
 132    n_function R V norm f ≤ n_function R V norm g.
 133
 134 record riesz_norm (R:real) (V:riesz_space R) : Type ≝
 135  { rn_norm:> norm R V;
 136    rn_riesz_norm_property: is_riesz_norm ? ? rn_norm
 137  }.
 138
 139 (*CSC: non fa la chiusura delle coercion verso funclass *)
 140 definition rn_function ≝
 141  λR:real.λV:riesz_space R.λnorm:riesz_norm ? V.
 142   n_function R V (rn_norm ? ? norm).
 143
 144 coercion cic:/matita/integration_algebras/rn_function.con 1.
 145
 146 (************************** L-SPACES *************************************)
 147 (*
 148 record is_l_space (R:real) (V:riesz_space R) (norm:riesz_norm ? V) : Prop ≝
 149  { ls_banach: is_complete ? V (induced_distance ? ? norm);
 150    ls_linear: ∀f,g:V. le ? V 0 f → le ? V 0 g → norm (f+g) = norm f + norm g
 151  }.
 152 *)
 153 (******************** ARCHIMEDEAN RIESZ SPACES ***************************)
 154
 155 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
 156 \def
 157   { ars_archimedean: ∃u:S.∀n.∀a.∀p:n > O.
 158      absolute_value ? S a ≤
 159       (inv K (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero K n p))* u →
 160      a = 0
 161   }.
 162
 163 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 164  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
 165    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
 166  }.
 167
 168 definition is_weak_unit ≝
 169 (* This definition is by Spitters. He cites Fremlin 353P, but:
 170    1. that theorem holds only in f-algebras (as in Spitters, but we are
 171       defining it on Riesz spaces)
 172    2. Fremlin proves |x|/\u=0 \to u=0. How do we remove the absolute value?
 173  λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λunit: V.
 174   ∀x:V. meet x unit = 0 → u = 0.
 175   3. Fremlin proves u > 0 implies x /\ u > 0  > 0 for Archimedean spaces
 176    only. We pick this definition for now.
 177 *) λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λe:V.
 178     ∀v:V. lt V 0 v → lt V 0 (l_meet V v e).
 179
 180 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 181    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 182 record integration_riesz_space (R:real) : Type \def
 183  { irs_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space R;
 184    irs_unit: irs_archimedean_riesz_space;
 185    irs_weak_unit: is_weak_unit ? ? irs_unit;
 186    integral: irs_archimedean_riesz_space → R;
 187    irs_positive_linear: is_positive_linear ? ? integral;
 188    irs_limit1:
 189     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 190      tends_to ?
 191       (λn.integral (l_meet irs_archimedean_riesz_space f
 192        ((sum_field R n)*irs_unit)))
 193        (integral f);
 194    irs_limit2:
 195     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 196      tends_to ?
 197       (λn.
 198         integral (l_meet irs_archimedean_riesz_space f
 199          ((inv ? (sum_field R (S n))
 200            (not_eq_sum_field_zero R (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 201          ) * irs_unit))) 0;
 202    irs_quotient_space1:
 203     ∀f,g:irs_archimedean_riesz_space.
 204      integral (absolute_value ? irs_archimedean_riesz_space (f - g)) = 0 → f=g
 205  }.
 206
 207 definition induced_norm_fun ≝
 208  λR:real.λV:integration_riesz_space R.λf:V.
 209   integral ? V (absolute_value ? ? f).
 210
 211 lemma induced_norm_is_norm:
 212  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.is_norm R V (induced_norm_fun ? V).
 213  elim daemon.(*
 214  intros;
 215  apply mk_is_norm;
 216   [ apply mk_is_semi_norm;
 217      [ unfold induced_norm_fun;
 218        intros;
 219        apply positive;
 220        [ apply (irs_positive_linear ? V)
 221        | (* difficile *)
 222          elim daemon
 223        ]
 224      | intros;
 225        unfold induced_norm_fun;
 226        (* facile *)
 227        elim daemon
 228      | intros;
 229        unfold induced_norm_fun;
 230        (* difficile *)
 231        elim daemon
 232      ]
 233   | intros;
 234     unfold induced_norm_fun in H;
 235     apply irs_quotient_space1;
 236     unfold minus;
 237     rewrite < plus_comm;
 238     rewrite < eq_zero_opp_zero;
 239     rewrite > zero_neutral;
 240     assumption
 241   ].*)
 242 qed.
 243
 244 definition induced_norm ≝
 245  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 246   mk_norm ? ? (induced_norm_fun ? V) (induced_norm_is_norm ? V).
 247
 248 lemma is_riesz_norm_induced_norm:
 249  ∀R:real.∀V:integration_riesz_space R.
 250   is_riesz_norm ? ? (induced_norm ? V).
 251  intros;
 252  unfold is_riesz_norm;
 253  intros;
 254  unfold induced_norm;
 255  simplify;
 256  unfold induced_norm_fun;
 257  (* difficile *)
 258  elim daemon.
 259 qed.
 260
 261 definition induced_riesz_norm ≝
 262  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 263   mk_riesz_norm ? ? (induced_norm ? V) (is_riesz_norm_induced_norm ? V).
 264
 265 definition distance_induced_by_integral ≝
 266  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 267   induced_distance ? ? (induced_norm R V).
 268
 269 definition is_complete_integration_riesz_space ≝
 270  λR:real.λV:integration_riesz_space R.
 271   is_complete ? ? (distance_induced_by_integral ? V).
 272
 273 record complete_integration_riesz_space (R:real) : Type ≝
 274  { cirz_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 275    cirz_complete_integration_riesz_space_property:
 276     is_complete_integration_riesz_space ? cirz_integration_riesz_space
 277  }.
 278
 279 (* now we prove that any complete integration riesz space is an L-space *)
 280
 281 (*theorem is_l_space_l_space_induced_by_integral:
 282  ∀R:real.∀V:complete_integration_riesz_space R.
 283   is_l_space ? ? (induced_riesz_norm ? V).
 284  intros;
 285  constructor 1;
 286   [ apply cirz_complete_integration_riesz_space_property
 287   | intros;
 288     unfold induced_riesz_norm;
 289     simplify;
 290     unfold induced_norm;
 291     simplify;
 292     unfold induced_norm_fun;
 293     (* difficile *)
 294     elim daemon
 295   ].
 296 qed.*)
 297
 298 (**************************** f-ALGEBRAS ********************************)
 299
 300 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
 301 ≝
 302  { (* ring properties *)
 303    a_ring: is_ring V mult one;
 304    (* algebra properties *)
 305    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
 306    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 307  }.
 308
 309 record algebra (K: field) : Type \def
 310  { a_vector_space:> vector_space K;
 311    a_one: a_vector_space;
 312    a_mult: a_vector_space → a_vector_space → a_vector_space;
 313    a_algebra_properties: is_algebra ? ? a_mult a_one
 314  }.
 315
 316 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 317  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ a b).
 318
 319 definition ring_of_algebra ≝
 320  λK.λA:algebra K.
 321   mk_ring A (a_mult ? A) (a_one ? A)
 322    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? A)).
 323
 324 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 325
 326 record pre_f_algebra (K:ordered_field_ch0) : Type ≝
 327  { fa_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space K;
 328    fa_algebra_:> algebra K;
 329    fa_with: a_vector_space ? fa_algebra_ = rs_vector_space ? fa_archimedean_riesz_space
 330  }.
 331
 332 lemma fa_algebra: ∀K:ordered_field_ch0.pre_f_algebra K → algebra K.
 333  intros (K A);
 334  apply mk_algebra;
 335   [ apply (rs_vector_space ? A)
 336   | elim daemon
 337   | elim daemon
 338   | elim daemon
 339   ]
 340  qed.
 341
 342 coercion cic:/matita/integration_algebras/fa_algebra.con.
 343
 344 record is_f_algebra (K) (A:pre_f_algebra K) : Prop ≝
 345 { compat_mult_le:
 346    ∀f,g:A.
 347     zero A ≤ f → zero A ≤ g → zero A ≤ a_mult ? A f g;
 348   compat_mult_meet:
 349    ∀f,g,h:A.
 350     l_meet A f g = (zero A) → l_meet A (a_mult ? A h f) g = (zero A)
 351 }.
 352
 353 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) : Type ≝
 354 { fa_pre_f_algebra:> pre_f_algebra K;
 355   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? fa_pre_f_algebra
 356 }.
 357
 358 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 359 axiom symmetric_a_mult:
 360  ∀K.∀A:f_algebra K. symmetric ? (a_mult ? A).
 361
 362 record integration_f_algebra (R:real) : Type \def
 363  { ifa_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 364    ifa_f_algebra_: f_algebra R;
 365    ifa_with:
 366     fa_archimedean_riesz_space ? ifa_f_algebra_ =
 367     irs_archimedean_riesz_space ? ifa_integration_riesz_space
 368  }.
 369
 370 axiom ifa_f_algebra: ∀R:real.integration_f_algebra R → f_algebra R.
 371
 372 coercion cic:/matita/integration_algebras/ifa_f_algebra.con.