matita/dama/lattices.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lattices/".
  16
  17 include "ordered_sets.ma".
  18
  19 record pre_lattice (C:Type) : Type \def
  20  { join_: C → C → C;
  21    meet_: C → C → C
  22  }.
  23
  24 definition carrier_of_lattice ≝ λC:Type.λL:pre_lattice C.C.
  25
  26 coercion cic:/matita/lattices/carrier_of_lattice.con.
  27
  28 definition join : ∀C.∀L:pre_lattice C.L→L→L ≝ join_.
  29 definition meet : ∀C.∀L:pre_lattice C.L→L→L ≝ meet_.
  30
  31 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
  32  (cic:/matita/lattices/meet.con _ _ a b).
  33
  34 interpretation "Lattice join" 'or a b =
  35  (cic:/matita/lattices/join.con _ _ a b).
  36
  37 record is_lattice (C:Type) (L:pre_lattice C) : Prop \def
  38  { (* abelian semigroup properties *)
  39    l_comm_j: symmetric ? (join ? L);
  40    l_associative_j: associative ? (join ? L);
  41    l_comm_m: symmetric ? (meet ? L);
  42    l_associative_m: associative ? (meet ? L);
  43    (* other properties *)
  44    l_adsorb_j_m: ∀f,g:L. (f ∨ f ∧ g) = f;
  45    l_adsorb_m_j: ∀f,g:L. (f ∧ (f ∨ g)) = f
  46  }.
  47
  48 record lattice (C:Type) : Type \def
  49  { l_pre_lattice:> pre_lattice C;
  50    l_lattice_properties:> is_lattice ? l_pre_lattice
  51  }.
  52
  53 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g:L. (f ∧ g) = f.
  54
  55 definition ordered_set_of_lattice: ∀C.lattice C → ordered_set C.
  56  intros;
  57  apply mk_ordered_set;
  58   [ apply mk_pre_ordered_set;
  59     apply (le ? l)
  60   | apply mk_is_order_relation;
  61      [ unfold reflexive;
  62        intros;
  63        unfold;
  64        simplify;
  65        unfold le;
  66        change in x with (carrier_of_lattice ? l);
  67        rewrite < (l_adsorb_j_m ? ? l ? x) in ⊢ (? ? (? ? ? ? %) ?);
  68        rewrite > l_adsorb_m_j;
  69         [ reflexivity
  70         | apply (l_lattice_properties ? l)
  71         ]
  72      | intros;
  73        unfold transitive;
  74        simplify;
  75        unfold le;
  76        intros;
  77        rewrite < H;
  78        rewrite > (l_associative_m ? ? l);
  79        rewrite > H1;
  80        reflexivity
  81      | unfold antisimmetric;
  82        unfold os_le;
  83        simplify;
  84        unfold le;
  85        intros;
  86        rewrite < H;
  87        rewrite > (l_comm_m ? ? l);
  88        assumption
  89      ]
  90   ]
  91 qed.
  92
  93 coercion cic:/matita/lattices/ordered_set_of_lattice.con.
  94
  95 (*
  96 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
  97  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
  98
  99 definition lt \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. le ? L f g ∧ f ≠ g.
 100
 101 interpretation "Lattice lt" 'lt a b =
 102  (cic:/matita/integration_algebras/lt.con _ _ a b).
 103 *)
 104
 105 (* The next coercion introduces a cycle in the coercion graph with
 106    unexpected bad results
 107 coercion cic:/matita/integration_algebras/carrier_of_lattice.con.
 108 *)