matita/dama/lattices.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lattices/".
  16
  17 include "ordered_sets.ma".
  18
  19 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  20  { (* abelian semigroup properties *)
  21    l_comm_j: symmetric ? join;
  22    l_associative_j: associative ? join;
  23    l_comm_m: symmetric ? meet;
  24    l_associative_m: associative ? meet;
  25    (* other properties *)
  26    l_adsorb_j_m: ∀f,g:C. join f (meet f g) = f;
  27    l_adsorb_m_j: ∀f,g:C. meet f (join f g) = f
  28  }.
  29
  30 record lattice : Type \def
  31  { l_carrier:> Type;
  32    l_join: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  33    l_meet: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  34    l_lattice_properties:> is_lattice ? l_join l_meet
  35  }.
  36
  37 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
  38  (cic:/matita/lattices/l_meet.con _ a b).
  39
  40 interpretation "Lattice join" 'or a b =
  41  (cic:/matita/lattices/l_join.con _ a b).
  42
  43 definition le \def λL:lattice.λf,g:L. (f ∧ g) = f.
  44
  45 definition ordered_set_of_lattice: lattice → ordered_set.
  46  intros (L);
  47  apply mk_ordered_set;
  48   [2: apply (le L)
  49   | skip
  50   | apply mk_is_order_relation;
  51      [ unfold reflexive;
  52        intros;
  53        unfold;
  54        rewrite < (l_adsorb_j_m ? ? ? L ? x) in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  55        rewrite > l_adsorb_m_j;
  56         [ reflexivity
  57         | apply (l_lattice_properties L)
  58         ]
  59      | intros;
  60        unfold transitive;
  61        unfold le;
  62        intros;
  63        rewrite < H;
  64        rewrite > (l_associative_m ? ? ? L);
  65        rewrite > H1;
  66        reflexivity
  67      | unfold antisimmetric;
  68        unfold le;
  69        intros;
  70        rewrite < H;
  71        rewrite > (l_comm_m ? ? ? L);
  72        assumption
  73      ]
  74   ]
  75 qed.
  76
  77 coercion cic:/matita/lattices/ordered_set_of_lattice.con.