matita/dama/ordered_fields_ch0.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_fields_ch0/".
  16
  17 include "fields.ma".
  18
  19 record is_total_order_relation (C:Type) (le:C→C→Prop) : Type \def
  20  { to_cotransitive: ∀x,y,z:C. le x y → le x z ∨ le z y;
  21    to_antisimmetry: ∀x,y:C. le x y → le y x → x=y
  22  }.
  23
  24 record is_ordered_field_ch0 (F:field) (le:F→F→Prop) : Type \def
  25  { of_total_order_relation:> is_total_order_relation ? le;
  26    of_mult_compat: ∀a,b. le 0 a → le 0 b → le 0 (a*b);
  27    of_plus_compat: ∀a,b,c. le a b → le (a+c) (b+c);
  28    of_weak_tricotomy : ∀a,b. a≠b → le a b ∨ le b a;
  29    (* 0 characteristics *)
  30    of_char0: ∀n. n > O → sum ? (plus F) 0 1 n ≠ 0
  31  }.
  32
  33 record ordered_field_ch0 : Type \def
  34  { of_field:> field;
  35    of_le: of_field → of_field → Prop;
  36    of_ordered_field_properties:> is_ordered_field_ch0 of_field of_le
  37  }.
  38
  39 interpretation "Ordered field le" 'leq a b =
  40  (cic:/matita/ordered_fields_ch0/of_le.con _ a b).
  41
  42 definition lt \def λF:ordered_field_ch0.λa,b:F.a ≤ b ∧ a ≠ b.
  43
  44 interpretation "Ordered field lt" 'lt a b =
  45  (cic:/matita/ordered_fields_ch0/lt.con _ a b).
  46
  47 lemma le_zero_x_to_le_opp_x_zero: ∀F:ordered_field_ch0.∀x:F. 0 ≤ x → -x ≤ 0.
  48 intros;
  49  generalize in match (of_plus_compat ? ? F ? ? (-x) H); intro;
  50  rewrite > zero_neutral in H1;
  51  rewrite > plus_comm in H1;
  52  rewrite > opp_inverse in H1;
  53  assumption.
  54 qed.
  55
  56 lemma le_x_zero_to_le_zero_opp_x: ∀F:ordered_field_ch0.∀x:F. x ≤ 0 → 0 ≤ -x.
  57  intros;
  58  generalize in match (of_plus_compat ? ? F ? ? (-x) H); intro;
  59  rewrite > zero_neutral in H1;
  60  rewrite > plus_comm in H1;
  61  rewrite > opp_inverse in H1;
  62  assumption.
  63 qed.
  64
  65 (*
  66 lemma eq_opp_x_times_opp_one_x: ∀F:ordered_field_ch0.∀x:F.-x = -1*x.
  67  intros;
  68
  69 lemma not_eq_x_zero_to_lt_zero_mult_x_x:
  70  ∀F:ordered_field_ch0.∀x:F. x ≠ 0 → 0 < x * x.
  71  intros;
  72  elim (of_weak_tricotomy ? ? ? ? ? ? ? ? F ? ? H);
  73   [ generalize in match (le_x_zero_to_le_zero_opp_x F ? H1); intro;
  74     generalize in match (of_mult_compat ? ? ? ? ? ? ? ?  F ? ? H2 H2); intro;
  75 *)
  76
  77 axiom lt_zero_to_lt_inv_zero:
  78  ∀F:ordered_field_ch0.∀x:F.∀p:x≠0. 0 < x → 0 < inv ? x p.
  79
  80 (* The ordering is not necessary. *)
  81 axiom not_eq_sum_field_zero: ∀F:ordered_field_ch0.∀n. O<n → sum_field F n ≠ 0.
  82 axiom le_zero_sum_field: ∀F:ordered_field_ch0.∀n. O<n → 0 < sum_field F n.
  83
  84 axiom lt_zero_to_le_inv_zero:
  85  ∀F:ordered_field_ch0.∀n:nat.∀p:sum_field F n ≠ 0. 0 ≤ inv ? (sum_field F n) p.
  86
  87 definition tends_to : ∀F:ordered_field_ch0.∀f:nat→F.∀l:F.Prop.
  88  alias symbol "leq" = "Ordered field le".
  89  alias id "le" = "cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1)".
  90  apply
  91   (λF:ordered_field_ch0.λf:nat → F.λl:F.
  92     ∀n:nat.∃m:nat.∀j:nat. le m j →
  93      l - (inv F (sum_field F (S n)) ?) ≤ f j ∧
  94      f j ≤ l + (inv F (sum_field F (S n)) ?));
  95  apply not_eq_sum_field_zero;
  96  unfold;
  97  auto new.
  98 qed.
  99
 100 (*
 101 definition is_cauchy_seq ≝
 102  λF:ordered_field_ch0.λf:nat→F.
 103   ∀eps:F. 0 < eps →
 104    ∃n:nat.∀M. n ≤ M →
 105     -eps ≤ f M - f n ∧ f M - f n ≤ eps.
 106 *)
 107
 108 definition is_cauchy_seq : ∀F:ordered_field_ch0.∀f:nat→F.Prop.
 109  apply
 110   (λF:ordered_field_ch0.λf:nat→F.
 111     ∀m:nat.
 112      ∃n:nat.∀N. n ≤ N →
 113       -(inv ? (sum_field F (S m)) ?) ≤ f N - f n ∧
 114       f N - f n ≤ inv ? (sum_field F (S m)) ?);
 115  apply not_eq_sum_field_zero;
 116  unfold;
 117  auto.
 118 qed.
 119
 120 definition is_complete ≝
 121  λF:ordered_field_ch0.
 122   ∀f:nat→F. is_cauchy_seq ? f →
 123    ∃l:F. tends_to ? f l.