matita/dama/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/sets/".
  16
  17 include "nat/nat.ma".
  18
  19 definition set   ≝   λX:Type.X → Prop.
  20
  21 definition member_of : ∀X.set X → X → Prop≝ λX.λA:set X.λx.A x.
  22
  23 notation "hvbox(x break ∈ A)" with precedence 60
  24 for @{ 'member_of $x $A }.
  25
  26 interpretation "Member of" 'member_of x A =
  27  (cic:/matita/sets/member_of.con _ A x).
  28
  29 notation "hvbox(x break ∉ A)" with precedence 60
  30 for @{ 'not_member_of $x $A }.
  31
  32 interpretation "Not member of" 'not_member_of x A =
  33  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  34   (cic:/matita/sets/member_of.con _ A x)).
  35
  36 definition emptyset : ∀X.set X ≝  λX:Type.λx:X.False.
  37
  38 notation "∅︀" with precedence 100 for @{ 'emptyset }.
  39
  40 interpretation "Emptyset" 'emptyset =
  41  (cic:/matita/sets/emptyset.con _).
  42
  43 definition subset: ∀X. set X → set X → Prop≝ λX.λA,B:set X.∀x. x ∈ A → x ∈ B.
  44
  45 notation "hvbox(A break ⊆ B)" with precedence 60
  46 for @{ 'subset $A $B }.
  47
  48 interpretation "Subset" 'subset A B =
  49  (cic:/matita/sets/subset.con _ A B).
  50
  51 definition intersection: ∀X. set X → set X → set X ≝
  52  λX.λA,B:set X.λx. x ∈ A ∧ x ∈ B.
  53
  54 notation "hvbox(A break ∩ B)" with precedence 70
  55 for @{ 'intersection $A $B }.
  56
  57 interpretation "Intersection" 'intersection A B =
  58  (cic:/matita/sets/intersection.con _ A B).
  59
  60 definition union: ∀X. set X → set X → set X ≝ λX.λA,B:set X.λx. x ∈ A ∨ x ∈ B.
  61
  62 notation "hvbox(A break ∪ B)" with precedence 65
  63 for @{ 'union $A $B }.
  64
  65 interpretation "Union" 'union A B =
  66  (cic:/matita/sets/union.con _ A B).
  67
  68 definition seq ≝ λX:Type.nat → X.
  69
  70 definition nth ≝  λX.λA:seq X.λi.A i.
  71
  72 notation "hvbox(A \sub i)" with precedence 100
  73 for @{ 'nth $A $i }.
  74
  75 interpretation "nth" 'nth A i =
  76  (cic:/matita/sets/nth.con _ A i).
  77
  78 definition countable_union: ∀X. seq (set X) → set X ≝
  79  λX.λA:seq (set X).λx.∃j.x ∈ A \sub j.
  80
  81 notation "∪ \sub (ident i opt (: ty)) B" with precedence 65
  82 for @{ 'big_union ${default @{(λ${ident i}:$ty.$B)} @{(λ${ident i}.$B)}}}.
  83
  84 interpretation "countable_union" 'big_union η.t =
  85  (cic:/matita/sets/countable_union.con _ t).
  86
  87 definition complement: ∀X. set X \to set X ≝ λX.λA:set X.λx. x ∉ A.
  88
  89 notation "A \sup 'c'" with precedence 100
  90 for @{ 'complement $A }.
  91
  92 interpretation "Complement" 'complement A =
  93  (cic:/matita/sets/complement.con _ A).
  94
  95 definition inverse_image: ∀X,Y.∀f: X → Y.set Y → set X ≝
  96  λX,Y,f,B,x. f x ∈ B.
  97
  98 notation "hvbox(f \sup (-1))" with precedence 100
  99 for @{ 'finverse $f }.
 100
 101 interpretation "Inverse image" 'finverse f =
 102  (cic:/matita/sets/inverse_image.con _ _ f).