matita/dama/vector_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/vector_spaces/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18
  19 record is_vector_space (K: field) (G:abelian_group) (emult:K→G→G) : Prop
  20 ≝
  21  { vs_nilpotent: ∀v. emult 0 v = 0;
  22    vs_neutral: ∀v. emult 1 v = v;
  23    vs_distributive: ∀a,b,v. emult (a + b) v = (emult a v) + (emult b v);
  24    vs_associative: ∀a,b,v. emult (a * b) v = emult a (emult b v)
  25  }.
  26
  27 record vector_space (K:field): Type \def
  28 { vs_abelian_group :> abelian_group;
  29   emult: K → vs_abelian_group → vs_abelian_group;
  30   vs_vector_space_properties :> is_vector_space ? vs_abelian_group emult
  31 }.
  32
  33 interpretation "Vector space external product" 'times a b =
  34  (cic:/matita/vector_spaces/emult.con _ _ a b).
  35
  36 record is_semi_norm (R:real) (V: vector_space R) (semi_norm:V→R) : Prop \def
  37  { sn_positive: ∀x:V. 0 ≤ semi_norm x;
  38    sn_omogeneous: ∀a:R.∀x:V. semi_norm (a*x) = (abs ? a) * semi_norm x;
  39    sn_triangle_inequality: ∀x,y:V. semi_norm (x + y) ≤ semi_norm x + semi_norm y
  40  }.
  41
  42 theorem eq_semi_norm_zero_zero:
  43  ∀R:real.∀V:vector_space R.∀semi_norm:V→R.
  44   is_semi_norm ? ? semi_norm →
  45    semi_norm 0 = 0.
  46  intros;
  47  (* facile *)
  48  elim daemon.
  49 qed.
  50
  51 record is_norm (R:real) (V:vector_space R) (norm:V → R) : Prop ≝
  52  { n_semi_norm:> is_semi_norm ? ? norm;
  53    n_properness: ∀x:V. norm x = 0 → x = 0
  54  }.
  55
  56 record norm (R:real) (V:vector_space R) : Type ≝
  57  { n_function:1> V→R;
  58    n_norm_properties: is_norm ? ? n_function
  59  }.
  60
  61 record is_semi_distance (R:real) (C:Type) (semi_d: C→C→R) : Prop ≝
  62  { sd_positive: ∀x,y:C. 0 ≤ semi_d x y;
  63    sd_properness: ∀x:C. semi_d x x = 0;
  64    sd_triangle_inequality: ∀x,y,z:C. semi_d x z ≤ semi_d x y + semi_d z y
  65  }.
  66
  67 record is_distance (R:real) (C:Type) (d:C→C→R) : Prop ≝
  68  { d_semi_distance:> is_semi_distance ? ? d;
  69    d_properness: ∀x,y:C. d x y = 0 → x=y
  70  }.
  71
  72 record distance (R:real) (V:vector_space R) : Type ≝
  73  { d_function:2> V→V→R;
  74    d_distance_properties: is_distance ? ? d_function
  75  }.
  76
  77 definition induced_distance_fun ≝
  78  λR:real.λV:vector_space R.λnorm:norm ? V.
  79   λf,g:V.norm (f - g).
  80
  81 theorem induced_distance_is_distance:
  82  ∀R:real.∀V:vector_space R.∀norm:norm ? V.
  83   is_distance ? ? (induced_distance_fun ? ? norm).
  84  intros;
  85  apply mk_is_distance;
  86   [ apply mk_is_semi_distance;
  87     [ unfold induced_distance_fun;
  88       intros;
  89       apply sn_positive;
  90       apply n_semi_norm;
  91       apply (n_norm_properties ? ? norm)
  92     | unfold induced_distance_fun;
  93       intros;
  94       unfold minus;
  95       rewrite < plus_comm;
  96       rewrite > opp_inverse;
  97       apply eq_semi_norm_zero_zero;
  98       apply n_semi_norm;
  99       apply (n_norm_properties ? ? norm)
 100     | unfold induced_distance_fun;
 101       intros;
 102       (* ??? *)
 103       elim daemon
 104     ]
 105   | unfold induced_distance_fun;
 106     intros;
 107     generalize in match (n_properness ? ? norm ? ? H);
 108      [ intro;
 109        (* facile *)
 110        elim daemon
 111      | apply (n_norm_properties ? ? norm)
 112      ]
 113   ].
 114 qed.
 115
 116 definition induced_distance ≝
 117  λR:real.λV:vector_space R.λnorm:norm ? V.
 118   mk_distance ? ? (induced_distance_fun ? ? norm)
 119    (induced_distance_is_distance ? ? norm).
 120
 121 definition tends_to :
 122  ∀R:real.∀V:vector_space R.∀d:distance ? V.∀f:nat→V.∀l:V.Prop.
 123  alias symbol "leq" = "Ordered field le".
 124  alias id "le" = "cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1)".
 125 apply
 126   (λR:real.λV:vector_space R.λd:distance ? V.λf:nat→V.λl:V.
 127     ∀n:nat.∃m:nat.∀j:nat. le m j →
 128      d (f j) l ≤ inv R (sum_field ? (S n)) ?);
 129  apply not_eq_sum_field_zero;
 130  unfold;
 131  auto new.
 132 qed.
 133
 134 definition is_cauchy_seq : ∀R:real.\forall V:vector_space R.
 135 \forall d:distance ? V.∀f:nat→V.Prop.
 136  apply
 137   (λR:real.λV: vector_space R. \lambda d:distance ? V.
 138    \lambda f:nat→V.
 139     ∀m:nat.
 140      ∃n:nat.∀N. le n N →
 141       -(inv R (sum_field ? (S m)) ?) ≤ d (f N)  (f n)  ∧
 142       d (f N)  (f n)≤ inv R (sum_field R (S m)) ?);
 143  apply not_eq_sum_field_zero;
 144  unfold;
 145  auto.
 146 qed.
 147
 148 definition is_complete ≝
 149  λR:real.λV:vector_space R.
 150  λd:distance ? V.
 151   ∀f:nat→V. is_cauchy_seq ? ? d f→
 152    ex V (λl:V. tends_to ? ? d f l).