matita/help/C/sec_terms.xml

   1
   2 <!-- =========== Terms, declarations and definitions ============ -->
   3
   4 <chapter id="sec_terms">
   5   <title>Syntax</title>
   6   <para>To describe syntax in this manual we use the following conventions:</para>
   7   <orderedlist>
   8     <listitem><para>Non terminal symbols are emphasized and have a link to their
   9         definition. E.g.: &term;</para></listitem>
  10     <listitem><para>Terminal symbols are in bold. E.g.:
  11         <emphasis role="bold">theorem</emphasis></para></listitem>
  12     <listitem><para>Optional sequences of elements are put in square brackets.
  13         E.g.: [<emphasis role="bold">in</emphasis> &term;]</para></listitem>
  14     <listitem><para>Alternatives are put in square brakets and they are
  15         separated by vertical bars. E.g.: [<emphasis role="bold">&lt;</emphasis>|<emphasis role="bold">&gt;</emphasis>]</para></listitem>
  16     <listitem><para>Repetitions of a sequence of elements are given by putting the
  17     sequence in square brackets, that are followed by three dots. The empty
  18     sequence is a valid repetition.
  19     E.g.: [<emphasis role="bold">and</emphasis> &term;]…</para></listitem>
  20     <listitem><para>Characters belonging to a set of characters are given
  21      by listing the set elements in square brackets. Hyphens are used to
  22      specify ranges of characters in the set.
  23      E.g.: [<emphasis role="bold">a</emphasis>-<emphasis role="bold">zA</emphasis>-<emphasis role="bold">Z0</emphasis>-<emphasis role="bold">9_-</emphasis>]</para></listitem>
  24   </orderedlist>
  25   <sect1 id="terms_and_co">
  26   <title>Terms &amp; co.</title>
  27   <sect2 id="lexical">
  28   <title>Lexical conventions</title>
  29     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  30       <title>id</title>
  31       <tgroup cols="4">
  32       <tbody>
  33        <row>
  34         <entry id="grammar.id">&id;</entry>
  35         <entry>::=</entry>
  36         <entry><emphasis>〈〈any sequence of letters, underscores or valid <ulink type="http" url="http://www.w3.org/TR/2004/REC-xml-20040204/#NT-Digit">XML digits</ulink> prefixed by a latin letter ([a-zA-Z]) and post-fixed by a possible empty sequence of decorators ([?'`])〉〉</emphasis></entry>
  37        </row>
  38       </tbody>
  39      </tgroup>
  40     </table>
  41     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  42       <title>nat</title>
  43       <tgroup cols="4">
  44       <tbody>
  45        <row>
  46         <entry id="grammar.nat">&nat;</entry>
  47         <entry>::=</entry>
  48         <entry><emphasis>〈〈any sequence of valid <ulink type="http" url="http://www.w3.org/TR/2004/REC-xml-20040204/#NT-Digit">XML digits</ulink>〉〉</emphasis></entry>
  49        </row>
  50       </tbody>
  51      </tgroup>
  52     </table>
  53     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  54       <title>char</title>
  55       <tgroup cols="4">
  56       <tbody>
  57        <row>
  58         <entry id="grammar.char">&char;</entry>
  59         <entry>::=</entry>
  60         <entry>[<emphasis role="bold">a</emphasis>-<emphasis role="bold">zA</emphasis>-<emphasis role="bold">Z0</emphasis>-<emphasis role="bold">9_-</emphasis>]</entry>
  61        </row>
  62       </tbody>
  63      </tgroup>
  64     </table>
  65     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  66       <title>uri-step</title>
  67       <tgroup cols="4">
  68       <tbody>
  69        <row>
  70         <entry id="grammar.uri-step">&uri-step;</entry>
  71         <entry>::=</entry>
  72         <entry>&char;[&char;]…</entry>
  73        </row>
  74       </tbody>
  75      </tgroup>
  76     </table>
  77     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
  78       <title>uri</title>
  79       <tgroup cols="4">
  80       <tbody>
  81        <row>
  82         <entry id="grammar.uri">&uri;</entry>
  83         <entry>::=</entry>
  84         <entry>[<emphasis role="bold">cic:/</emphasis>|<emphasis role="bold">theory:/</emphasis>]&uri-step;[<emphasis role="bold">/</emphasis>&uri-step;]…<emphasis role="bold">.</emphasis>&id;[<emphasis role="bold">.</emphasis>&id;]…[<emphasis role="bold">#xpointer(</emphasis>&nat;<emphasis role="bold">/</emphasis>&nat;[<emphasis role="bold">/</emphasis>&nat;]…<emphasis role="bold">)</emphasis>]</entry>
  85        </row>
  86       </tbody>
  87      </tgroup>
  88     </table>
  89   </sect2>
  90   <sect2 id="terms">
  91   <title>Terms</title>
  92
  93   <!-- ZACK: Sample EBNF snippet, see:
  94   http://www.docbook.org/tdg/en/html/productionset.html -->
  95   <!--
  96   <productionset>
  97     <title>Terms</title>
  98     <production id="grammar.term">
  99       <lhs>&term;</lhs>
 100       <rhs>&sterm;</rhs>
 101       <lineannotation></lineannotation>
 102     </production>
 103   </productionset>
 104   -->
 105
 106   <para>
 107   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 108     <title>Terms</title>
 109     <tgroup cols="4">
 110     <tbody>
 111      <row>
 112       <entry id="grammar.term">&term;</entry>
 113       <entry>::=</entry>
 114       <entry>&sterm;</entry>
 115       <entry>simple or delimited term</entry>
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 120       <entry>&term; &term;</entry>
 121       <entry>application</entry>
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 126       <entry><emphasis role="bold">λ</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 127       <entry>λ-abstraction</entry>
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 131       <entry>|</entry>
 132       <entry><emphasis role="bold">Π</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 133       <entry>dependent product meant to define a datatype</entry>
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 138       <entry><emphasis role="bold">∀</emphasis>&args;<emphasis role="bold">.</emphasis>&term;</entry>
 139       <entry>dependent product meant to define a proposition</entry>
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 144       <entry>&term; <emphasis role="bold">→</emphasis> &term;</entry>
 145       <entry>non-dependent product (logical implication or function space)</entry>
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 150       <entry><emphasis role="bold">let</emphasis> [&id;|(&id;<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;)] <emphasis role="bold">≝</emphasis> &term; <emphasis role="bold">in</emphasis> &term;</entry>
 151       <entry>local definition</entry>
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 155       <entry>|</entry>
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 157         <emphasis role="bold">let</emphasis>
 158         [<emphasis role="bold">co</emphasis>]<emphasis role="bold">rec</emphasis>
 159         &rec_def;
 160       </entry>
 161       <entry>(co)recursive definitions</entry>
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 167       [<emphasis role="bold">and</emphasis> &rec_def;]…
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 175       <emphasis role="bold">in</emphasis> &term;
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 182       <entry>…</entry>
 183       <entry>user provided notation</entry>
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 185       <row>
 186         <entry id="grammar.rec_def">&rec_def;</entry>
 187         <entry>::=</entry>
 188         <entry>
 189           &id; [&id;|<emphasis role="bold">(</emphasis>&id;[<emphasis role="bold">,</emphasis>&term;]… <emphasis role="bold">:</emphasis>&term;<emphasis role="bold">)</emphasis>]…
 190         </entry>
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 196           [<emphasis role="bold">on</emphasis> &nat;]
 197           [<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]
 198           <emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]
 199         </entry>
 200       </row>
 201     </tbody>
 202    </tgroup>
 203   </table>
 204
 205   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 206     <title>Simple terms</title>
 207     <tgroup cols="4">
 208     <tbody>
 209      <row>
 210       <entry id="grammar.sterm">&sterm;</entry>
 211       <entry>::=</entry>
 212       <entry><emphasis role="bold">(</emphasis>&term;<emphasis role="bold">)</emphasis></entry>
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 218       <entry>&id;[<emphasis role="bold">\subst[</emphasis>
 219        &id;<emphasis role="bold">≔</emphasis>&term;
 220        [<emphasis role="bold">;</emphasis>&id;<emphasis role="bold">≔</emphasis>&term;]…
 221        <emphasis role="bold">]</emphasis>]
 222       </entry>
 223       <entry>identifier with optional explicit named substitution</entry>
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 229       <entry>a qualified reference</entry>
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 235       <entry>the impredicative sort of propositions</entry>
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 252       <entry><emphasis role="bold">?</emphasis></entry>
 253       <entry>implicit argument</entry>
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 257       <entry>|</entry>
 258       <entry><emphasis role="bold">?n</emphasis>
 259       [<emphasis role="bold">[</emphasis>
 260       [<emphasis role="bold">_</emphasis>|&term;]…
 261       <emphasis role="bold">]</emphasis>]</entry>
 262       <entry>metavariable</entry>
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 266       <entry>|</entry>
 267         <entry><emphasis role="bold">match</emphasis> &term;
 268         [ <emphasis role="bold">in</emphasis> &term; ]
 269         [ <emphasis role="bold">return</emphasis> &term; ]
 270         <emphasis role="bold">with</emphasis>
 271       </entry>
 272       <entry>case analysis</entry>
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 278        <emphasis role="bold">[</emphasis>
 279        &match_branch;[<emphasis role="bold">|</emphasis>&match_branch;]…
 280        <emphasis role="bold">]</emphasis>
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 288       <entry>cast</entry>
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 292       <entry>|</entry>
 293       <entry>…</entry>
 294       <entry>user provided notation at precedence 90</entry>
 295      </row>
 296     </tbody>
 297    </tgroup>
 298   </table>
 299
 300   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 301     <title>Arguments</title>
 302     <tgroup cols="4">
 303     <tbody>
 304      <row>
 305       <entry id="grammar.args">&args;</entry>
 306       <entry>::=</entry>
 307       <entry>
 308        <emphasis role="bold">_</emphasis>[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]
 309       </entry>
 310       <entry>ignored argument</entry>
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 316        <emphasis role="bold">(</emphasis><emphasis role="bold">_</emphasis>[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]<emphasis role="bold">)</emphasis>
 317       </entry>
 318       <entry>ignored argument</entry>
 319      </row>
 320      <row>
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 323       <entry>&id;[<emphasis role="bold">,</emphasis>&id;]…[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;]</entry>
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 333       <entry id="grammar.args2">&args2;</entry>
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 335       <entry>&id;</entry>
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 343      </row>
 344     </tbody>
 345    </tgroup>
 346   </table>
 347
 348   <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 349     <title>Pattern matching</title>
 350     <tgroup cols="4">
 351     <tbody>
 352       <row>
 353         <entry id="grammar.match_branch">&match_branch;</entry>
 354         <entry>::=</entry>
 355         <entry>&match_pattern; <emphasis role="bold">⇒</emphasis> &term;</entry>
 356       </row>
 357      <row>
 358       <entry id="grammar.match_pattern">&match_pattern;</entry>
 359       <entry>::=</entry>
 360       <entry>&id;</entry>
 361       <entry>0-ary constructor</entry>
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 363      <row>
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 365       <entry>|</entry>
 366       <entry><emphasis role="bold">(</emphasis>&id; &id; [&id;]…<emphasis role="bold">)</emphasis></entry>
 367       <entry>n-ary constructor (binds the n arguments)</entry>
 368      </row>
 369     </tbody>
 370    </tgroup>
 371   </table>
 372   </para>
 373
 374   </sect2>
 375   </sect1>
 376
 377   <sect1 id="axiom_definition_declaration">
 378    <title>Definitions and declarations</title>
 379    <sect2 id="axiom">
 380     <title><emphasis role="bold">axiom</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;</title>
 381     <titleabbrev>axiom</titleabbrev>
 382     <para><userinput>axiom H: P</userinput></para>
 383     <para><command>H</command> is declared as an axiom that states <command>P</command></para>
 384   </sect2>
 385   <sect2 id="definition">
 386     <title><emphasis role="bold">definition</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 387     <titleabbrev>definition</titleabbrev>
 388     <para><userinput>definition f: T ≝ t</userinput></para>
 389     <para><command>f</command> is defined as <command>t</command>;
 390      <command>T</command> is its type. An error is raised if the type of
 391      <command>t</command> is not convertible to <command>T</command>.</para>
 392     <para><command>T</command> is inferred from <command>t</command> if
 393       omitted.</para>
 394     <para><command>t</command> can be omitted only if <command>T</command> is
 395      given. In this case Matita enters in interactive mode and
 396      <command>f</command> must be defined by means of tactics.</para>
 397     <para>Notice that the command is equivalent to <command>theorem f: T ≝ t</command>.</para>
 398   </sect2>
 399   <sect2 id="inductive">
 400     <title>[<emphasis role="bold">inductive</emphasis>|<emphasis role="bold">coinductive</emphasis>] &id; [&args2;]… <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis> [<emphasis role="bold">|</emphasis>] [&id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;] [<emphasis role="bold">|</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;]…
 401 [<emphasis role="bold">with</emphasis> &id; <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis> [<emphasis role="bold">|</emphasis>] [&id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;] [<emphasis role="bold">|</emphasis> &id;<emphasis role="bold">:</emphasis>&term;]…]…
 402 </title>
 403     <titleabbrev>(co)inductive types declaration</titleabbrev>
 404     <para><userinput>inductive i x y z: S ≝ k1:T1 | … | kn:Tn with i' : S' ≝ k1':T1' | … | km':Tm'</userinput></para>
 405     <para>Declares a family of two mutually inductive types
 406      <command>i</command> and <command>i'</command> whose types are
 407      <command>S</command> and <command>S'</command>, which must be convertible
 408      to sorts.</para>
 409     <para>The constructors <command>ki</command> of type <command>Ti</command>
 410      and <command>ki'</command> of type <command>Ti'</command> are also
 411      simultaneously declared. The declared types <command>i</command> and
 412      <command>i'</command> may occur in the types of the constructors, but
 413      only in strongly positive positions according to the rules of the
 414      calculus.</para>
 415     <para>The whole family is parameterized over the arguments <command>x,y,z</command>.</para>
 416     <para>If the keyword <command>coinductive</command> is used, the declared
 417      types are considered mutually coinductive.</para>
 418     <para>Elimination principles for the record are automatically generated
 419      by Matita, if allowed by the typing rules of the calculus according to
 420      the sort <command>S</command>. If generated,
 421      they are named <command>i_ind</command>, <command>i_rec</command> and
 422      <command>i_rect</command> according to the sort of their induction
 423      predicate.</para>
 424   </sect2>
 425   <sect2 id="record">
 426     <title><emphasis role="bold">record</emphasis> &id; [&args2;]… <emphasis role="bold">:</emphasis> &term; <emphasis role="bold">≝</emphasis><emphasis role="bold">{</emphasis>[&id; [<emphasis role="bold">:</emphasis>|<emphasis role="bold">:&gt;</emphasis>] &term;] [<emphasis role="bold">;</emphasis>&id; [<emphasis role="bold">:</emphasis>|<emphasis role="bold">:&gt;</emphasis>] &term;]…<emphasis role="bold">}</emphasis></title>
 427     <titleabbrev>record</titleabbrev>
 428     <para><userinput>record id x y z: S ≝ { f1: T1; …; fn:Tn }</userinput></para>
 429     <para>Declares a new record family <command>id</command> parameterized over
 430      <command>x,y,z</command>.</para>
 431     <para><command>S</command> is the type of the record
 432      and it must be convertible to a sort.</para>
 433     <para>Each field <command>fi</command> is declared by giving its type
 434      <command>Ti</command>. A record without any field is admitted.</para>
 435     <para>Elimination principles for the record are automatically generated
 436      by Matita, if allowed by the typing rules of the calculus according to
 437      the sort <command>S</command>. If generated,
 438      they are named <command>i_ind</command>, <command>i_rec</command> and
 439      <command>i_rect</command> according to the sort of their induction
 440      predicate.</para>
 441     <para>For each field <command>fi</command> a record projection
 442      <command>fi</command> is also automatically generated if projection
 443      is allowed by the typing rules of the calculus according to the
 444      sort <command>S</command>, the type <command>T1</command> and
 445      the definability of depending record projections.</para>
 446     <para>If the type of a field is declared with <command>:&gt;</command>,
 447      the corresponding record projection becomes an implicit coercion.
 448      This is just syntactic sugar and it has the same effect of declaring the
 449      record projection as a coercion later on.</para>
 450   </sect2>
 451   </sect1>
 452
 453   <sect1 id="proofs">
 454    <title>Proofs</title>
 455    <sect2 id="theorem">
 456     <title><emphasis role="bold">theorem</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 457     <titleabbrev>theorem</titleabbrev>
 458     <para><userinput>theorem f: P ≝ p</userinput></para>
 459     <para>Proves a new theorem <command>f</command> whose thesis is
 460      <command>P</command>.</para>
 461     <para>If <command>p</command> is provided, it must be a proof term for
 462      <command>P</command>. Otherwise an interactive proof is started.</para>
 463     <para><command>P</command> can be omitted only if the proof is not
 464      interactive.</para>
 465     <para>Proving a theorem already proved in the library is an error.
 466      To provide an alternative name and proof for the same theorem, use
 467      <command>variant f: P ≝ p</command>.</para>
 468     <para>A warning is raised if the name of the theorem cannot be obtained
 469       by mangling the name of the constants in its thesis.</para>
 470     <para>Notice that the command is equivalent to <command>definition f: T ≝ t</command>.</para>
 471    </sect2>
 472    <sect2 id="variant">
 473     <title><emphasis role="bold">variant</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 474     <titleabbrev>variant</titleabbrev>
 475     <para><userinput>variant f: T ≝ t</userinput></para>
 476     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command>, but it does not
 477      complain if the theorem has already been proved. To be used to give
 478      an alternative name or proof to a theorem.</para>
 479    </sect2>
 480    <sect2 id="lemma">
 481     <title><emphasis role="bold">lemma</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 482     <titleabbrev>lemma</titleabbrev>
 483     <para><userinput>lemma f: T ≝ t</userinput></para>
 484     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 485    </sect2>
 486    <sect2 id="fact">
 487     <title><emphasis role="bold">fact</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 488     <titleabbrev>fact</titleabbrev>
 489     <para><userinput>fact f: T ≝ t</userinput></para>
 490     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 491    </sect2>
 492    <sect2 id="remark">
 493     <title><emphasis role="bold">remark</emphasis> &id;[<emphasis role="bold">:</emphasis> &term;] [<emphasis role="bold">≝</emphasis> &term;]</title>
 494     <titleabbrev>remark</titleabbrev>
 495     <para><userinput>remark f: T ≝ t</userinput></para>
 496     <para>Same as <command>theorem f: T ≝ t</command></para>
 497    </sect2>
 498   </sect1>
 499
 500   <sect1 id="tacticargs">
 501    <title>Tactic arguments</title>
 502    <para>This section documents the syntax of some recurring arguments for
 503     tactics.</para>
 504
 505     <sect2 id="introsspec">
 506     <title>intros-spec</title>
 507     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 508       <title>intros-spec</title>
 509       <tgroup cols="4">
 510       <tbody>
 511        <row>
 512         <entry id="grammar.intros-spec">&intros-spec;</entry>
 513         <entry>::=</entry>
 514         <entry>[&nat;] [<emphasis role="bold">(</emphasis>[&id;]…<emphasis role="bold">)</emphasis>]</entry>
 515        </row>
 516       </tbody>
 517      </tgroup>
 518     </table>
 519         <para>The natural number is the number of new hypotheses to be introduced. The list of identifiers gives the name for the first hypotheses.</para>
 520     </sect2>
 521
 522     <sect2 id="pattern">
 523     <title>pattern</title>
 524     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 525       <title>pattern</title>
 526       <tgroup cols="4">
 527       <tbody>
 528        <row>
 529         <entry id="grammar.pattern">&pattern;</entry>
 530         <entry>::=</entry>
 531         <entry>&TODO;</entry>
 532        </row>
 533       </tbody>
 534      </tgroup>
 535     </table>
 536         <para>&TODO;</para>
 537     </sect2>
 538
 539     <sect2 id="reduction-kind">
 540     <title>reduction-kind</title>
 541     <para>Reduction kinds are normalization functions that transform a term
 542      to a convertible but simpler one. Each reduction kind can be used both
 543      as a tactic argument and as a stand-alone tactic.</para>
 544     <table frame="topbot" rowsep="0" colsep="0" role="grammar">
 545       <title>reduction-kind</title>
 546       <tgroup cols="4">
 547       <tbody>
 548        <row>
 549         <entry id="grammar.reduction-kind">&reduction-kind;</entry>
 550         <entry>::=</entry>
 551         <entry><emphasis role="bold">demodulate</emphasis></entry>
 552        </row>
 553        <row>
 554         <entry/>
 555         <entry>|</entry>
 556         <entry><emphasis role="bold">normalize</emphasis></entry>
 557         <entry>Computes the βδιζ-normal form</entry>
 558        </row>
 559        <row>
 560         <entry/>
 561         <entry>|</entry>
 562         <entry><emphasis role="bold">reduce</emphasis></entry>
 563         <entry>Computes the βδιζ-normal form</entry>
 564        </row>
 565        <row>
 566         <entry/>
 567         <entry>|</entry>
 568         <entry><emphasis role="bold">simplify</emphasis></entry>
 569         <entry>Computes a form supposed to be simpler</entry>
 570        </row>
 571        <row>
 572         <entry/>
 573         <entry>|</entry>
 574         <entry><emphasis role="bold">unfold</emphasis> [&sterm;]</entry>
 575         <entry>δ-reduces the constant or variable if specified, or that
 576          in head position</entry>
 577        </row>
 578        <row>
 579         <entry/>
 580         <entry>|</entry>
 581         <entry><emphasis role="bold">whd</emphasis></entry>
 582         <entry>Computes the βδιζ-weak-head normal form</entry>
 583        </row>
 584       </tbody>
 585      </tgroup>
 586     </table>
 587     </sect2>
 588   </sect1>
 589
 590 </chapter>
 591