matita/library/Fsub/util.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Fsub/util".
  16 include "logic/equality.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "list/list.ma".
  19
  20 (*** useful definitions and lemmas not really related to Fsub ***)
  21
  22 let rec max m n \def
  23   match (leb m n) with
  24      [true \Rightarrow n
  25      |false \Rightarrow m].
  26
  27 inductive in_list (A:Type): A → (list A) → Prop ≝
  28 | in_Base : ∀ x,l.(in_list A x (x::l))
  29 | in_Skip : ∀ x,y,l.(in_list A x l) → (x ≠ y) → (in_list A x (y::l)).
  30
  31 notation > "hvbox(x ∈ l)"
  32   non associative with precedence 30 for @{ 'inlist $x $l }.
  33 notation < "hvbox(x \nbsp ∈ \nbsp l)"
  34   non associative with precedence 30 for @{ 'inlist $x $l }.
  35 interpretation "item in list" 'inlist x l =
  36   (cic:/matita/Fsub/util/in_list.ind#xpointer(1/1) _ x l).
  37
  38 lemma in_Skip2 : ∀x,y,l.(in_list nat x l) → (in_list nat x (y::l)).
  39 intros;elim (decidable_eq_nat x y)
  40   [rewrite > H1;apply in_Base
  41   |apply (in_Skip ? ? ? ? H H1)]
  42 qed.
  43
  44 definition incl : \forall A.(list A) \to (list A) \to Prop \def
  45   \lambda A,l,m.\forall x.(in_list A x l) \to (in_list A x m).
  46
  47 (* FIXME: use the map in library/list (when there will be one) *)
  48 definition map : \forall A,B,f.((list A) \to (list B)) \def
  49   \lambda A,B,f.let rec map (l : (list A)) : (list B) \def
  50     match l in list return \lambda l0:(list A).(list B) with
  51       [nil \Rightarrow (nil B)
  52       |(cons (a:A) (t:(list A))) \Rightarrow
  53         (cons B (f a) (map t))] in map.
  54
  55 lemma in_list_nil : \forall A,x.\lnot (in_list A x []).
  56 intros.unfold.intro.inversion H
  57   [intros;lapply (sym_eq ? ? ? H2);destruct Hletin
  58   |intros;destruct H5]
  59 qed.
  60
  61 lemma in_cons_case : ∀A.∀x,h:A.∀t:list A.x ∈ h::t → x = h ∨ (x ≠ h ∧ (x ∈ t)).
  62 intros;inversion H;intros
  63   [destruct H2;left;symmetry;assumption
  64   |destruct H5;right;split [rewrite > Hcut|rewrite > Hcut1] assumption ]
  65 qed.
  66
  67 lemma max_case : \forall m,n.(max m n) = match (leb m n) with
  68       [ false \Rightarrow n
  69       | true \Rightarrow m ].
  70 intros;elim m;simplify;reflexivity;
  71 qed.