matita/library/Z/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Z/orders".
  16
  17 include "Z/z.ma".
  18 include "nat/orders.ma".
  19
  20 definition Zle : Z \to Z \to Prop \def
  21 \lambda x,y:Z.
  22   match x with
  23   [ OZ \Rightarrow
  24     match y with
  25     [ OZ \Rightarrow True
  26     | (pos m) \Rightarrow True
  27     | (neg m) \Rightarrow False ]
  28   | (pos n) \Rightarrow
  29     match y with
  30     [ OZ \Rightarrow False
  31     | (pos m) \Rightarrow n \leq m
  32     | (neg m) \Rightarrow False ]
  33   | (neg n) \Rightarrow
  34     match y with
  35     [ OZ \Rightarrow True
  36     | (pos m) \Rightarrow True
  37     | (neg m) \Rightarrow m \leq n ]].
  38
  39 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  40 interpretation "integer 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/Z/orders/Zle.con x y).
  41 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  42 interpretation "integer 'neither less nor equal to'" 'nleq x y =
  43   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/Z/orders/Zle.con x y)).
  44
  45 definition Zlt : Z \to Z \to Prop \def
  46 \lambda x,y:Z.
  47   match x with
  48   [ OZ \Rightarrow
  49     match y with
  50     [ OZ \Rightarrow False
  51     | (pos m) \Rightarrow True
  52     | (neg m) \Rightarrow False ]
  53   | (pos n) \Rightarrow
  54     match y with
  55     [ OZ \Rightarrow False
  56     | (pos m) \Rightarrow n<m
  57     | (neg m) \Rightarrow False ]
  58   | (neg n) \Rightarrow
  59     match y with
  60     [ OZ \Rightarrow True
  61     | (pos m) \Rightarrow True
  62     | (neg m) \Rightarrow m<n ]].
  63
  64 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  65 interpretation "integer 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/Z/orders/Zlt.con x y).
  66 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  67 interpretation "integer 'not less than'" 'nless x y =
  68   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/Z/orders/Zlt.con x y)).
  69
  70 theorem irreflexive_Zlt: irreflexive Z Zlt.
  71 unfold irreflexive.unfold Not.
  72 intro.elim x.exact H.
  73 cut (neg n < neg n \to False).
  74 apply Hcut.apply H.simplify.unfold lt.apply not_le_Sn_n.
  75 cut (pos n < pos n \to False).
  76 apply Hcut.apply H.simplify.unfold lt.apply not_le_Sn_n.
  77 qed.
  78
  79 theorem irrefl_Zlt: irreflexive Z Zlt
  80 \def irreflexive_Zlt.
  81
  82 theorem Zlt_neg_neg_to_lt:
  83 \forall n,m:nat. neg n < neg m \to m < n.
  84 intros.apply H.
  85 qed.
  86
  87 theorem lt_to_Zlt_neg_neg: \forall n,m:nat.m < n \to neg n < neg m.
  88 intros.
  89 simplify.apply H.
  90 qed.
  91
  92 theorem Zlt_pos_pos_to_lt:
  93 \forall n,m:nat. pos n < pos m \to n < m.
  94 intros.apply H.
  95 qed.
  96
  97 theorem lt_to_Zlt_pos_pos: \forall n,m:nat.n < m \to pos n < pos m.
  98 intros.
  99 simplify.apply H.
 100 qed.
 101
 102 theorem Zlt_to_Zle: \forall x,y:Z. x < y \to Zsucc x \leq y.
 103 intros 2.
 104 elim x.
 105 (* goal: x=OZ *)
 106   cut (OZ < y \to Zsucc OZ \leq y).
 107     apply Hcut. assumption.
 108     simplify.elim y.
 109       simplify.exact H1.
 110       simplify.apply le_O_n.
 111       simplify.exact H1.
 112 (* goal: x=pos *)
 113   exact H.
 114 (* goal: x=neg *)
 115   cut (neg n < y \to Zsucc (neg n) \leq y).
 116     apply Hcut. assumption.
 117     elim n.
 118       cut (neg O < y \to Zsucc (neg O) \leq y).
 119         apply Hcut. assumption.
 120         simplify.elim y.
 121           simplify.exact I.
 122           simplify.exact I.
 123           simplify.apply (not_le_Sn_O n1 H2).
 124       cut (neg (S n1) < y \to (Zsucc (neg (S n1))) \leq y).
 125         apply Hcut. assumption.simplify.
 126         elim y.
 127           simplify.exact I.
 128           simplify.exact I.
 129           simplify.apply (le_S_S_to_le n2 n1 H3).
 130 qed.