matita/library/algebra/monoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/algebra/monoids/".
  16
  17 include "algebra/semigroups.ma".
  18
  19 record PreMonoid : Type ≝
  20  { magma:> Magma;
  21    e: magma
  22  }.
  23
  24 record isMonoid (M:PreMonoid) : Prop ≝
  25  { is_semi_group:> isSemiGroup M;
  26    e_is_left_unit:
  27     is_left_unit (mk_SemiGroup ? is_semi_group) (e M);
  28    e_is_right_unit:
  29     is_right_unit (mk_SemiGroup ? is_semi_group) (e M)
  30  }.
  31
  32 record Monoid : Type ≝
  33  { premonoid:> PreMonoid;
  34    monoid_properties:> isMonoid premonoid
  35  }.
  36
  37 notation "1" with precedence 89
  38 for @{ 'munit }.
  39
  40 interpretation "Monoid unit" 'munit =
  41  (cic:/matita/algebra/monoids/e.con _).
  42
  43 definition is_left_inverse ≝
  44  λM:Monoid.
  45   λopp: M → M.
  46    ∀x:M. (opp x)·x = 1.
  47
  48 definition is_right_inverse ≝
  49  λM:Monoid.
  50   λopp: M → M.
  51    ∀x:M. x·(opp x) = 1.
  52
  53 theorem is_left_inverse_to_is_right_inverse_to_eq:
  54  ∀M:Monoid. ∀l,r.
  55   is_left_inverse M l → is_right_inverse M r →
  56    ∀x:M. l x = r x.
  57  intros;
  58  generalize in match (H x); intro;
  59  generalize in match (eq_f ? ? (λy.y·(r x)) ? ? H2);
  60  simplify; fold simplify (op M);
  61  intro; clear H2;
  62  generalize in match (op_associative ? (is_semi_group ? (monoid_properties M)));
  63  intro;
  64  rewrite > H2 in H3; clear H2;
  65  rewrite > H1 in H3;
  66  rewrite > (e_is_left_unit ? (monoid_properties M)) in H3;
  67  rewrite > (e_is_right_unit ? (monoid_properties M)) in H3;
  68  assumption.
  69 qed.