matita/library/assembly/byte.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/assembly/byte".
  16
  17 include "exadecimal.ma".
  18
  19 record byte : Type ≝ {
  20  bh: exadecimal;
  21  bl: exadecimal
  22 }.
  23
  24 definition eqbyte ≝
  25  λb,b'. eqex (bh b) (bh b') ∧ eqex (bl b) (bl b').
  26
  27 definition plusbyte ≝
  28  λb1,b2,c.
  29   match plusex (bl b1) (bl b2) c with
  30    [ couple l c' ⇒
  31       match plusex (bh b1) (bh b2) c' with
  32        [ couple h c'' ⇒ couple ? ? (mk_byte h l) c'' ]].
  33
  34 definition nat_of_byte ≝ λb:byte. 16*(bh b) + (bl b).
  35
  36 coercion cic:/matita/assembly/byte/nat_of_byte.con.
  37
  38 definition byte_of_nat ≝
  39  λn. mk_byte (exadecimal_of_nat (n / 16)) (exadecimal_of_nat n).
  40
  41 lemma byte_of_nat_nat_of_byte: ∀b. byte_of_nat (nat_of_byte b) = b.
  42  intros;
  43  elim b;
  44  elim e;
  45  elim e1;
  46  reflexivity.
  47 qed.
  48
  49 lemma lt_nat_of_byte_256: ∀b. nat_of_byte b < 256.
  50  intro;
  51  unfold nat_of_byte;
  52  letin H ≝ (lt_nat_of_exadecimal_16 (bh b)); clearbody H;
  53  letin K ≝ (lt_nat_of_exadecimal_16 (bl b)); clearbody K;
  54  unfold lt in H K ⊢ %;
  55  letin H' ≝ (le_S_S_to_le ? ? H); clearbody H'; clear H;
  56  letin K' ≝ (le_S_S_to_le ? ? K); clearbody K'; clear K;
  57  apply le_S_S;
  58  cut (16*bh b ≤ 16*15);
  59   [ letin Hf ≝ (le_plus ? ? ? ? Hcut K'); clearbody Hf;
  60     simplify in Hf:(? ? %);
  61     assumption
  62   | autobatch
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 lemma nat_of_byte_byte_of_nat: ∀n. nat_of_byte (byte_of_nat n) = n \mod 256.
  67  intro;
  68  letin H ≝ (lt_nat_of_byte_256 (byte_of_nat n)); clearbody H;
  69  rewrite < (lt_to_eq_mod ? ? H); clear H;
  70  unfold byte_of_nat;
  71  unfold nat_of_byte;
  72  change with ((16*(exadecimal_of_nat (n/16)) + exadecimal_of_nat n) \mod 256 = n \mod 256);
  73  letin H ≝ (div_mod n 16 ?); clearbody H; [ autobatch | ];
  74  rewrite > symmetric_times in H;
  75  rewrite > nat_of_exadecimal_exadecimal_of_nat in ⊢ (? ? (? (? % ?) ?) ?);
  76  rewrite > nat_of_exadecimal_exadecimal_of_nat in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
  77  rewrite > H in ⊢ (? ? ? (? % ?)); clear H;
  78  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? % ?);
  79  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? ? %);
  80  apply eq_mod_to_eq_plus_mod;
  81  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? ? %); [ | autobatch];
  82  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? % ?); [ | autobatch];
  83  rewrite < (eq_mod_times_times_mod ? ? 16 256) in ⊢ (? ? (? % ?) ?); [2: reflexivity | ];
  84  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? % ?);
  85   [ reflexivity
  86   | autobatch
  87   ].
  88 qed.
  89
  90 lemma eq_nat_of_byte_n_nat_of_byte_mod_n_256:
  91  ∀n. byte_of_nat n = byte_of_nat (n \mod 256).
  92  intro;
  93  unfold byte_of_nat;
  94  apply eq_f2;
  95   [ rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? % ?);
  96     rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? ? %);
  97     apply eq_f;
  98     elim daemon
  99   | rewrite > exadecimal_of_nat_mod;
 100     rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? ? %);
 101     rewrite > divides_to_eq_mod_mod_mod;
 102      [ reflexivity
 103      | autobatch
 104      ]
 105   ]
 106 qed.
 107
 108 lemma plusbyte_ok:
 109  ∀b1,b2,c.
 110   match plusbyte b1 b2 c with
 111    [ couple r c' ⇒ b1 + b2 + nat_of_bool c = nat_of_byte r + nat_of_bool c' * 256
 112    ].
 113  intros;
 114  unfold plusbyte;
 115  generalize in match (plusex_ok (bl b1) (bl b2) c);
 116  elim (plusex (bl b1) (bl b2) c);
 117  simplify in H ⊢ %;
 118  generalize in match (plusex_ok (bh b1) (bh b2) t1);
 119  elim (plusex (bh b1) (bh b2) t1);
 120  simplify in H1 ⊢ %;
 121  change in ⊢ (? ? ? (? (? % ?) ?)) with (16 * t2);
 122  unfold nat_of_byte;
 123  letin K ≝ (eq_f ? ? (λy.16*y) ? ? H1); clearbody K; clear H1;
 124  rewrite > distr_times_plus in K:(? ? ? %);
 125  rewrite > symmetric_times in K:(? ? ? (? ? (? ? %)));
 126  rewrite < associative_times in K:(? ? ? (? ? %));
 127  normalize in K:(? ? ? (? ? (? % ?)));
 128  rewrite > symmetric_times in K:(? ? ? (? ? %));
 129  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? ? (? % ?));
 130  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? ? %);
 131  letin K' ≝ (eq_f ? ? (plus t) ? ? K); clearbody K'; clear K;
 132   apply transitive_eq; [3: apply K' | skip | ];
 133  clear K';
 134  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
 135  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 136  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? % ?);
 137  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 138  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?);
 139  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? %))) ?);
 140  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?);
 141  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 142  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? % ?)) ?);
 143  rewrite > H; clear H;
 144  autobatch paramodulation.
 145 qed.
 146
 147 definition bpred ≝
 148  λb.
 149   match eqex (bl b) x0 with
 150    [ true ⇒ mk_byte (xpred (bh b)) (xpred (bl b))
 151    | false ⇒ mk_byte (bh b) (xpred (bl b))
 152    ].
 153
 154 lemma plusbyte_O_x:
 155  ∀b. plusbyte (mk_byte x0 x0) b false = couple ? ? b false.
 156  intros;
 157  elim b;
 158  elim e;
 159  elim e1;
 160  reflexivity.
 161 qed.
 162
 163 definition plusbytenc ≝
 164  λx,y.
 165   match plusbyte x y false with
 166    [couple res _ ⇒ res].
 167
 168 definition plusbytec ≝
 169  λx,y.
 170   match plusbyte x y false with
 171    [couple _ c ⇒ c].
 172
 173 lemma plusbytenc_O_x:
 174  ∀x. plusbytenc (mk_byte x0 x0) x = x.
 175  intros;
 176  unfold plusbytenc;
 177  rewrite > plusbyte_O_x;
 178  reflexivity.
 179 qed.
 180
 181 lemma eq_nat_of_byte_mod: ∀b. nat_of_byte b = nat_of_byte b \mod 256.
 182  intro;
 183  lapply (lt_nat_of_byte_256 b);
 184  rewrite > (lt_to_eq_mod ? ? Hletin) in ⊢ (? ? ? %);
 185  reflexivity.
 186 qed.
 187
 188 theorem plusbytenc_ok:
 189  ∀b1,b2:byte. nat_of_byte (plusbytenc b1 b2) = (b1 + b2) \mod 256.
 190  intros;
 191  unfold plusbytenc;
 192  generalize in match (plusbyte_ok b1 b2 false);
 193  elim (plusbyte b1 b2 false);
 194  simplify in H ⊢ %;
 195  change with (nat_of_byte t = (b1 + b2) \mod 256);
 196  rewrite < plus_n_O in H;
 197  rewrite > H; clear H;
 198  rewrite > mod_plus;
 199  letin K ≝ (eq_nat_of_byte_mod t); clearbody K;
 200  letin K' ≝ (eq_mod_times_n_m_m_O (nat_of_bool t1) 256 ?); clearbody K';
 201   [ autobatch | ];
 202  autobatch paramodulation.
 203 qed.
 204
 205
 206
 207 lemma eq_eqbyte_x0_x0_byte_of_nat_S_false:
 208  ∀b. b < 255 → eqbyte (mk_byte x0 x0) (byte_of_nat (S b)) = false.
 209  intros;
 210  unfold byte_of_nat;
 211  cut (b < 15 ∨ b ≥ 15);
 212   [ elim Hcut;
 213     [ unfold eqbyte;
 214       change in ⊢ (? ? (? ? %) ?) with (eqex x0 (exadecimal_of_nat (S b)));
 215       rewrite > eq_eqex_S_x0_false;
 216        [ elim (eqex (bh (mk_byte x0 x0))
 217 (bh (mk_byte (exadecimal_of_nat (S b/16)) (exadecimal_of_nat (S b)))));simplify;
 218 (*
 219  alias id "andb_sym" = "cic:/matita/nat/propr_div_mod_lt_le_totient1_aux/andb_sym.con".
 220          rewrite > andb_sym;
 221 *)
 222          reflexivity
 223        | assumption
 224        ]
 225     | unfold eqbyte;
 226       change in ⊢ (? ? (? % ?) ?) with (eqex x0 (exadecimal_of_nat (S b/16)));
 227       letin K ≝ (leq_m_n_to_eq_div_n_m_S (S b) 16 ? ?);
 228        [ autobatch
 229        | unfold in H1;
 230          apply le_S_S;
 231          assumption
 232        | clearbody K;
 233          elim K; clear K;
 234          rewrite > H2;
 235          rewrite > eq_eqex_S_x0_false;
 236           [ reflexivity
 237           | unfold lt;
 238             unfold lt in H;
 239             rewrite < H2;
 240             clear H2; clear a; clear H1; clear Hcut;
 241             apply (le_times_to_le 16) [ autobatch | ] ;
 242             rewrite > (div_mod (S b) 16) in H;[2:autobatch|]
 243             rewrite > (div_mod 255 16) in H:(? ? %);[2:autobatch|]
 244             lapply (le_to_le_plus_to_le ? ? ? ? ? H);
 245             [apply lt_S_to_le;
 246              apply lt_mod_m_m;autobatch
 247             |rewrite > sym_times;
 248              rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %); (* just to speed up qed *)
 249              normalize in \vdash (? ? %);apply Hletin;
 250             ]
 251           ]
 252        ]
 253     ]
 254   | elim (or_lt_le b 15);unfold ge;autobatch
 255   ].
 256 qed.
 257
 258 lemma eq_bpred_S_a_a:
 259  ∀a. a < 255 → bpred (byte_of_nat (S a)) = byte_of_nat a.
 260 (*
 261  intros;
 262  unfold bpred;
 263  apply (bool_elim ? (eqex (bl (byte_of_nat (S a))) x0)); intros;
 264   [ change with (mk_byte (xpred (bh (byte_of_nat (S a)))) (xpred (bl (byte_of_nat (S a))))
 265      = byte_of_nat a);
 266     rewrite > (eqex_true_to_eq ? ? H1);
 267     normalize in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 268     unfold byte_of_nat;
 269     change with (mk_byte (xpred (exadecimal_of_nat (S a/16))) xF =
 270                  mk_byte (exadecimal_of_nat (a/16)) (exadecimal_of_nat a));
 271
 272
 273   |
 274  change in ⊢ (? ? match ? % ? in bool return ? with [true\rArr ?|false\rArr ?] ?);
 275  unfold byte_of_nat;
 276  unfold bpred;
 277  simplify;
 278 *)
 279 elim daemon. (*
 280  intros;
 281  unfold byte_of_nat;
 282  cut (a \mod 16 = 15 ∨ a \mod 16 < 15);
 283   [ elim Hcut;
 284      [
 285      |
 286      ]
 287   | autobatch
 288   ].*)
 289 qed.
 290
 291 lemma plusbytenc_S:
 292  ∀x:byte.∀n.plusbytenc (byte_of_nat (x*n)) x = byte_of_nat (x * S n).
 293  intros;
 294  rewrite < byte_of_nat_nat_of_byte;
 295  rewrite > (plusbytenc_ok (byte_of_nat (x*n)) x);
 296  rewrite < times_n_Sm;
 297  rewrite > nat_of_byte_byte_of_nat in ⊢ (? ? (? (? (? % ?) ?)) ?);
 298  rewrite > eq_nat_of_byte_n_nat_of_byte_mod_n_256 in ⊢ (? ? ? %);
 299  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? (? %) ?);
 300  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? ? (? %));
 301  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? (? (? (? % ?) ?)) ?); [2: autobatch | ];
 302  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? (? % ?)) ?);
 303  reflexivity.
 304 qed.
 305
 306 lemma eq_plusbytec_x0_x0_x_false:
 307  ∀x.plusbytec (mk_byte x0 x0) x = false.
 308  intro;
 309  elim x;
 310  elim e;
 311  elim e1;
 312  reflexivity.
 313 qed.