matita/library/decidable_kit/fintype.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/decidable_kit/fintype/".
  16
  17 include "decidable_kit/eqtype.ma".
  18 include "decidable_kit/list_aux.ma".
  19
  20 record finType : Type ≝ {
  21   fsort :> eqType;
  22   enum : list fsort;
  23   enum_uniq : ∀x:fsort. count fsort (cmp fsort x) enum = (S O)
  24 }.
  25
  26 definition segment : nat → eqType ≝
  27   λn.sub_eqType nat_eqType (λx:nat_eqType.ltb x n).
  28
  29 definition is_some : ∀d:eqType. option d → bool ≝
  30   λd:eqType.λo:option d.notb (cmp (option_eqType d) (None ?) o).
  31
  32 definition filter ≝
  33   λA,B:Type.λp:A→option B.λl:list A.
  34   foldr A ?
  35     (λx,acc. match (p x) with [None ⇒ acc | (Some y) ⇒ cons B y acc]) (nil B) l.
  36
  37 definition segment_enum  ≝
  38   λbound.filter ? ? (if_p nat_eqType (λx.ltb x bound)) (iota O bound).
  39
  40 lemma iota_ltb : ∀x,p:nat. mem nat_eqType x (iota O p) = ltb x p.
  41 intros (x p); elim p; simplify;[reflexivity]
  42 generalize in match (refl_eq ? (cmp ? x n));
  43 generalize in match (cmp ? x n) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b);
  44 cases b; simplify; intros (H1); rewrite > H; clear H;
  45 rewrite < (leb_eqb x n); rewrite > H1; reflexivity;
  46 qed.
  47
  48 lemma mem_filter :
  49   ∀d1,d2:eqType.∀x:d2.∀l:list d1.∀p:d1 → option d2.
  50   (∀y.mem d1 y l = true →
  51     match (p y) with [None ⇒ false | (Some q) ⇒ cmp d2 x q] = false) →
  52   mem d2 x (filter d1 d2 p l) = false.
  53 intros 5 (d1 d2 x l p);
  54 elim l; simplify; [reflexivity]
  55 generalize in match (refl_eq ? (p t));
  56 generalize in match (p t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b; intros (Hpt);
  57 [1: apply H; intros (y Hyl);
  58     apply H1; simplify;
  59     rewrite > Hyl; rewrite > orbC; reflexivity;
  60 |2: generalize in match (refl_eq ? (cmp ? x s));
  61     generalize in match (cmp ? x s) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
  62     [1: simplify; intros (Exs);
  63         rewrite > orbC; rewrite > H;
  64         [2: intros; apply H1; simplify; rewrite > H2; rewrite > orbC; reflexivity
  65         |1: lapply (H1 t) as H2; [2: simplify; rewrite > cmp_refl; reflexivity]
  66             rewrite > Hpt in H2; simplify in H2; rewrite > H2 in Exs;
  67             destruct Exs;]
  68     |2: intros (Dxs); simplify; rewrite > H;
  69         [2: intros; apply (H1 y); simplify; rewrite > H2; rewrite > orbC; reflexivity
  70         |1: rewrite > Dxs; reflexivity]]]
  71 qed.
  72
  73 lemma count_O :
  74   ∀d:eqType.∀p:d→bool.∀l:list d.
  75     (∀x:d.mem d x l = true → notb (p x) = true) → count d p l = O.
  76 intros 3 (d p l); elim l; simplify; [1: reflexivity]
  77 generalize in match (refl_eq ? (p t));
  78 generalize in match (p t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b);
  79 cases b; simplify;
  80 [2:intros (Hpt); apply H; intros; apply H1; simplify;
  81    generalize in match (refl_eq ? (cmp d x t));
  82    generalize in match (cmp d x t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b1);
  83    cases b1; simplify; intros; [2:rewrite > H2] auto.
  84 |1:intros (H2); lapply (H1 t); [2:simplify; rewrite > cmp_refl; simplify; auto]
  85    rewrite > H2 in Hletin; simplify in Hletin; destruct Hletin]
  86 qed.
  87
  88 lemma segment_finType : nat → finType.
  89 intros (bound);
  90 letin fsort ≝ (segment bound);
  91 letin enum ≝ (segment_enum bound);
  92 cut (∀x:fsort. count fsort (cmp fsort x) enum = (S O));
  93  [ apply (mk_finType fsort enum Hcut)
  94  | intros (x); cases x (n Hn); simplify in Hn; clear x;
  95    generalize in match Hn; generalize in match Hn; clear Hn;
  96    unfold segment_enum;
  97    generalize in match bound in ⊢ (% → ? → ? ? (? ? ? (? ? ? ? %)) ?);
  98    intros 1 (m); elim m  (Hm Hn p IH Hm Hn); [ destruct Hm ]
  99    simplify; cases (eqP bool_eqType (ltb p bound) true); simplify;
 100    [1:unfold segment in ⊢ (? ? match ? % ? ? with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 101       unfold nat_eqType in ⊢ (? ? match % with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 102       simplify;
 103       generalize in match (refl_eq ? (eqb n p));
 104       generalize in match (eqb n p) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1(b); cases b; clear b;
 105       intros (Enp); simplify;
 106       [2:rewrite > IH; [1,3: auto]
 107          rewrite <  ltb_n_Sm in Hm; rewrite > Enp in Hm;
 108          generalize in match Hm; cases (ltb n p); intros; [reflexivity]
 109          simplify in H1; destruct H1;
 110       |1:clear IH; rewrite > (count_O fsort); [reflexivity]
 111          intros 1 (x); rewrite < (b2pT ? ? (eqP ? n ?) Enp);
 112          cases x (y Hy); intros (ABS); clear x;
 113          unfold segment; unfold notb; simplify;
 114          generalize in match (refl_eq ? (cmp ? n y));
 115          generalize in match (cmp ? n y) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 116          intros (Eny); simplify; [2:reflexivity]
 117          rewrite < ABS; symmetry; clear ABS;
 118          generalize in match Hy; clear Hy;
 119          rewrite < (b2pT ? ? (eqP nat_eqType ? ?) Eny);
 120          simplify; intros (Hn); apply (mem_filter nat_eqType fsort); intros (w Hw);
 121          fold simplify (sort nat_eqType); (* CANONICAL?! *)
 122          cases (in_sub_eq nat_eqType (λx:nat_eqType.ltb x bound) w);
 123          simplify; [2: reflexivity]
 124          generalize in match H1; clear H1; cases s; clear s; intros (H1);
 125          unfold segment; simplify; simplify in H1; rewrite > H1;
 126          rewrite > iota_ltb in Hw; apply (p2bF ? ? (eqP nat_eqType ? ?));
 127          unfold Not; intros (Enw); rewrite > Enw in Hw;
 128          rewrite > ltb_refl in Hw; destruct Hw]
 129    |2:rewrite > IH; [1:reflexivity|3:assumption]
 130       rewrite <  ltb_n_Sm in Hm;
 131       cases (b2pT ? ?(orbP ? ?) Hm);[1: assumption]
 132       rewrite > (b2pT ? ? (eqbP ? ?) H1) in Hn;
 133       rewrite > Hn in H; cases (H ?); reflexivity]]
 134 qed.
 135
 136 let rec uniq (d:eqType) (l:list d) on l : bool ≝
 137   match l with
 138   [ nil ⇒ true
 139   | (cons x tl) ⇒ andb (notb (mem d x tl)) (uniq d tl)].
 140
 141 lemma uniq_mem : ∀d:eqType.∀x:d.∀l:list d.uniq d (x::l) = true → mem d x l = false.
 142 intros (d x l H); simplify in H; lapply (b2pT ? ? (andbP ? ?) H) as H1; clear H;
 143 cases H1 (H2 H3); lapply (b2pT ? ?(negbP ?) H2); assumption;
 144 qed.
 145
 146 lemma andbA : ∀a,b,c.andb a (andb b c) = andb (andb a b) c.
 147 intros; cases a; cases b; cases c; reflexivity; qed.
 148
 149 lemma andbC : ∀a,b. andb a b = andb b a.
 150 intros; cases a; cases b; reflexivity; qed.
 151
 152 lemma uniq_tail :
 153   ∀d:eqType.∀x:d.∀l:list d. uniq d (x::l) = andb (negb (mem d x l)) (uniq d l).
 154 intros (d x l); elim l; simplify; [reflexivity]
 155 generalize in match (refl_eq ? (cmp d x t));
 156 generalize in match (cmp d x t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 157 intros (E); simplify ; rewrite > E; [reflexivity]
 158 rewrite > andbA; rewrite > andbC in ⊢ (? ? (? % ?) ?); rewrite < andbA;
 159 rewrite < H; rewrite > andbC in ⊢ (? ? ? (? % ?)); rewrite < andbA; reflexivity;
 160 qed.
 161
 162 lemma count_O_mem : ∀d:eqType.∀x:d.∀l:list d.ltb O (count d (cmp d x) l) = mem d x l.
 163 intros 3 (d x l); elim l [reflexivity] simplify; rewrite < H; cases (cmp d x t);
 164 reflexivity; qed.
 165
 166 lemma uniqP : ∀d:eqType.∀l:list d.
 167   reflect (∀x:d.mem d x l = true → count d (cmp d x) l = (S O)) (uniq d l).
 168 intros (d l); apply prove_reflect; elim l; [1: destruct H1 | 3: destruct H]
 169 [1: generalize in match H2; simplify in H2;
 170     lapply (b2pT ? ? (orbP ? ?) H2) as H3; clear H2;
 171     cases H3; clear H3; intros;
 172     [2: lapply (uniq_mem ? ? ? H1) as H4;
 173         generalize in match (refl_eq ? (cmp d x t));
 174         generalize in match (cmp d x t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 175         intros (H5);
 176         [1: simplify; rewrite > H5; simplify; rewrite > count_O; [reflexivity]
 177             intros (y Hy); rewrite > (b2pT ? ? (eqP d ? ?) H5) in H2 H3 H4 ⊢ %;
 178             clear H5; clear x; rewrite > H2 in H4; destruct H4;
 179          |2: simplify; rewrite > H5; simplify; apply H;
 180              rewrite > uniq_tail in H1; cases (b2pT ? ? (andbP ? ?) H1);
 181              assumption;]
 182     |1: simplify; rewrite > H2; simplify; rewrite > count_O; [reflexivity]
 183         intros (y Hy); rewrite > (b2pT ? ? (eqP d ? ?) H2) in H3 ⊢ %;
 184         clear H2; clear x; lapply (uniq_mem ? ? ? H1) as H4;
 185         generalize in match (refl_eq ? (cmp d t y));
 186         generalize in match (cmp d t y) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b; intros (E);
 187         [1: rewrite > (b2pT ? ? (eqP d ? ?) E) in H4;
 188             rewrite > H4 in Hy; destruct Hy;
 189         |2:intros; reflexivity]]
 190 |2: rewrite > uniq_tail in H1;
 191     generalize in match (refl_eq ? (uniq d l1));
 192     generalize in match (uniq d l1) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 193     [1: intros (E); rewrite > E in H1; rewrite > andbC in H1; simplify in H1;
 194         unfold Not; intros (A); lapply (A t) as A';
 195         [1: simplify in A'; rewrite > cmp_refl in A'; simplify in A';
 196             destruct A'; clear A'; rewrite < count_O_mem in H1;
 197             rewrite > Hcut in H1; destruct H1;
 198         |2: simplify; rewrite > cmp_refl; reflexivity;]
 199     |2: intros (Ul1); lapply (H Ul1); unfold Not; intros (A); apply Hletin;
 200         intros (r Mrl1); lapply (A r);
 201           [2: simplify; rewrite > Mrl1; cases (cmp d r t); reflexivity]
 202         generalize in match (refl_eq ? (cmp d r t));
 203         generalize in match (cmp d r t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 204         [1: intros (E); simplify in Hletin1; rewrite > E in Hletin1;
 205             destruct Hletin1; rewrite < count_O_mem in Mrl1;
 206             rewrite > Hcut in Mrl1; destruct Mrl1;
 207         |2: intros; simplify in Hletin1; rewrite > H2 in Hletin1;
 208             simplify in Hletin1; apply (Hletin1);]]]
 209 qed.
 210
 211 lemma mem_finType : ∀d:finType.∀x:d. mem d x (enum d) = true.
 212 intros 1 (d); cases d; simplify; intros; rewrite < count_O_mem;
 213 rewrite > H; reflexivity;
 214 qed.
 215
 216 lemma uniq_fintype_enum :  ∀d:finType. uniq d (enum d) = true.
 217 intros; cases d; simplify; apply (p2bT ? ? (uniqP ? ?)); intros; apply H;
 218 qed.
 219
 220 lemma sub_enumP : ∀d:finType.∀p:d→bool.∀x:sub_eqType d p.
 221   count (sub_eqType d p) (cmp ? x) (filter ? ? (if_p ? p) (enum d)) = (S O).
 222 intros (d p x); cases x (t Ht); clear x;
 223 generalize in match (mem_finType d t);
 224 generalize in match (uniq_fintype_enum d);
 225 elim (enum d); [destruct H1] simplify;
 226 cases (in_sub_eq d p t1); simplify;
 227 [1:generalize in match H3; clear H3; cases s (r Hr); clear s;
 228    simplify; intros (Ert1); generalize in match Hr; clear Hr;
 229    rewrite > Ert1; clear Ert1; clear r; intros (Ht1);
 230    unfold  sub_eqType in ⊢ (? ? match ? (% ? ?) ? ? with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 231    simplify; generalize in match (refl_eq ? (cmp d t t1));
 232    generalize in match (cmp d t t1) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 233    intros (Ett1); simplify;
 234    [1: cut (count (sub_eqType d p) (cmp (sub_eqType d p) {t,Ht})
 235             (filter d (sigma d p) (if_p d p) l) = O); [1:rewrite > Hcut; reflexivity]
 236        lapply (uniq_mem ? ? ? H1);
 237        generalize in match Ht;
 238        rewrite > (b2pT ? ? (eqP d ? ?) Ett1); intros (Ht1'); clear Ht1;
 239        generalize in match Hletin; elim l; [ reflexivity]
 240        simplify; cases (in_sub_eq d p t2); simplify;
 241        [1: generalize in match H5; cases s; simplify; intros; clear H5;
 242            unfold sub_eqType in ⊢ (? ? match ? (% ? ?) ? ? with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 243            simplify; rewrite > H7; simplify in H4;
 244            generalize in match H4; clear H4;
 245            generalize in match (refl_eq ? (cmp d t1 t2));
 246            generalize in match (cmp d t1 t2) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 247            simplify; intros; [1: destruct H5] apply H3; assumption;
 248        |2: apply H3;
 249            generalize in match H4; clear H4; simplify;
 250            generalize in match (refl_eq ? (cmp d t1 t2));
 251            generalize in match (cmp d t1 t2) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 252            simplify; intros; [1: destruct H6] assumption;]
 253    |2: apply H; [ rewrite > uniq_tail in H1; cases (b2pT ? ? (andbP ? ?) H1); assumption]
 254        simplify in H2; rewrite > Ett1 in H2; simplify in H2; assumption]
 255 |2:rewrite > H; [1:reflexivity|2: rewrite > uniq_tail in H1; cases (b2pT ? ? (andbP ? ?) H1); assumption]
 256    simplify in H2; generalize in match H2; generalize in match (refl_eq ? (cmp d t t1));
 257    generalize in match (cmp d t t1) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 258    intros (E); [2:assumption]
 259    lapply (b2pT ? ? (eqP d ? ?) E); clear H; rewrite > Hletin in Ht;
 260    rewrite > Ht in H3; destruct H3;]
 261 qed.
 262
 263 definition sub_finType : ∀d:finType.∀p:d→bool.finType ≝
 264   λd:finType.λp:d→bool. mk_finType (sub_eqType d p) (filter ? ? (if_p ? p) (enum d)) (sub_enumP d p).
 265