matita/library/decidable_kit/fintype.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/decidable_kit/fintype/".
  16
  17 include "decidable_kit/eqtype.ma".
  18 include "decidable_kit/list_aux.ma".
  19
  20 record finType : Type ≝ {
  21   fsort :> eqType;
  22   enum : list fsort;
  23   enum_uniq : ∀x:fsort. count fsort (cmp fsort x) enum = (S O)
  24 }.
  25
  26 definition segment : nat → eqType ≝
  27   λn.sub_eqType nat_eqType (λx:nat_eqType.ltb x n).
  28
  29 definition is_some : ∀d:eqType. option d → bool ≝
  30   λd:eqType.λo:option d.notb (cmp (option_eqType d) (None ?) o).
  31
  32 definition filter ≝
  33   λA,B:Type.λp:A→option B.λl:list A.
  34   foldr A ?
  35     (λx,acc. match (p x) with [None ⇒ acc | (Some y) ⇒ cons B y acc]) (nil B) l.
  36
  37 definition segment_enum  ≝
  38   λbound.filter ? ? (if_p nat_eqType (λx.ltb x bound)) (iota O bound).
  39
  40 lemma iota_ltb : ∀x,p:nat. mem nat_eqType x (iota O p) = ltb x p.
  41 intros (x p); elim p; simplify; [1:reflexivity]
  42 rewrite < leb_eqb;
  43 generalize in match (refl_eq ? (cmp ? x n));
  44 generalize in match (cmp ? x n) in ⊢ (? ? % ? → %); intros 1 (b);
  45 cases b; simplify; intros (H1); [1: reflexivity]
  46 rewrite > H; fold simplify (ltb x n); rewrite > H1; reflexivity;
  47 qed.
  48
  49 lemma mem_filter :
  50   ∀d1,d2:eqType.(*∀y:d1.*)∀x:d2.∀l:list d1.∀p:d1 → option d2.
  51   (∀y.mem d1 y l = true →
  52     match (p y) with [None ⇒ false | (Some q) ⇒ cmp d2 x q] = false) →
  53   mem d2 x (filter d1 d2 p l) = false.
  54 intros 5 (d1 d2 x l p);
  55 elim l; [1: simplify; auto]
  56 simplify; fold simplify (filter d1 d2 p l1);
  57 generalize in match (refl_eq ? (p t));
  58 generalize in match (p t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
  59 [1: simplify; intros (Hpt); apply H; intros (y Hyl);
  60   apply H1; simplify; fold simplify (orb (cmp ? y t) (mem ? y l1));
  61   rewrite > Hyl; rewrite > orbC; reflexivity;
  62 |2:simplify; intros (Hpt);
  63   generalize in match (refl_eq ? (cmp ? x s));
  64   generalize in match (cmp ? x s) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
  65   [1: simplify; intros (Exs);
  66       rewrite < (H1 t); [2: simplify; rewrite > cmp_refl; reflexivity;]
  67       rewrite > Hpt; simplify; symmetry; assumption;
  68   |2: intros (Dxs); simplify; apply H; intros;
  69       apply H1; simplify; fold simplify (orb (cmp ? y t) (mem ? y l1));
  70       rewrite > H2; rewrite > orbC; reflexivity;]]
  71 qed.
  72
  73 lemma count_O :
  74   ∀d:eqType.∀p:d→bool.∀l:list d.
  75     (∀x:d.mem d x l = true → notb (p x) = true) → count d p l = O.
  76 intros 3 (d p l); elim l; simplify; [1: reflexivity]
  77 fold simplify (count d p l1); (* XXX simplify troppo *)
  78 generalize in match (refl_eq ? (p t));
  79 generalize in match (p t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b);
  80 cases b; simplify;
  81 [2:intros (Hpt); apply H; intros; apply H1; simplify;
  82    generalize in match (refl_eq ? (cmp d x t));
  83    generalize in match (cmp d x t) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b1);
  84    cases b1; simplify; intros; [2:rewrite > H2] auto.
  85 |1:intros (H2); lapply (H1 t); [2:simplify; rewrite > cmp_refl; simplify; auto]
  86    rewrite > H2 in Hletin; simplify in Hletin; destruct Hletin]
  87 qed.
  88
  89 lemma segment_finType : nat → finType.
  90 intros (bound);
  91 letin fsort ≝ (segment bound);
  92 letin enum ≝ (segment_enum bound);
  93 cut (∀x:fsort. count fsort (cmp fsort x) enum = (S O));
  94  [ apply (mk_finType fsort enum Hcut)
  95  | intros (x); cases x (n Hn); simplify in Hn; clear x;
  96    generalize in match Hn; generalize in match Hn; clear Hn;
  97    unfold segment_enum;
  98    generalize in match bound in ⊢ (% → ? → ? ? (? ? ? (? ? ? ? %)) ?);
  99    intros 1 (m); elim m  (Hm Hn p IH Hm Hn);
 100    [ destruct Hm;
 101    | simplify; cases (eqP bool_eqType (ltb p bound) true); simplify;
 102      (* XXX simplify che spacca troppo *)
 103      fold simplify (filter nat_eqType (sigma nat_eqType (λx.ltb x bound))
 104                      (if_p nat_eqType (λx.ltb x bound)) (iota O p));
 105      [1:unfold segment in ⊢ (? ? match ? % ? ? with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 106         unfold nat_eqType in ⊢ (? ? match % with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 107         simplify in ⊢ (? ? match % with [true⇒ ?|false⇒ ?] ?);
 108         generalize in match (refl_eq ? (eqb n p));
 109         generalize in match (eqb n p) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1(b);
 110         cases b; simplify;
 111         [2:intros (Enp); rewrite > IH; [1,3: auto]
 112            rewrite <  ltb_n_Sm in Hm; rewrite > Enp in Hm;
 113            generalize in match Hm; cases (ltb n p); intros; [1:reflexivity]
 114            simplify in H1; destruct H1;
 115         |1:clear IH; intros (Enp);
 116            fold simplify (count fsort (cmp fsort {n, Hn})
 117                            (filter ? (sigma nat_eqType (λx.ltb x bound))
 118                            (if_p nat_eqType (λx.ltb x bound)) (iota O p)));
 119            rewrite > (count_O fsort); [1: reflexivity]
 120            intros 1 (x);
 121            rewrite < (b2pT ? ? (eqP ? n ?) Enp);
 122            cases x (y Hy); intros (ABS); clear x;
 123            unfold segment; unfold notb; simplify;
 124            generalize in match (refl_eq ? (cmp ? n y));
 125            generalize in match (cmp ? n y) in ⊢ (? ? ? % → %); intros 1 (b); cases b; clear b;
 126            intros (Eny); simplify; [2: auto]
 127            rewrite < ABS; symmetry; clear ABS;
 128            generalize in match Hy; clear Hy; rewrite < (b2pT ? ? (eqP nat_eqType ? ?) Eny);
 129            simplify; intros (Hn); fold simplify (iota O n);
 130            apply (mem_filter nat_eqType fsort);
 131            intros (w Hw);
 132            fold simplify (sort nat_eqType);
 133            cases (in_sub_eq nat_eqType (λx:nat_eqType.ltb x bound) w);
 134            simplify; [2: reflexivity]
 135            generalize in match H1; clear H1; cases s; clear s; intros (H1);
 136            unfold segment; simplify; simplify in H1; rewrite > H1;
 137            rewrite > iota_ltb in Hw;
 138            apply (p2bF ? ? (eqP nat_eqType ? ?));
 139            unfold Not; intros (Enw);
 140            rewrite > Enw in Hw; rewrite > ltb_refl in Hw; destruct Hw]
 141      |2:rewrite > IH; [1:reflexivity|3:assumption]
 142           rewrite <  ltb_n_Sm in Hm;
 143           cases (b2pT ? ?(orbP ? ?) Hm);[1: assumption]
 144           rewrite > (b2pT ? ? (eqbP ? ?) H1) in Hn;
 145           rewrite > Hn in H; cases (H ?); reflexivity;
 146      ]]]
 147 qed.