matita/library/logic/connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/logic/connectives/".
  16
  17 inductive True: Prop \def
  18 I : True.
  19
  20 default "true" cic:/matita/logic/connectives/True.ind.
  21
  22 inductive False: Prop \def .
  23
  24 default "false" cic:/matita/logic/connectives/False.ind.
  25
  26 definition Not: Prop \to Prop \def
  27 \lambda A. (A \to False).
  28
  29 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  30 interpretation "logical not" 'not x = (cic:/matita/logic/connectives/Not.con x).
  31
  32 theorem absurd : \forall A,C:Prop. A \to \lnot A \to C.
  33 intros. elim (H1 H).
  34 qed.
  35
  36 default "absurd" cic:/matita/logic/connectives/absurd.con.
  37
  38 inductive And (A,B:Prop) : Prop \def
  39     conj : A \to B \to (And A B).
  40
  41 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  42 interpretation "logical and" 'and x y = (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) x y).
  43
  44 theorem proj1: \forall A,B:Prop. A \land B \to A.
  45 intros. elim H. assumption.
  46 qed.
  47
  48 theorem proj2: \forall A,B:Prop. A \land B \to B.
  49 intros. elim H. assumption.
  50 qed.
  51
  52 inductive Or (A,B:Prop) : Prop \def
  53      or_introl : A \to (Or A B)
  54    | or_intror : B \to (Or A B).
  55
  56 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  57 interpretation "logical or" 'or x y =
  58   (cic:/matita/logic/connectives/Or.ind#xpointer(1/1) x y).
  59
  60 theorem Or_ind':
  61  \forall A,B:Prop.
  62   \forall P: A \lor B \to Prop.
  63    (\forall p:A. P (or_introl ? ? p)) \to
  64    (\forall q:B. P (or_intror ? ? q)) \to
  65     \forall p:A \lor B. P p.
  66  intros.
  67  apply
  68   (match p return \lambda p.P p with
  69     [(or_introl p) \Rightarrow H p
  70     |(or_intror q) \Rightarrow H1 q]).
  71 qed.
  72
  73 definition decidable : Prop \to Prop \def \lambda A:Prop. A \lor \lnot A.
  74
  75 inductive ex (A:Type) (P:A \to Prop) : Prop \def
  76     ex_intro: \forall x:A. P x \to ex A P.
  77
  78 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  79 interpretation "exists" 'exists \eta.x =
  80   (cic:/matita/logic/connectives/ex.ind#xpointer(1/1) _ x).
  81
  82 notation < "hvbox(\exists ident i opt (: ty) break . p)"
  83   right associative with precedence 20
  84 for @{ 'exists ${default
  85   @{\lambda ${ident i} : $ty. $p)}
  86   @{\lambda ${ident i} . $p}}}.
  87
  88 inductive ex2 (A:Type) (P,Q:A \to Prop) : Prop \def
  89     ex_intro2: \forall x:A. P x \to Q x \to ex2 A P Q.
  90