matita/library/logic/equality.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/logic/equality/".
  16
  17 include "higher_order_defs/relations.ma".
  18
  19 inductive eq (A:Type) (x:A) : A \to Prop \def
  20     refl_eq : eq A x x.
  21
  22 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  23 interpretation "leibnitz's equality"
  24    'eq x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y).
  25 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  26 interpretation "leibnitz's non-equality"
  27   'neq x y = (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  28     (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y)).
  29
  30 theorem eq_ind':
  31  \forall A. \forall x:A. \forall P: \forall y:A. x=y \to Prop.
  32   P ? (refl_eq ? x) \to \forall y:A. \forall p:x=y. P y p.
  33  intros.
  34  exact
  35   (match p return \lambda y. \lambda p.P y p with
  36     [refl_eq \Rightarrow H]).
  37 qed.
  38
  39 theorem reflexive_eq : \forall A:Type. reflexive A (eq A).
  40 simplify.intros.apply refl_eq.
  41 qed.
  42
  43 theorem symmetric_eq: \forall A:Type. symmetric A (eq A).
  44 unfold symmetric.intros.elim H. apply refl_eq.
  45 qed.
  46
  47 theorem sym_eq : \forall A:Type.\forall x,y:A. x=y  \to y=x
  48 \def symmetric_eq.
  49
  50 theorem transitive_eq : \forall A:Type. transitive A (eq A).
  51 unfold transitive.intros.elim H1.assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem trans_eq : \forall A:Type.\forall x,y,z:A. x=y  \to y=z \to x=z
  55 \def transitive_eq.
  56
  57 theorem eq_elim_r:
  58  \forall A:Type.\forall x:A. \forall P: A \to Prop.
  59    P x \to \forall y:A. y=x \to P y.
  60 intros. elim (sym_eq ? ? ? H1).assumption.
  61 qed.
  62
  63 theorem eq_f: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  64 \forall x,y:A. x=y \to f x = f y.
  65 intros.elim H.apply refl_eq.
  66 qed.
  67
  68 theorem eq_f': \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  69 \forall x,y:A. x=y \to f y = f x.
  70 intros.elim H.apply refl_eq.
  71 qed.
  72
  73 (*
  74 coercion cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con.
  75 coercion cic:/matita/logic/equality/eq_f.con.
  76 *)
  77
  78 default "equality"
  79  cic:/matita/logic/equality/eq.ind
  80  cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con
  81  cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con
  82  cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con
  83  cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r.con
  84  cic:/matita/logic/equality/eq_f.con
  85  cic:/matita/logic/equality/eq_f'.con. (* \x.sym (eq_f x) *)
  86
  87 theorem eq_f2: \forall  A,B,C:Type.\forall f:A\to B \to C.
  88 \forall x1,x2:A. \forall y1,y2:B.
  89 x1=x2 \to y1=y2 \to f x1 y1 = f x2 y2.
  90 intros.elim H1.elim H.reflexivity.
  91 qed.
  92
  93 definition comp \def
  94  \lambda A.
  95   \lambda x,y,y':A.
  96    \lambda eq1:x=y.
  97     \lambda eq2:x=y'.
  98      eq_ind ? ? (\lambda a.a=y') eq2 ? eq1.
  99
 100 lemma trans_sym_eq:
 101  \forall A.
 102   \forall x,y:A.
 103    \forall u:x=y.
 104     comp ? ? ? ? u u = refl_eq ? y.
 105  intros.
 106  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? u).
 107  reflexivity.
 108 qed.
 109
 110 definition nu \def
 111  \lambda A.
 112   \lambda H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 113    \lambda x,y. \lambda p:x=y.
 114      match H x y with
 115       [ (or_introl p') \Rightarrow p'
 116       | (or_intror K) \Rightarrow False_ind ? (K p) ].
 117
 118 theorem nu_constant:
 119  \forall A.
 120   \forall H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 121    \forall x,y:A.
 122     \forall u,v:x=y.
 123      nu ? H ? ? u = nu ? H ? ? v.
 124  intros.
 125  unfold nu.
 126  unfold decidable in H.
 127  apply (Or_ind' ? ? ? ? ? (H x y)); simplify.
 128   intro; reflexivity.
 129   intro; elim (q u).
 130 qed.
 131
 132 definition nu_inv \def
 133  \lambda A.
 134   \lambda H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 135    \lambda x,y:A.
 136     \lambda v:x=y.
 137      comp ? ? ? ? (nu ? H ? ? (refl_eq ? x)) v.
 138
 139 theorem nu_left_inv:
 140  \forall A.
 141   \forall H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 142    \forall x,y:A.
 143     \forall u:x=y.
 144      nu_inv ? H ? ? (nu ? H ? ? u) = u.
 145  intros.
 146  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? u).
 147  unfold nu_inv.
 148  apply trans_sym_eq.
 149 qed.
 150
 151 theorem eq_to_eq_to_eq_p_q:
 152  \forall A. \forall x,y:A.
 153   (\forall x,y:A. decidable (x=y)) \to
 154    \forall p,q:x=y. p=q.
 155  intros.
 156  rewrite < (nu_left_inv ? H ? ? p).
 157  rewrite < (nu_left_inv ? H ? ? q).
 158  elim (nu_constant ? H ? ? q).
 159  reflexivity.
 160 qed.
 161
 162 (*CSC: alternative proof that does not pollute the environment with
 163   technical lemmata. Unfortunately, it is a pain to do without proper
 164   support for let-ins.
 165 theorem eq_to_eq_to_eq_p_q:
 166  \forall A. \forall x,y:A.
 167   (\forall x,y:A. decidable (x=y)) \to
 168    \forall p,q:x=y. p=q.
 169 intros.
 170 letin nu \def
 171  (\lambda x,y. \lambda p:x=y.
 172    match H x y with
 173     [ (or_introl p') \Rightarrow p'
 174     | (or_intror K) \Rightarrow False_ind ? (K p) ]).
 175 cut
 176  (\forall q:x=y.
 177    eq_ind ? ? (\lambda z. z=y) (nu ? ? q) ? (nu ? ? (refl_eq ? x))
 178    = q).
 179 focus 8.
 180  clear q; clear p.
 181  intro.
 182  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? q);
 183  fold simplify (nu ? ? (refl_eq ? x)).
 184  generalize in match (nu ? ? (refl_eq ? x)); intro.
 185  apply
 186   (eq_ind' A x
 187    (\lambda y. \lambda u.
 188     eq_ind A x (\lambda a.a=y) u y u = refl_eq ? y)
 189    ? x H1).
 190  reflexivity.
 191 unfocus.
 192 rewrite < (Hcut p); fold simplify (nu ? ? p).
 193 rewrite < (Hcut q); fold simplify (nu ? ? q).
 194 apply (Or_ind' (x=x) (x \neq x)
 195  (\lambda p:decidable (x=x). eq_ind A x (\lambda z.z=y) (nu x y p) x
 196    ([\lambda H1.eq A x x]
 197     match p with
 198     [(or_introl p') \Rightarrow p'
 199     |(or_intror K) \Rightarrow False_ind (x=x) (K (refl_eq A x))]) =
 200    eq_ind A x (\lambda z.z=y) (nu x y q) x
 201     ([\lambda H1.eq A x x]
 202      match p with
 203     [(or_introl p') \Rightarrow p'
 204     |(or_intror K) \Rightarrow False_ind (x=x) (K (refl_eq A x))]))
 205  ? ? (H x x)).
 206 intro; simplify; reflexivity.
 207 intro q; elim (q (refl_eq ? x)).
 208 qed.
 209 *)
 210
 211 (*
 212 theorem a:\forall x.x=x\land True.
 213 [
 214 2:intros;
 215   split;
 216   [
 217     exact (refl_eq Prop x);
 218   |
 219     exact I;
 220   ]
 221 1:
 222   skip
 223 ]
 224 qed.
 225 *)
 226