matita/library/logic/equality.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/logic/equality/".
  16
  17 include "higher_order_defs/relations.ma".
  18
  19 inductive eq (A:Type) (x:A) : A \to Prop \def
  20     refl_eq : eq A x x.
  21
  22 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  23 interpretation "leibnitz's equality"
  24    'eq x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y).
  25 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  26 interpretation "leibnitz's non-equality"
  27   'neq x y = (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  28     (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y)).
  29
  30 theorem eq_ind':
  31  \forall A. \forall x:A. \forall P: \forall y:A. x=y \to Prop.
  32   P ? (refl_eq ? x) \to \forall y:A. \forall p:x=y. P y p.
  33  intros.
  34  exact
  35   (match p return \lambda y. \lambda p.P y p with
  36     [refl_eq \Rightarrow H]).
  37 qed.
  38
  39 theorem reflexive_eq : \forall A:Type. reflexive A (eq A).
  40 simplify.intros.apply refl_eq.
  41 qed.
  42
  43 theorem symmetric_eq: \forall A:Type. symmetric A (eq A).
  44 unfold symmetric.intros.elim H. apply refl_eq.
  45 qed.
  46
  47 theorem sym_eq : \forall A:Type.\forall x,y:A. x=y  \to y=x
  48 \def symmetric_eq.
  49
  50 theorem transitive_eq : \forall A:Type. transitive A (eq A).
  51 unfold transitive.intros.elim H1.assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem trans_eq : \forall A:Type.\forall x,y,z:A. x=y  \to y=z \to x=z
  55 \def transitive_eq.
  56
  57 theorem eq_elim_r:
  58  \forall A:Type.\forall x:A. \forall P: A \to Prop.
  59    P x \to \forall y:A. y=x \to P y.
  60 intros. elim (sym_eq ? ? ? H1).assumption.
  61 qed.
  62
  63 default "equality"
  64  cic:/matita/logic/equality/eq.ind
  65  cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con
  66  cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con
  67  cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con
  68  cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r.con
  69  cic:/matita/logic/equality/eq_f.con
  70  cic:/matita/logic/equality/eq_OF_eq.con. (* \x.sym (eq_f x) *)
  71
  72
  73 theorem eq_f: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  74 \forall x,y:A. x=y \to f x = f y.
  75 intros.elim H.reflexivity.
  76 qed.
  77
  78 theorem eq_f1: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  79 \forall x,y:A. x=y \to f y = f x.
  80 intros.elim H.reflexivity.
  81 qed.
  82
  83 theorem eq_f2: \forall  A,B,C:Type.\forall f:A\to B \to C.
  84 \forall x1,x2:A. \forall y1,y2:B.
  85 x1=x2 \to y1=y2 \to f x1 y1 = f x2 y2.
  86 intros.elim H1.elim H.reflexivity.
  87 qed.
  88
  89 definition comp \def
  90  \lambda A.
  91   \lambda x,y,y':A.
  92    \lambda eq1:x=y.
  93     \lambda eq2:x=y'.
  94      eq_ind ? ? (\lambda a.a=y') eq2 ? eq1.
  95
  96 lemma trans_sym_eq:
  97  \forall A.
  98   \forall x,y:A.
  99    \forall u:x=y.
 100     comp ? ? ? ? u u = refl_eq ? y.
 101  intros.
 102  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? u).
 103  reflexivity.
 104 qed.
 105
 106 definition nu \def
 107  \lambda A.
 108   \lambda H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 109    \lambda x,y. \lambda p:x=y.
 110      match H x y with
 111       [ (or_introl p') \Rightarrow p'
 112       | (or_intror K) \Rightarrow False_ind ? (K p) ].
 113
 114 theorem nu_constant:
 115  \forall A.
 116   \forall H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 117    \forall x,y:A.
 118     \forall u,v:x=y.
 119      nu ? H ? ? u = nu ? H ? ? v.
 120  intros.
 121  unfold nu.
 122  unfold decidable in H.
 123  apply (Or_ind' ? ? ? ? ? (H x y)); simplify.
 124   intro; reflexivity.
 125   intro; elim (q u).
 126 qed.
 127
 128 definition nu_inv \def
 129  \lambda A.
 130   \lambda H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 131    \lambda x,y:A.
 132     \lambda v:x=y.
 133      comp ? ? ? ? (nu ? H ? ? (refl_eq ? x)) v.
 134
 135 theorem nu_left_inv:
 136  \forall A.
 137   \forall H: \forall x,y:A. decidable (x=y).
 138    \forall x,y:A.
 139     \forall u:x=y.
 140      nu_inv ? H ? ? (nu ? H ? ? u) = u.
 141  intros.
 142  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? u).
 143  unfold nu_inv.
 144  apply trans_sym_eq.
 145 qed.
 146
 147 theorem eq_to_eq_to_eq_p_q:
 148  \forall A. \forall x,y:A.
 149   (\forall x,y:A. decidable (x=y)) \to
 150    \forall p,q:x=y. p=q.
 151  intros.
 152  rewrite < (nu_left_inv ? H ? ? p).
 153  rewrite < (nu_left_inv ? H ? ? q).
 154  elim (nu_constant ? H ? ? q).
 155  reflexivity.
 156 qed.
 157
 158 (*CSC: alternative proof that does not pollute the environment with
 159   technical lemmata. Unfortunately, it is a pain to do without proper
 160   support for let-ins.
 161 theorem eq_to_eq_to_eq_p_q:
 162  \forall A. \forall x,y:A.
 163   (\forall x,y:A. decidable (x=y)) \to
 164    \forall p,q:x=y. p=q.
 165 intros.
 166 letin nu \def
 167  (\lambda x,y. \lambda p:x=y.
 168    match H x y with
 169     [ (or_introl p') \Rightarrow p'
 170     | (or_intror K) \Rightarrow False_ind ? (K p) ]).
 171 cut
 172  (\forall q:x=y.
 173    eq_ind ? ? (\lambda z. z=y) (nu ? ? q) ? (nu ? ? (refl_eq ? x))
 174    = q).
 175 focus 8.
 176  clear q; clear p.
 177  intro.
 178  apply (eq_ind' ? ? ? ? ? q);
 179  fold simplify (nu ? ? (refl_eq ? x)).
 180  generalize in match (nu ? ? (refl_eq ? x)); intro.
 181  apply
 182   (eq_ind' A x
 183    (\lambda y. \lambda u.
 184     eq_ind A x (\lambda a.a=y) u y u = refl_eq ? y)
 185    ? x H1).
 186  reflexivity.
 187 unfocus.
 188 rewrite < (Hcut p); fold simplify (nu ? ? p).
 189 rewrite < (Hcut q); fold simplify (nu ? ? q).
 190 apply (Or_ind' (x=x) (x \neq x)
 191  (\lambda p:decidable (x=x). eq_ind A x (\lambda z.z=y) (nu x y p) x
 192    ([\lambda H1.eq A x x]
 193     match p with
 194     [(or_introl p') \Rightarrow p'
 195     |(or_intror K) \Rightarrow False_ind (x=x) (K (refl_eq A x))]) =
 196    eq_ind A x (\lambda z.z=y) (nu x y q) x
 197     ([\lambda H1.eq A x x]
 198      match p with
 199     [(or_introl p') \Rightarrow p'
 200     |(or_intror K) \Rightarrow False_ind (x=x) (K (refl_eq A x))]))
 201  ? ? (H x x)).
 202 intro; simplify; reflexivity.
 203 intro q; elim (q (refl_eq ? x)).
 204 qed.
 205 *)
 206
 207 (*
 208 theorem a:\forall x.x=x\land True.
 209 [
 210 2:intros;
 211   split;
 212   [
 213     exact (refl_eq Prop x);
 214   |
 215     exact I;
 216   ]
 217 1:
 218   skip
 219 ]
 220 qed.
 221 *)
 222